专题22.2 二次函数y=ax²、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k的图象和性质（8考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题22.2 二次函数y=ax²、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k的图象和性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 二次函数y=ax2的图象和性质】 1 【考点二 画二次函数y=ax2的图象】 3 【考点三 二次函数y=ax2+k的图象和性质】 10 【考点四 画二次函数y=ax2+k的图象】 12 【考点五 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质】 18 【考点六 画二次函数y=a(x-h)2的图象】 20 【考点七 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质】 25 【考点八 画二次函数y=a(x-h)2+k的图象】 27 【过关检测】 35 【典型例题】 【考点一 二次函数y=ax2的图象和性质】 例题：（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）对于二次函数，下列说法不正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴为y轴 C．顶点坐标是 D．y随x的增大而减小 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）关于函数的性质表述正确的一项是（    ） A．无论为任何实数，的值总为正数 B．它的图象关于轴对称 C．当的值增大时，的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【考点二 画二次函数y=ax2的图象】 例题：（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数．      (1)填写下表，在图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． … … … … (2)利用图象写出当时，的取值范围是___________． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请按照要求回答下列问题：    (1)在表格内填空； x … 0 1 2 … … 8 … (2)在平面直角坐标系中画函数的图象； (3)观察图象回答问题： 当_________时，y随x的增大而_________； 当_________时，y随x的增大而_________． 2．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …    (1)补齐上表； (2)在所给坐标系内描出表格中的点； (3)将上述各点用平滑曲线连线． (4)由图象可知：当时， ；当时，x的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 【考点三 二次函数y=ax2+k的图象和性质】 例题：（23-24九年级上·湖北·期末）关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东广州·期末）关于二次函数下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．有最小值 D．当时，函数随的增大而减小 2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．拋物线顶点 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【考点四 画二次函数y=ax2+k的图象】 例题：（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知二次函数．    (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 2．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． (1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … (2)任意写出两条该函数图象具有的特征． 3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 【考点五 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质】 例题：（24-25九年级上·全国·假期作业）对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）对于函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．交y轴于点 2．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 3．（2024·江西赣州·模拟预测）已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点六 画二次函数y=a(x-h)2的图象】 例题：已知抛物线 （1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：             … … … … ②描点、连线：    【变式训练】 1．在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 2．（2023九年级下·江苏·专题练习）已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________； ②抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________； ③抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________． 【考点七 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质】 例题：（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）对于抛物线 ，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大. 【变式训练】 1．（2024·宁夏银川·二模）关于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．与轴交于点 C．与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小 2．（2023·河南平顶山·模拟预测）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴是直线 3．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【考点八 画二次函数y=a(x-h)2+k的图象】 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． (1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … …    (2)根据图象写出当为正数时的取值范围为_________； (3)当时，的取值范围为_________． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．        (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，直线与直线只有一个交点，求n的取值范围； 3．（22-23九年级上·重庆开州·期中）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)若点C是点B关于x轴的对称点，连接，，求的面积． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·河北沧州·期末）若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的对称轴为 B．图象的顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 3．（23-24八年级下·重庆·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃陇南·模拟预测）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）抛物线的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 7．（22-23九年级上·四川广安·阶段练习）抛物线上，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y有最 值，是 ． 8．（22-23九年级上·河南南阳·期末）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 9．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 10．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时， ． 