专题22.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题22.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1 【考点二 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】 3 【考点三 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】 7 【考点四 已知二次函数上对称的两点求对称轴】 12 【考点五 根据二次函数的增减性求最值】 14 【考点六 二次函数的平移】 18 【过关检测】 20 【典型例题】 【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 例题：（23-24九年级上·浙江温州·期末）将二次函数的解析式化成的形式为 . 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数解析式化为顶点式，直接利用配方法将原式变形进而得出答案，正确配方是解此题的关键． 【详解】解：， 将二次函数的解析式化成的形式为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）将二次函数转化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，解题的关键是掌握配方法．根据题意利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）用配方法把二次函数写成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数表达式化为顶点式，先将二次项系数提取因式，再根据完全平方公式进行配方，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【考点二 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】 例题：（2024·四川绵阳·模拟预测）关于二次函数的性质说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．函数最小值为2 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，函数的最小值为2；故A选项错误，B选项正确； ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；故C，D选项错误； 故选B． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．与轴的交点坐标是 C．与两坐标轴有两个交点 D．当时，有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式求解，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：、∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，故此选项错误，不符合题意； 、当时，， ∴抛物线与轴交点坐标为，故此选项错误，不符合题意； 、∵， ∴抛物线与轴有个交点， 又∵抛物线与轴交点坐标为， ∴与两坐标轴有三个交点，故此选项错误，不符合题意； 、∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，为函数最大值，故此选项正确，符合题意； 故选：． 2．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，利用对称性，增减性和二次函数与一元二次方程的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线交轴于，， ∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确； 一元二次方程的两个根分别是1和3，故C选项正确； 由图象可知：当时，随的增大而减小，故B选项正确； 当时，或，故D选项错误； 故选D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x …           0 3 5 … y …           0           … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质． 根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 因为， 所以抛物线的开口向下．故A选项不符合题意． 因为， 所以当时，y随x的增大而减小．故B选项不符合题意． 令得，， 解得， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 又因为抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线经过第一、三、四象限．故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线．故D选项符合题意． 故选：D． 4．（2024·河北·模拟预测）若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点； ④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（ ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，根与系数的基本关系．根据求出的范围即可判断①；求出对称轴即可判断②；把函数表达式整理成为，即可判断③，根据，利用根与系数的关系即可求出的的范围，从而可以判断④． 【详解】解：二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点， ， 整理得：， ，故①正确； ， 函数图象关于对称， ，开口向上， 当时，y随x的增大而增大；故②错误； ， 当时，，则恒过定点，故③正确； 若线段上有且只有5个横坐标为整数的点，根据二次函数的对称轴是， 则， ， 即：， 解得：，故④错误， 故选：C． 【考点三 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】 例题：（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题： (1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． (2)求出它的图象与x轴的交点坐标． (3)在直角坐标系中，画出它的图象． (4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？ (5)根据图象说明：当x为何值时， 【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)图象与x轴的交点坐标为， (3)见解析 (4)时，y随着x的增大而增大 (5)时， 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，以及二次函数图象与不等式，熟练掌握配方法的操作，整理成顶点式形式，求出顶点坐标和对称轴更加简便． （1）利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可； （2）令解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标； （3）利用五点法作出函数图象即可； （4）根据函数图象利用二次函数的增减性解答； （5）写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】（1）解： ， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：当时，解得或， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，； （3）解：函数图象如图所示； （4）解：由函数图象可知，时，y随着x的增大而增大； （5）解：由函数图象可知，当时，． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 【答案】(1)图象的顶点坐标为，对称轴为直线 (2)图象见解析， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）解析式化成顶点式，即可得到结论； （2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴，y轴的交点，再根据图象求当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：， 二次函数的图象的，对称轴为直线； （2）解：二次函数图象如下图： 当时，则y的取值范围是， 故答案为：． 2．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质： （1）设这个二次函数的解析式是，然后利用待定系数法解答即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）根据当时，y取得最小值，最小值为，当时，，当时，，即可写出y的取值范围． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式是， 把点代入得： ，解得：， ∴这个二次函数的解析式是； （2）解：如图，画出这个二次函数的图象如下： （3）解：根据题意得：， ∴当时，y取得最小值，最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围为． 故答案为： 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据函数图象，可以写出A、B、C的坐标，从而可以求得b、c的值； （2）根据（1）中b、c的值可以写出函数解析式，从而可以画出函数图象； （3）根据函数图象，可以写出当时，y的取值范围． 