专题22.5 二次函数与一元二次方程（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题22.5 二次函数与一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】 1 【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】 3 【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】 4 【考点四 图象法解一元二次不等式】 6 【考点五 二次函数与x轴的交点问题】 10 【考点六 二次函数与x轴的截线长】 13 【过关检测】 18 【典型例题】 【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】 例题：（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·广东江门·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为 ． 【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】 例题：（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）二次函数图像与轴交点坐标为 ． 3．将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ． 【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ） x A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解（精确到）为（   ） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.25 0.76 … A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x y 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【考点四 图象法解一元二次不等式】 例题：（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 2．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； (3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 【考点五 二次函数与x轴的交点问题】 例题：（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象和x轴有两个交点． (1)求实数的取值范围； (2)在（1）的前提下，取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标． (3)在（2）的条件下，若请直接写出的取值范围． 【考点六 二次函数与x轴的截线长】 例题：（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点． (1)若，请求出函数解析式； (2)设直线与该抛物线的交点为，求的长． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）  如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．    (1)若为二次函数的图象上一点，求的值； (2)求的长． 2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知抛物线过点A与，与y轴交于点，点D在抛物线上，且直线轴．    (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)求的长． 3．（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）二次函数自变量和函数量的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式的解集为（   ） x 0 1 2 y 8 5 4 5 8 A． B． C．或 D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 4．（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）抛物线与坐标轴交点的个数为 ． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为 ； 7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 8．（2023·上海·模拟预测）关于的二次函数的结论 ①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等． ②若图象过点，点，点，则当时，． ③若，对应的的整数值有4个，则或． ④当且时，，则． 其中错误的序号为 ． 三、解答题 9．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象回答：当时，的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 10．（23-24九年级上·北京石景山·期中）在平面直角坐标系中，直线与抛物线的相交于点和点（点的横坐标小于点的横坐标） (1)求交点和点的坐标； (2)求当时，的最大值； (3)直接写出的解集． 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的表达式为，且抛物线经过，，三点，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)求证：抛物线与直线无公共点． (3)若与直线平行的直线与抛物线只有一个公共点，求点的坐标． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象如图所示． (1)利用图象判断方程较大的解在哪两个整数范围内？ (2)若关于x的方程有四个不等实数根，求m的取值范围． 13．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集． (3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围． 14．（2024·山东临沂·模拟预测）已知关于x 的二次函数（m，n为常数） (1)若二次函数图象经过A，B两点，求二次函数的表达式； (2)若，试说明该函数图象与x 轴必有两个不同的交点； (3)若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.5 二次函数与一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】 1 【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】 3 【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】 4 【考点四 图象法解一元二次不等式】 6 【考点五 二次函数与x轴的交点问题】 10 【考点六 二次函数与x轴的截线长】 13 【过关检测】 18 【典型例题】 【考点一 求二次函数与x轴的交点坐标】 例题：（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，令，代入函数解析式求出的值即可． 【详解】解： 当时，， 解得：， 二次函数的图象与x轴的交点坐标是，， 故答案为：，． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·广东江门·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，理解抛物线与x轴有交点，即，与y轴有交点即是解题的关键．令，代入抛物线的解析式求出x值，写出坐标形式即可． 【详解】解：把代入，得： ， 解得：， 则抛物线与x轴的交点坐标为． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，正确利用时求出的值是解题关键． 