三、解答题 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 12．（2024九年级下·江苏·专题练习）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 13．（2024九年级下·江苏·专题练习）在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 14．（2024九年级上·全国·专题练习）已知函数与的交点为，（在的右边）． (1)求点、点的坐标． (2)求的面积． 15．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 16．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 17．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求，的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”． (1)在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）； (2)如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”． ①求的面积的最大值； ②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.2 二次函数y=ax²、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k的图象和性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 二次函数y=ax2的图象和性质】 1 【考点二 画二次函数y=ax2的图象】 3 【考点三 二次函数y=ax2+k的图象和性质】 10 【考点四 画二次函数y=ax2+k的图象】 12 【考点五 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质】 18 【考点六 画二次函数y=a(x-h)2的图象】 20 【考点七 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质】 25 【考点八 画二次函数y=a(x-h)2+k的图象】 27 【过关检测】 35 【典型例题】 【考点一 二次函数y=ax2的图象和性质】 例题：（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）对于二次函数，下列说法不正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴为y轴 C．顶点坐标是 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可对A、B、C、D进行判断． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线开口向下，故选项A不符合题意； ∴对称轴为y轴，故选项B不符合题意； ∴顶点坐标为，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，随的增大而减小； ③当时，； ④若、是该抛物线上的两点，则． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误； ④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确； 正确的说法共有3个， 故选C． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）关于函数的性质表述正确的一项是（    ） A．无论为任何实数，的值总为正数 B．它的图象关于轴对称 C．当的值增大时，的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 【答案】B 【分析】本题考查了是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点在原点，对称轴是轴是解答此题的关键．根据二次函数的性质得出函数的对称轴及其增减性即可得出结论． 【详解】解：， 函数图象的开口向上，对称轴是轴，顶点是原点， 函数图象在第一、二象限内，当时，随的增大而增大，故B正确，A，C，D错误． 故选：B． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　） ①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的性质即可作答． 【详解】根据二次函数和的图象，单独看不关于轴对称，两图象的顶点相同，两图象的开口方向不同，的图象开口向上，的图象开口向下，点只在抛物线上，所以②③④正确． 故选：B． 【考点二 画二次函数y=ax2的图象】 例题：（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数．      (1)填写下表，在图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． … … … … (2)利用图象写出当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （）观察函数图象求解即可． 【详解】（1）根据画函数图像的步骤： 列表： … … … … 描点， 连线； 如图：    （2）根据图象可知：当时，， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象及其性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请按照要求回答下列问题：    (1)在表格内填空； x … 0 1 2 … … 8 … (2)在平面直角坐标系中画函数的图象； (3)观察图象回答问题： 当_________时，y随x的增大而_________； 当_________时，y随x的增大而_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)0，减少；0，增大 【分析】（1）计算出y的值，即可完成填表； （2）描点、连线画出图象即可； （2）观察图象即可得答案． 【详解】（1）解：如表： x … 0 1 2 … … 8 2 0 2 8 … （2）解：描点、连线，函数的图象如图； （3）解：观察图象得， 当时，y随x的增大而减少； 当时，y随x的增大而增大． 故答案为：0，减少；0，增大． 【点睛】此题主要考查了画二次函数的图象，二次函数图象的性质，关键是正确确定x的值，画出二次函数图象． 2．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …    (1)补齐上表； (2)在所给坐标系内描出表格中的点； (3)将上述各点用平滑曲线连线． (4)由图象可知：当时， ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析； (4)8，； 【分析】（1）根据计算填空即可； （2）在坐标系内描点即可； （3）将各点用平滑曲线连接即可； （4）通过图象可知：当时，图象上对应点的纵坐标即为答案；当时，可直接写出的取值范围． 【详解】（1）当时，； 当时，； 故答案为：． （2）描点如下图． （3）用平滑曲线连线如下图．    （4）由图象可知： 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、图象，及图象上点的坐标的特征．描点并作图是学习函数部分必备的基本能力，一定要熟练掌握． 3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 【答案】(1)，轴 (2) (3)图像见解析 【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论； （2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可； （3）根据二次函数的解析式画出函数图象即可． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得：， 二次函数的解析式为， 对称轴为轴， 故答案为：，轴； （2）点， 当时，， 点 点的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）如图    【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． 【考点三 二次函数y=ax2+k的图象和性质】 例题：（23-24九年级上·湖北·期末）关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数中， ， 抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 函数对称轴是y轴，故选项C正确，不符合题意； 把代入中，得， ∴图象的顶点坐标为，故选项B错误，符合题意； ∵图象开口向上，对称轴是y轴， ∴时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东广州·期末）关于二次函数下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．有最小值 D．