本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由图象可得， 点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 则， 解得， 即b、c的值分别是2，3； （2）由（1）知，，， ， 该函数的顶点坐标为，对称轴为直线，图象开口向下， 由对称性可知，图象过点， 所画的函数图象如图所示； （3）由图象可得， 当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【考点四 已知二次函数上对称的两点求对称轴】 例题：（23-24九年级上·湖南湘西·期末）某二次函数的图象过点，利，则此二次函数的图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的图象过点利，可以求得该函数的对称轴，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数的图象过点利， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， 故答案为直线． 故答案为：直线． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若二次函数的图象经过、两点，则这个函数图象的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数与轴的两交点坐标关于对称轴对称是解题关键．由抛物线的对称性得到点A与点B是抛物线上的对称点，即可求出对称轴． 【详解】解： 、两点为二次函数与轴的两交点坐标， 点A与点B是抛物线上的对称点， 又、关于直线对称， 对称轴为直线， 故答案为：直线． 2．（23-24九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的的部分对应值如下表： … … … … 则该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，由于时的函数值相等，根据二次函数的对称性列式计算即可得解． 【详解】二次函数在时，函数值均为． 对称轴为直线： 即： 故答案为：． 3．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意得出，从而得出抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，根据对称性得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，则， 解得：， 点的横坐标是， 故答案为：． 【考点五 根据二次函数的增减性求最值】 例题：（2024·广西·三模）已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意和二次函数的性质得到当时，y随x的增大而减小，进而求得当时，函数的最小值． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，开口向上 ∴当时，y随x的增大而减小 ∴当时， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：3． 【变式训练】 1．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【详解】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值，且， 则当时，， 当时，， ∴在中，函数的最大值为， 故答案为：． 2．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最大值是解题的关键． 由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时；当时，结合题意利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，当时，y的最大值为4， ∵y的最大值为4，距离对称轴最远， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最大值， ∴， 解得； 综上所述：k的值为或． 故答案为：或． 3．（2023九年级·安徽·专题练习）（1）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ． （2）将二次函数配方后变成 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ；当时，函数的取值范围是 ． （3）二次函数的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． （4）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 当a 0时，二次函数有最小值，最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．把二次函数配成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1），对称轴是直线； 故答案为：，； （2），顶点坐标是． ∵，∴当时，函数的最大值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为；当时，；当时，；∴当时，函数的取值范围是； 故答案为：，，，，； （3），则对称轴是直线，顶点坐标是．∵，∴当时，函数的最小值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为． 故答案为：，，，； （4），对称轴是直线，顶点坐标是；当时，二次函数有最小值，最小值为． 故答案为：，，，，． 4．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】 4 1或 【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 【考点六 二次函数的平移】 例题：（23-24九年级上·山东济南·期末）要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，代数式求值，先把配方得到，根据题意反向平移，即把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，于是可得到，，，代入代数式即可计算即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：， 把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东东莞·期中）把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象平移，掌握图形平移规律是解题的关键，根据函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”，由此即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位得，，再向上平移1个单位得，， 故答案为： ． 2．（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）将二次函数向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．先配成顶点式，再根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：， 由题意得，新图象函数的表达式为： ； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了二次函数的平移规律，由一般式转化为顶点式， 首先将化为，然后根据函数平移的规律求解即可． 【详解】∵抛物线， ∴把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为，即． ∴，． 故答案为：，． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 运用配方法即可将其化为顶点式． 【详解】解： 故选：C． 2．（2024·广东河源·一模）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 把点向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度所得对应点的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 3．（2024·广东广州·模拟预测）关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点在函数图象上，当时， D．函数值y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．由于，由此可以确定二次函数的对称轴、顶点坐标，最大或最小值及图象的增减性． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，故A不正确； 函数有最大值，最大值为，故B不正确 当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，故D不正确； 当时，，故C正确． 故选：C． 4．（2024·山西大同·模拟预测）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线； 则抛物线开口向上，反之，抛物线开口向下，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵，且抛物线开口向下， ∴ 故选：C 5．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象的顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意可得抛物线的对称轴是直线，再根据抛物线的性质可得时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，继而得，可判断①②③，时，，可得，即可判断④． 