直接利用抛物线与轴交点求法：令，得到一元二次方程求解即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 解得：，， 故抛物线与轴的交点坐标分别为：，． 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵的图象与轴的一个交点为， ∴的图象与轴的另一个交点为． 故答案为： 【考点二 求二次函数与y轴的交点坐标】 例题：（23-24九年级上·海南海口·期中）抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，令，然后求出的值，即可以得到抛物线与轴的交点坐标；令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标． 【详解】解：令， 得， 抛物线与轴的交点坐标是：， 令， 即， 解得，， 所以抛物线与轴交点的坐标是，． 故答案为：；，． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴的交点问题． 直接令，即可求出抛物线与y轴交点的纵坐标． 【详解】当时，， ∴二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是9． 故答案为：9． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）二次函数图像与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键．令，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，可得， 所以，该函数的图像与轴交点坐标为． 故答案为：． 3．将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”得到新的二次函数，再令即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据平移得新抛物线的解析为：， 令，则， ∴新抛物线与轴的交点为， 故答案为：． 【考点三 图象法确定一元二次方程的近似根】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ） x A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算一元二次方程的解，是解本题的方法． 本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解．利用夹逼思想求一元二次方程的近似解．根据表格当时，；当时，，即的一个根在2和3之间． 【详解】解：由可得：， 根据表内数据，可以发现： 的值随着x的增大而增大， 且：当时，；当时，； ∴一元二次方程的其中一个解x的范围是， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）下表给出了二次函数中，的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解（精确到）为（   ） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y … 0.25 0.76 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，求近似解．根据表格可知，方程的根，而当时，更接近于0，据此分析可得近似解． 【详解】解：， 整理得：， 当时，，当时，， 则方程的根， 而当时，更接近于0， ∴原方程的一个近似解为1.4． 故选：B 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x y 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，根据表格中数据的变化情况进行估计即可． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根， ∴的一个解x的取值范围为． 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 【考点四 图象法解一元二次不等式】 例题：（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 2．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象得：，，对称轴是， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是， ∴另一个交点， ∴不等式的解集是，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故C正确，不符合题意； ∵函数图象与x轴的两个交点为和， ∴方程的解是，，故D正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解； (3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，利用函数图象解不等式，能熟练掌握待定系数法是解决问题的关键． （1）用待定系数法求解即可． （2）根据二次函数图象可得出结论． （3）先求出点A得坐标，从而得出的值，利用三角形面积即可得出结论． 【详解】（1）将和点代入二次函数得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：． （2）∵当时，的图象在的下方， ∴不等式的解集为：． （3）当时，， 解得， ∴， ∴． ∴． 【考点五 二次函数与x轴的交点问题】 例题：（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键在于理解抛物线与轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式小于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出的值． 【详解】解：抛物线（为常数）与轴有且只有一个公共点， ， 解得， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）已知为实数，抛物线与轴的交点情况是（   ） A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个不同的交点 D．无法判断有没有交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，利用一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：对于抛物线， 当时，即， ∵ ∴抛物线与轴的交点情况是有两个不同的交点， 故选：C． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)见解析 (3) 【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得 ，再分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：二次函数图象经过， ， ， 抛物线为， ， 顶点坐标为； （2）证明： ∴二次函数图象与轴总有两个公共点； （3）解：对称轴直线， ∴即． ∵， ∴， ∵抛物线过， ∴，即， ∵， ∴， 解得，即 ∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ∵， ∴， 当，解得（不合题意舍去）； 当，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 3．（23-24九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数的图象和x轴有两个交点． (1)求实数的取值范围； (2)在（1）的前提下，取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标． (3)在（2）的条件下，若请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质： （1）根据题意，得到，进行求解即可； （2）求出的值，将一般式转化为顶点式，即可得出结果； （2）根据增减性，求出函数值的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象和x轴有两个交点， ∴， 解得：； （2）∵， ∴的最大整数解为：2， ∴， ∴顶点坐标为：； （3）∵， ∴对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，值最小为：， 当时，值最大为：， ∴． 