当时，函数随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象与性质逐项判断即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线中，， 抛物线开口向下，对称轴是轴，故A错误，B正确； 函数有最大值，当当时，函数随的增大而增大，故C、D错误， 故选：B． 2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．拋物线顶点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质可进行求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、因为，所以抛物线开口向上，故正确，不符合题意； 、因为抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，所以，故正确，不符合题意； 、抛物线的对称轴为直线，故错误，符合题意； 、因为抛物线的对称轴为直线，当时，，所以，故正确，不符合题意； 故选：． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据，得到抛物线开口向下，对称轴为y轴，根据，得到当点A、B都在y轴左侧时，，当点A、B都在y轴右侧时，，当点A、B分布在y轴两侧时，，或，且． 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，对称性． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵， 如图1，当点A、B都在y轴左侧时， ∵y随x的增大而增大， ∴， 如图2，当点A、B都在y轴右侧时， ∵y随x的增大而减小， ∴， 当点A、B分布在y轴两侧时，作点A关于y轴的对称点， 如图3，∵， ∴，且， 或如图4，∵， ∴，且． 故选：D． 【考点四 画二次函数y=ax2+k的图象】 例题：（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）已知二次函数．    (1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标______； (2)补充下列表格，并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； … … … … (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，则_____（比较大小）． 【答案】(1)轴，； (2)，，图象见解析； (3)． 【分析】（）根据表格中得数据可得对称轴，根据解析式可求出顶点坐标； （）把的值代入解析式，即可得到的值； （）根据性质即可得出结论； 本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：轴，； （2）当时，； 当时，； 故答案为：，； 利用描点法作出的函数图象如下所示：    （3）∵， ∴抛物线开口向下，在轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． (1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … (2)任意写出两条该函数图象具有的特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所画函数图象，写出两条该函数的性质即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 函数图象如下所示： （2）解：由函数图象可知，该函数在时，有最小值；该函数在时，y随x增大而增大等等． 3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，用描点法画函数图象即可； （2）根据图象列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入中得到： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 1 … 画图如下：    （2）根据题意，作图如下：    ∵函数的开口向上，且对称轴也是y轴，要使当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5， ∴只需保证当时，，且当时，， 即 解得：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键． 【考点五 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质】 例题：（24-25九年级上·全国·假期作业）对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由，抛物线开口向上，而对称轴为直线，可得答案； 【详解】解：∵二次函数， 由于，抛物线开口向上， 而对称轴为直线， 所以当时，y随x的增大而增大． 故选D 【变式训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）对于函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．交y轴于点 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：对于函数的图象， ∵， ∴开口向下，对称轴，顶点坐标为，函数有最大值0， 时，， 交y轴于点， 故A、C、D正确， 故选：B． 2．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 3．（2024·江西赣州·模拟预测）已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：如图所示， A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D 【考点六 画二次函数y=a(x-h)2的图象】 例题：已知抛物线 （1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：             … … … … ②描点、连线：    【答案】（1）向下， x=2， (2,3)； （2） 见解析． 【分析】（1）由二次函数的顶点式，根据二次函数的性质解决问题； （2）利用列表，描点，连线作出图形即可． 【详解】解：（1）因为抛物线为，所以该抛物线开口向向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,3)；   （2） ①列表： … 0 1 2 3 4 … … -1 2 3 2 -1 … ②  描点、连线：    【点睛】本题考查了二次函数的顶点式及二次函数图象的画法，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【变式训练】 1．在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【答案】见解析 【分析】根据列表、描点、连线画出函数的图象，根据图象填表即可 【详解】解：在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 先列表： x ⋯ -3 -2 -1 0 1 2 3 ⋯ ⋯ 2 0 2 ⋯ ⋯ 8 2 0 ⋯ 描点、连线，画出这两个函数的图象： 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向上 y轴 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 开口向上 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是正确的画出函数的图象． 2．（2023九年级下·江苏·专题练习）已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； (4)见解析 【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象； （2）根据二次函数的性质可进行求解； （3）根据二次函数的平移可进行求解； （4）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________； ②抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________； ③抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________． 【答案】（1）作图见解析；（2）①上    ，②上    ，③上     【分析】（1）利用描点法作出图象即可得到答案； （2）根据二次函数图象与性质求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示：    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为； ②抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为； ③抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为； 故答案为：①上    ；②上    ；③上    ． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【考点七 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质】 例题：（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）对于抛物线 ，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大. 