【详解】根据表格数据可得，抛物线的对称轴是直线， ∴二次函数图象在时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，③错误； ∴，即抛物线开口向下，①正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴该函数图象的顶点坐标不为，②错误； ∵时，， ∴， ∴是方程的一个根，④正确； 综上，①④正确， 故选：D． 二、填空题 6．（2024·广西南宁·模拟预测）二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求抛物线的对称轴．根据二次函数的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线． 故答案为：3 7．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得． 【详解】解：令，解得：， 即抛物线与x轴的两个交点坐标为， 由于抛物线的对称轴是直线，即， 解得： 故答案为：． 8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．熟练掌握抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系，是解题的关键．抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系：抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有没有交点． 根据抛物线与x轴有一个交点，根的判别式等于0的性质解答即可． 【详解】二次函数的图象的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据题意知抛物线开口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于时，满足当时，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数，开口向下，对称轴为直线， 时，满足当时，随的增大而减小， 故答案为：． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数 的性质是解决问题的关键.也考查了待定系数法求抛物线解析式. 利用交点式求出抛物线的解析式为则根据二次函数的性质可对①②进行判断；利用 时， 可对③进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为，则写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断. 【详解】∵抛物线经过点， ∴设抛物线的解析式为 把代入得 解得 ∴抛物线解析式为即 ， ∴抛物线开口向上，所以①正确； 抛物线的对称轴是直线 所以②正确； 抛物线与轴的交点坐标为所以③错误； ∵抛物线与轴交于点， 且抛物线开口向上， ∴当时， ， 的解集是所以④正确. 故答案为： ①②④. 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为，且过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为何值时，随的增大而增大； (3)求将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点? 【答案】(1) (2) (3)将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）先根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，根据题意和平移性质可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：由可得抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点． 12．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数． (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图像； … 0 1 2 3 … … 0 … (2)根据图像，完成下列填空： ①当时，随的增大而______； ②当时，的取值范围是______． 【答案】(1)，0，函数的图像见详解 (2)增大； 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、描点法绘制函数图像等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图像与性质． （1）分别计算出时，时的函数值，再在平面直角坐标系中描点，最后用平滑的曲线连接起来即可； （2）①根据图像即可解答；②根据图像，找出抛物线位于轴下方的图像对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， 当时，． 故答案为：，0； 画出函数图形如下图所示： （2）①由图可知，当时，随的增大而增大； 故答案为：增大； ②由表可知，抛物线与轴相交于点，， 由图可知，当时，的取值范围是． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______； (2)表中的_______，_______； (3)若是这个函数图象上的两点，且，则_______（填“>”或“=”或“<”）； (4)写出这个函数的一条性质___________． 【答案】(1)，对称轴 (2) (3) (4)时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将表中已知数据代入即可得到函数表达式； （2）根据（1）求出的解析式代数求值； （3）确定函数图象的开口方向和对称轴，然后根据递减性得出答案； （4）根据函数图象的开口方向和对称轴的位置来确定性质． 【详解】（1）解：将代入， ，解得， ， 故对称轴； （2）解：根据函数解析式：， 当时，， 当时，， 解得或（舍去）， ， 故答案为：； （3）解：根据，， 开口向下， 对称轴， 当时，随的增大而增大， 故，则， 故答案为：； （4）解：根据二次函数的图象可得， 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 14．（2024·河南南阳·二模）已知二次函数 ． (1)当时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出x的取值范围． (2)若点是该函数图象上不同的两点，求m的值． (3)当时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移t个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1，求t的值． 【答案】(1)①；②或 (2) (3)或或或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质并利用分类讨论是解题的关键． （1）①把抛物线化为顶点式，即可得到答案；②先判断函数的增减性，再求出时的自变量值，据此即可得到答案； （2）把点A坐标代入解析式求出t的值，得到函数解析式，再把顶点B的坐标代入即可求出m的值； （3）分情况利用图象的最低点到x轴的距离为1列方程进行解答即可． 【详解】（1）①当时．， ∴该函数图象的顶点坐标为； ②当时．， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∵当时，，解得， ∴当时，或； （2）∵点是该函数图象上不同的两点， ∴把代入得到，，解得， ∴， 把代入得，， 解得， ∵点是该函数图象上不同的两点， ∴ （3）由题意可得，， 将该函数图像沿y轴向上平移t个单位后得到的解析式为， ∵图象的最低点到x轴的距离为1， ∴或 即或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去） ∴或， 将该函数图像沿y轴向下平移t个单位后得到的解析式为， ∵图象的最低点到x轴的距离为1， ∴或 即或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去） ∴或， 综上可知，或或或 15．（2024·河北保定·三模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点且，点为抛物线的对称轴右侧图像上的一点（不含顶点）． (1)的值为 ，抛物线的顶点坐标为 ； (2)设抛物线在点和点之间的部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)若点的坐标满足时，连接．将直线与抛物线围成的封闭图形记为． ①求点的坐标； ②直接写出封闭图形的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数． 【答案】(1)， (2) (3)①； ②个 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）令，求出、两点的坐标，再根据求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式即可求出，从而确定函数的解析式，可得到抛物线的顶点坐标； （2）当时，；当时，，； （3）①联立方程组，即可求解；②求出直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：或， ，， ， ， ， 将点代入， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点为， 故答案为：，； （2）解：当时，， 解得：或， 点为抛物线的对称轴右侧图像上的一点， ， 当时，； 当时，， ； （3）解：①联立方程组， 解得：或（舍）； 点坐标为； ②设直线的解析式为，将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 封闭图形的边界上的整点为，，，，，，，，，，共有个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 1 【考点二 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】 3 【考点三 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】 7 【考点四 已知二次函数上对称的两点求对称轴】 12 【考点五 根据二次函数的增减性求最值】 14 【考点六 二次函数的平移】 18 【过关检测】 20 【典型例题】 【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 例题：（23-24九年级上·浙江温州·期末）将二次函数的解析式化成的形式为 . 