【考点六 二次函数与x轴的截线长】 例题：（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点． (1)若，请求出函数解析式； (2)设直线与该抛物线的交点为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可得，列方程，即可解答； （2）列方程，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，结合，即可解答． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴只有一个交点， 方程有两个相同的解， 根据，可得， 可得， ， ， 二次函数解析式为； （2）解：根据题意可列方程， 设点的横坐标为， 可得，， 根据完全平方公式，可得， （1）中得到， ， ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）  如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）．    (1)若为二次函数的图象上一点，求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数解析式，即可求解； （2）令，可求出，，即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时， ， 解得：，， ，， ． 【点睛】本题考查了函数图象上的点坐标，函数图象与坐标轴的交点，图象与x轴的截线长，理解函数图象上点的坐标意义及坐标求法是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知抛物线过点A与，与y轴交于点，点D在抛物线上，且直线轴．    (1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)求的长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）将，代入抛物线，利用待定系数法可求得解析式，配成顶点式为，进而可得顶点坐标； （2）根据直线轴，将代入，求得点的坐标为，进而可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 将代入，得 解得，则该抛物线的函数表达式为， 配成顶点式为， ∴顶点坐标为． （2）∵直线轴，则将代入， 得． 解得，． ∴点的坐标为． ∴． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与一元二次方程，利用待定系数法求得函数解析式是解决问题的关键． 3．（2023·安徽宿州·三模）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)2． 【分析】（1）根据抛物线过点以及对称轴公式可求得b和c的值； （2）根据二次函数的解析式可知，在的范围内，当时，二次函数取最小值，当时，取最大值，进而可得答案； （3）联立与抛物线，设点A，B的横坐标分别为，根据根与系数的关系求出，，则可得到，然后根据求得，即线段的长为，同理求出线段的长为，可得答案． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：当时，函数值y的取值范围为：； 理由：由（1）可知抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴在的范围内，当时，二次函数取最小值，最小值为， ∵， ∴在的范围内，当时，二次函数取最大值，最大值为 ， ∴当时，函数值y的取值范围为：； （3）解：联立得：， 整理得：， 设点A，B的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， 联立得：， 整理得：， 设点C，D的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， ∴线段与线段的长度之比为：． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的对称轴公式，二次函数的图象和性质以及根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键． 本题现将点代入，得到和的关系，于是解析式变为：，令，由于，于是，解方程即可． 【详解】把点代入得，， ∴解析式变为：， 令，由于， ∴， 解得：，， 此抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 故选：． 2．（23-24九年级上·北京海淀·期中）二次函数自变量和函数量的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式的解集为（   ） x 0 1 2 y 8 5 4 5 8 A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识．从表格中获取正确的信息是解题的关键． 由表格可知，对称轴为直线，抛物线开口向上，由表格可知，当时，，即． 【详解】解：由表格可知，对称轴为直线，抛物线开口向上， 由表格可知，当时，，即， 故选：D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即，故A错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误； 将代入，得 ∴ 当时，；当时，， ∵图象开口向上，顶点坐标为， ∴函数有最小值， ∴当时，，故C错误； 令，整理得， ∴， ∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确； 故选：D． 4．（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为， 又∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线与轴的交点为、， 设抛物线解析式为， 整理得： 又∵二次函数 ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，最大值， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：C． 二、填空题 5．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）抛物线与坐标轴交点的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴交点、二次函数图象上点的坐标特征，根据，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴没有交点，来解决此题． 【详解】解：，，， ， 抛物线与轴交点的个数为， 当时，， 抛物线与轴交点的个数为， 抛物线与坐标轴交点的个数为； 故答案为：3． 6．（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为 ； 【答案】， 【分析】本题考查用函数图象解一元二次方程．解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值． 【详解】解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，． 7．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故答案为：． 8．（2023·上海·模拟预测）关于的二次函数的结论 ①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等． ②若图象过点，点，点，则当时，． ③若，对应的的整数值有4个，则或． ④当且时，，则． 其中错误的序号为 ． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．