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得． 【详解】解：A、对于抛物线，对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、对于抛物线，函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·宁夏银川·二模）关于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．与轴交于点 C．与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图像和性质，根据二次函数的图像与性质即可得出答案． 【详解】解：A．对称轴为直线，原说法错误，故该选项不符合题意； B．另，，与轴交于点，原说法错误，故该选项不符合题意； C．当时，即，化为，且，方程两个不相等的实数根，∴抛物线与轴有两个交点，故该选项不符合题意； D．∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（2023·河南平顶山·模拟预测）对于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而增大 D．对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握顶点式及抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，开口向上，故A说法正确，不合题意； B、顶点坐标为，故B说法正确，不合题意； C、当时，抛物线右侧部分，随的增大而增大，故C说法正确，不合题意； D、抛物线对称轴为，故D说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【考点八 画二次函数y=a(x-h)2+k的图象】 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)向下，，，，， (2)见解析 (3) (4)< 【分析】（1）根据，得抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，令，即，进行计算即可得； （2）根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点连线即可得； （3）根据图象，当时，的取值范围是，即可得； （4）根据点在轴下方，而在轴上方，即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，即， 解得或， 故函数图象与轴的交点坐标为，， 令，则， 故与轴的交点坐标为； 故答案为：向下，，，，，； （2）解：根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点作出函数图象：    （3）解：根据图象，当时，的取值范围是， 故答案为：． （4）解：∵点在轴下方，而在轴上方， ∴． 故答案为：<． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． (1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … …    (2)根据图象写出当为正数时的取值范围为_________； (3)当时，的取值范围为_________． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象，找到时，的取值范围即可； （3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解． 【详解】（1）解：∵， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 画出函数图象，如图：    （2）由图象可知：当为正数时，； 故答案为：； （3）由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称， ∴和时的函数值相同，为最小值，， 当时，有最大值为：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．        (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，直线与直线只有一个交点，求n的取值范围； 【答案】(1)一次函数的表达式为，画图见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）将点A，B坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式，最后描点连线即可； （2）根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的的取值范围求解即可； （3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可； 【详解】（1）∵二次函数二次函数的图象相交于点， ∴，； ∴， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， 描点作图如下：    （2）由（1）中的图象可得， 不等式的解集为：或； （3）把代入得 ∵， 由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，则n的取值范围是或； 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合． 3．（22-23九年级上·重庆开州·期中）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)若点C是点B关于x轴的对称点，连接，，求的面积． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)6 【分析】（1）根据二次函数的图象过点，可得到，，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）根据题意可得点，从而得到中边上的高为3，，再根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点， ，； ，， 一次函数的图象过A点和B点， ，解得：， 一次函数的表达式为， 描点作图如下： （2）解：由（1）中的图象得， 不等式的解集为：； （3）解：∵点C是点B关于x轴的对称点， ∴点， ∴中边上的高为3，， ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积以及函数与不等式的关系等，数形结合是解题的关键． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24九年级上·河北沧州·期末）若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像是解题的关键．根据二次函数图像对称性解答即可． 【详解】解：点与关于二次函数的对称轴轴对称， 故该图像必经过点， 故选C． 2．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的对称轴为 B．图象的顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质进行判断即可．熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】解：，， 函数图象的开口向下，其图象的对称轴为直线， 函数图象的顶点坐标为，二次函数有最大值，最大值为1， 故选：B． 3．（23-24八年级下·重庆·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为，再根据抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，得到即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 可设其解析式为 抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同 抛物线的解析式为． 故选：D． 4．（2024·甘肃陇南·模拟预测）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，距离对称轴越远函数值越小是解答本题的关键．根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，根据点距离对称轴越远函数值越小， 距离对称轴6， 距离对称轴2， 距离对称轴1， ， ， 故选：A 5．（2023九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得到对称轴为，即可得到解析式为，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，二次函数的对称轴为， ， ， 将代入，得， 故选B． 二、填空题 6．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）抛物线的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 下 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标式即可求解． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是，顶点坐标是． 