【变式训练】 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）将二次函数转化为的形式为 ． 2．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）用配方法把二次函数写成的形式为 ． 3．（23-24九年级上·北京东城·期末）用配方法将二次函数化为的形式为 ． 【考点二 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】 例题：（2024·四川绵阳·模拟预测）关于二次函数的性质说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．函数最小值为2 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．与轴的交点坐标是 C．与两坐标轴有两个交点 D．当时，有最大值 2．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x …           0 3 5 … y …           0           … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 4．（2024·河北·模拟预测）若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点； ④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（ ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【考点三 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】 例题：（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）已知二次函数，完成下列各题： (1)将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴． (2)求出它的图象与x轴的交点坐标． (3)在直角坐标系中，画出它的图象． (4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？ (5)根据图象说明：当x为何值时， 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的顶点坐标和对称轴； (2)画出它的图象．并结合图象，当时，则y的取值范围是______． 2．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示∶ x … 0 1 … y … 0 0 … (1)这个二次函数的解析式是______________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______________． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 【考点四 已知二次函数上对称的两点求对称轴】 例题：（23-24九年级上·湖南湘西·期末）某二次函数的图象过点，利，则此二次函数的图象的对称轴为 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若二次函数的图象经过、两点，则这个函数图象的对称轴为 ． 2．（23-24九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数的的部分对应值如下表： … … … … 则该二次函数图象的对称轴为直线 ． 3．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【考点五 根据二次函数的增减性求最值】 例题：（2024·广西·三模）已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 【变式训练】 1．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 2．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，y的最大值为4，则k的值为 ． 3．（2023九年级·安徽·专题练习）（1）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ． （2）将二次函数配方后变成 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ；当时，函数的取值范围是 ． （3）二次函数的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．当时，函数的最大值为 ，最小值为 ． （4）将二次函数配方后变成 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 当a 0时，二次函数有最小值，最小值为 ． 4．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【考点六 二次函数的平移】 例题：（23-24九年级上·山东济南·期末）要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东东莞·期中）把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的解析式是 ． 2．（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）将二次函数向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的函数表达式是 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东河源·一模）将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点在函数图象上，当时， D．函数值y随x的增大而增大 4．（2024·山西大同·模拟预测）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 下列结论：①该函数图象的开口向下； ②该函数图象的顶点坐标为； ③当时，y随x的增大而减少； ④是方程的一个根． 正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 二、填空题 6．（2024·广西南宁·模拟预测）二次函数的对称轴是直线 ． 7．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ． 9．（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为 ． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为，且过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为何值时，随的增大而增大； (3)求将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点? 12．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知二次函数． (1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图像； … 0 1 2 3 … … 0 … (2)根据图像，完成下列填空： ①当时，随的增大而______； ②当时，的取值范围是______． 13．（23-24八年级下·福建福州·期末）二次函数图象上部分点的横纵坐标的对应值如表： x … 0 1 2 m … y … n … (1)这个二次函数的表达式为_______，对称轴是_______； (2)表中的_______，_______； (3)若是这个函数图象上的两点，且，则_______（填“>”或“=”或“<”）； (4)写出这个函数的一条性质___________． 14．（2024·河南南阳·二模）已知二次函数 ． (1)当时． ①求该函数图象的顶点坐标； ②当时，直接写出x的取值范围． (2)若点是该函数图象上不同的两点，求m的值． (3)当时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移t个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1，求t的值． 15．（2024·河北保定·三模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点且，点为抛物线的对称轴右侧图像上的一点（不含顶点）． (1)的值为 ，抛物线的顶点坐标为 ； (2)设抛物线在点和点之间的部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标之差为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)若点的坐标满足时，连接．将直线与抛物线围成的封闭图形记为． ①求点的坐标； ②直接写出封闭图形的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$