先求出该函数对称轴为直线，再得出和关于直线对称，即可判断①；把代入，求出，则当时，y随x的增大而增大，得出，即可判断②；根据，然后进行分类讨论：当时，当时，即可判断③；根据当且时，得出y随x的增大而减小，根据时，，求出，则当时，，求出n的值，即可判断④． 【详解】解：①∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线， ∵，， ∴，即和关于直线对称， ∴对应的函数值与对应的函数值相等，故①正确，符合题意； ②把代入得： ， 解得：， ∴二次函数表达式为， ∵，该函数的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∴，故②不正确，不符合题意； ③∵， ∴当时，，当时，， 当时， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵，对应的的整数值有个， ∴四个整数解为：， ∴，解得：， 当时， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵，对应的的整数值有个， ∴四个整数解为：， ∴，解得：， 综上：或，故③正确，符合题意； ④当且时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，，解得：， ∴， 当时，， 解得：，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故答案为：①③． 三、解答题 9．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的解析式； (2)根据图象回答：当时，的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设抛物线解析式为，再代入，解出，即可作答． （2）运用数形结合思想，即可作答． （3）先化为顶点式得，结合，得出的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数解析式为． （2）解：依题意，结合图象，当或时，． （3）解：∵二次函数解析式为． ∴， ∴当时，y有最小值； 当时，； 当时，y的取值范围为． 10．（23-24九年级上·北京石景山·期中）在平面直角坐标系中，直线与抛物线的相交于点和点（点的横坐标小于点的横坐标） (1)求交点和点的坐标； (2)求当时，的最大值； (3)直接写出的解集． 【答案】(1)， (2)9 (3) 【分析】本题主要靠除了你一次函数与二次函数综合： （1）联立两函数解析式，求出对应的x、y的值即可得到答案； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：联立，解得或， ∵点的横坐标小于点的横坐标， ∴，； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，且时，有最大值，最大值为； （3）解：由函数图象可知，当时，． 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的表达式为，且抛物线经过，，三点，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)求证：抛物线与直线无公共点． (3)若与直线平行的直线与抛物线只有一个公共点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的与一次函数的交点问题： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）联立两函数解析式可得，利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （3）联立两函数解析式可得，利用一元二次方程根的判别式，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：把，，代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立：，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴抛物线与直线无公共点； （3）解：联立：，得：， 整理得：， ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴方程只有一个实数根， ∴， 解得：， ∴原方程为， 解得：， 即点P的横坐标为， ∴点P的坐标为． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象如图所示． (1)利用图象判断方程较大的解在哪两个整数范围内？ (2)若关于x的方程有四个不等实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)方程较大的解在整数2和3之间 (2)当时，方程有四个不等实数根 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性． （1）把方程看作二次函数的图象与直线的图象的交点横坐标，画出图像根据图像求解即可． （2）把方程看作二次函数与直线的图象的交点横坐标，画出图像根据图像求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：抛物线的对称轴为直线， ∵可以整理为的形式， 故可以把方程看作二次函数的图象与直线的图象的交点横坐标， 如图， 根据图象可得二次函数与直线的交点横坐标在和上， ∴方程较大的解在整数2和3之间． （2），其顶点坐标为：， 如图，画出函数的图象， 可以把方程看作二次函数与直线的图象的交点横坐标， 根据图象可得，当二次函数与直线有四个交点时，， ∴当时，方程有四个不等实数根． 13．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集． (3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点代入求得，再求得，再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得，再根据图象求解即可； （3）方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴． 当时，， 解得， ∴点． 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：∵直线与抛物线的交点在第三象限， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 观察图象，得不等式的解集为或； （3）解：方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点， 如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点； 当直线经过抛物线顶点时，直线与抛物线有一个交点， ∴n的取值范围为或． 14．（2024·山东临沂·模拟预测）已知关于x 的二次函数（m，n为常数） (1)若二次函数图象经过A，B两点，求二次函数的表达式； (2)若，试说明该函数图象与x 轴必有两个不同的交点； (3)若时，函数的最大值为p，最小值为q，且，求k的值 【答案】(1) (2)见解析 (3)或3． 【分析】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式； （2）由得，代入得函数解析式为，求出判别式即可判断； （3）确定抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为，再分两种情况当时，当时，求出k的值． 【详解】（1）将代入，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式是； （2）∵， ∴， ∴函数解析式为， ∵， ∴，即， ∴该函数图象与x轴必有两个不同的交点； （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，最大值为， ∴当时， 当时有最大值，即； 当时有最小值，， ∵， ∴， 解得； 当时， 当时有最大值，即； 当时有最小值，， ∵， ∴， 解得或（舍去） 综上，k的值为或3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$