故答案为：下，，． 7．（22-23九年级上·四川广安·阶段练习）抛物线上，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y有最 值，是 ． 【答案】 大 4 【分析】直接根据二次函数的顶点坐标及其增减性即可得出结论．本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 顶点坐标是； 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，取最大值为4． 故答案为：，，，大，4． 8．（22-23九年级上·河南南阳·期末）已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当时，距离对称轴越远的点，函数值越小．先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数的图像开口方向向上，对称轴是直线， ∴距对称轴的距离是， 距对称轴的距离是3， 距对称轴的距离是2， ∵， ∴ 故答案为：． 9．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，三角形面积公式，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据轴，抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与到x轴的距离相等，可知C为顶点，，对称轴为直线，得到在x轴的上方， ，C到的距离为4，根据的面积为4，得到，设，，得到，即得． 【详解】∵抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点， ∴轴，作图如下， ∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等， ∴C为顶点，，对称轴为直线， ∴C在x轴下方，到x轴的距离为2， ∴在x轴的上方，到x轴的距离为2， ∴， ∴C到的距离为：， ∵， ∴， 设点A在点B的左边，则，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时， ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的性质以及正方形的性质，根据“美丽抛物线”的定义，得出D的坐标为，再运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． 【详解】解：依题意，∵ ∴抛物线的顶点A的坐标为，点C的坐标为 ∵“美丽抛物线”的定义 ∴点D的坐标为 将代入， 得 解得（舍去）或． 故答案为：8 三、解答题 11．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 12．（2024九年级下·江苏·专题练习）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【答案】①向上；②；③；④3， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． 13．（2024九年级下·江苏·专题练习）在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【答案】见解析 【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。 【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： x … 0 1 2 3 … … 0 … … 0 … … 0 … 描点、连线，画出这三个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键． 14．（2024九年级上·全国·专题练习）已知函数与的交点为，（在的右边）． (1)求点、点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）根据题意得到，再利用即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 解得：或 在的右边 交点，的坐标分别为，； （2）解：直线与轴交于点 当时，，即点坐标为 又， 点，到的距离分别为3，1 15．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得出抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值， 结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值为， ∴． 16．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点，得，即可求解； （2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解； （3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】（1）解：图像过点，， ； 故答案：； （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； （3）解：由（1）得 ， 整理得：， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令，画出图象如图所示： 由图象得：或， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴， 则有 同理由图象求得， 或， 综上：a的取值范围为：或． 17．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求，的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的周长最小为 (3)或 【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，计算、，求出的最小周长即可； （3）设，根据，，得，，，当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，代入计算即可得出点的坐标． 【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴， ，解得：， ∴，． ∵抛物线经过、， ∴把，代入抛物线，得：， 解得：； （2）∵抛物线， ∴对称轴为， ∴， ∴． 如下图，连接交对称轴于点，连接， ∵、两点关于对称轴对称， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴最小， ∴周长最小， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴； ∴存在满足条件的点，此时，且， ∴的周长最小为； （3）设， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握勾股定理和二次函数的性质是解题的关键． 18．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”． (1)在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）； (2)如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”． ①求的面积的最大值； ②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围． 【答案】(1)①② (2)①4；②或 (3) 【分析】（1）根据定义进行判断即可； （2）求出点P的坐标，结合图形求出的面积取得最大值时点Q的坐标，即可求出的面积的最大值； ②在以O为中心，边长为2的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可； （3）在以O为中心，边长为2m的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“m阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）①到两坐标轴的距离分别是1，1， ∵， ∴是反比例函数图像的“2阶方点”； ②到两坐标轴的距离分别是2，， ∵， ∴是反比例函数图像的“2阶方点”； ③到两坐标轴的距离分别是，， ∵， ∴不是反比例函数图像的“2阶方点”； 故答案为：①②； （2）∵一次函数， ∴一次函数过定点， 当时，， ∴在抛物线上， ∴． ①∵点Q为该一次函数图像的“1阶方点”， ∴当Q的纵坐标为－1时，面积最大． ∴面积最大为； ②∵一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个， ∴在以O为中心，边长为2的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个， 当一次函数过时， ， 解得． 当一次函数过时， ， 解得． 综上：或． （3）在以O为中心，边长为2m的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“m阶方点”一定存在， 如图，当时，， 当抛物线经过点B时， ， 解得； 当抛物线经过点D时， ， 解得（舍）或； ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质吗，坐标与图形的性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$