专题13.3 等腰三角形的性质与判定（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题13.3 等腰三角形的性质与判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 1 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 3 【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】 7 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】 12 【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】 16 【考点六 等腰三角形的性质与判定的综合问题】 23 【过关检测】 29 【典型例题】 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 例题：（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的另一边长为 ． 2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知等腰三角形的一边长为，它的周长为，则它的底边长为 ． 3．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）若是等腰三角形，是其两边，且满足，则周长为 ． 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】 例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为 ． 【变式训练】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】 例题：（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）已知中，，，若，则 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为 ． 2．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）如图，在中，，点是的平分线上的一动点，，的面积为48，则的最小值为 ． 3．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】 例题：（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．    (1)求证：． (2)连接AD，求证：AD⊥BC． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，，，，交延长线于点． 求证：． 2．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在与中，，与相交于点E，．    (1)求证：； (2)连接，设线段的中点分别为M，线段的中点分别为N，直线与相交于点F．求证：F，N，E，M四点共线． 3．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段．若，则的长为 （用含a的式子表示）； (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【考点六 等腰三角形的性质与判定的综合问题】 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于E，F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·重庆江北·期中）如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示，在四边形ABCD中，的平分线与的平分线相交于点F，与的延长线交于点E，连接． 求证： (1)是等腰三角形． (2)若．则________． 3.如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）等腰三角形的一个内角为80度，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 3．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，连接，有．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（22-23八年级上·山西大同·期末）如图，在是边的中线，点分别在边和上，于点F，则以下结论；其中正确的结论是（   ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③ 二、填空题 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，在等腰三角形中，，，则 度．    7．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，平分交于点D，，则 ． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 10．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点C，当是等腰三角形时，的度数为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图：在中，过点作于点，过点作，，若，求的度数． 12．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，求证：．    13．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知中，， (1)若点D为边上的一个点，且，则__________； (2)若过点A的直线l恰好把分成两个等腰三角形，则的度数可能是___________． 14．（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）在中，，，的平分线交边于点．    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，求证：； 15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）已知，在中，． (1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接，若，且，求的度数； (2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； 16．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是    （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.3 等腰三角形的性质与判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 1 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 3 【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】 7 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】 12 【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】 16 【考点六 等腰三角形的性质与判定的综合问题】 23 【过关检测】 29 【典型例题】 【考点一 根据等腰三角形腰定义求第三边或周长】 例题：（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的另一边长为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键． 分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若腰长为3，则底边长为：， ∵， ∴不能组成三角形，舍去； 若底边长为3，则腰长为：， ∵， ∴能组成三角形， ∴该等腰三角形的腰长为5． 故答案为：5． 2．（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知等腰三角形的一边长为，它的周长为，则它的底边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有一条边长为，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰长为时，底边长为，三角形的三边长为，，，不能构成三角形； 当底边长为时，腰长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形； 所以等腰三角形的底边长为． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）若是等腰三角形，是其两边，且满足，则周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系等知识点，根据题意列出方程式求得a、b的值是解答本题的关键． 根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形； （2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形周长为． 所以三角形的周长为20， 故答案为：20． 【考点二 根据等腰三角形等边对等角求角的度数】 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和，设等腰三角形两个内角度数分别为，根据三角形的内角和分两种情况列方程求解即可，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键 【详解】解：设等腰三角形两个内角度数分别为， 当顶角度数为时，可得， 解得， ∴顶角的度数为； 当顶角度数为时，可得， 解得 ∴顶角度数为 故答案为或 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ①当E在时，， ∵， ∴， ； ②当E在点时，， 则 ； ③当E在时，， 则 ； 故答案为：或或． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 【考点三 利用等腰三角形的定义解决新定义型问题】 例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，先根据三边关系确定等腰三角形的底和腰，再根据“优美比”的定义，求解即可． 【详解】解：∵等腰的两边长分别是3和9， 当腰长为3时，，不能组成三角形，不符合题意， ∴腰长为9，底边为3， ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【详解】解：当腰是底的2倍时，底边为，则，可以构成三角形； 当底是腰的2倍时，底边为，则，不能构成三角形； 故答案为：． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 【答案】12或16 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的定义，先根据题意判断，再分两种情况进行讨论：当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：∵将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，且为等腰三角形， ∴， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，连接，如图所示： 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，如图所示： ∴， ∴； ∵为等腰的最短边， ∴不可能是“通径”． 综上分析可知：或16． 故答案为：12或16． 3．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 【考点四 根据等腰三角形三线合一进行求解】 例题：（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）已知中，，，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形判定及性质．根据题意可知是等腰三角形，再利用等腰三角形性质即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．理解等边对等角和等腰三角形三线合一，并能依此求得相应角的度数是解题关键． 利用等边对等角依次可求得和的大小，根据等腰三角形三线合一可得的度数，从而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）如图，在中，，点是的平分线上的一动点，，的面积为48，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称最短问题．过作于，交于，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，推出点，关于对称，得到此时的值最小，且等于，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于，交于， ， ， ， ，， 平分， ， 在与中， ， ， ， 点，关于对称， 此时的值最小，且等于， 的面积为48， ， ， 的最小值为6． 故答案为：6． 3．（22-23八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理： （1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一性质即可证得结论； （2）由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴AD⊥BC； （2）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【考点五 根据等腰三角形三线合一进行证明】 例题：（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．    (1)求证：． (2)连接AD，求证：AD⊥BC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记全等三角形的判定方法与等腰三角形的三线合一是解本题的关键． （1）先证明，再证明即可； （2）先证明，再利用等腰三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ≌ ； （2）如图，连接，   ， ， 是等腰三角形，     是的中点， 是底边上的中线， 也是底边上的高， 即． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，，，，交延长线于点． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，过作于点，则，根据等腰三角形的“三线合一”定理得，再证明，根据全等三角形的性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在与中，，与相交于点E，．    (1)求证：； (2)连接，设线段的中点分别为M，线段的中点分别为N，直线与相交于点F．求证：F，N，E，M四点共线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可证出结论； （2）连接，，，由全等三角形的性质得出，，证出，可得，由等腰三角形的性质可得为的垂直平分线，平分，平分，由，为的垂直平分线，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：连接，，，    ∵， ∴，， ∴， 又∵为的中点，则 ∴为的垂直平分线，平分， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴E，M，F三点共线， ∵，， ∴， ∵N为的中点， ∴平分， ∵平分， ∴N在上， ∴F，N，E，M四点共线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中垂线的性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 3．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧），点D是射线上一个动点（不与点C重合），点E在线段上，且．    (1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段．若，则的长为 （用含a的式子表示）； (2)如图2，当点E与点C不重合时，连接． ①求证：； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①详见解析；②，详见解析 【分析】（1）根据各角之间的关系得出，即可确定位置关系，画出；再由全等三角形的判定和性质得出，即可得出结果； （2）①过点A作于点点N，根据各角之间的关系及全等三角形的判定得出，再由其性质即可得出结果；②在上截取，连接，由各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，即可得出结果． 【详解】（1）当点E与点C重合时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若，过点A作于点M，如图1：    则， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：； （2）①证明：过点A作于点M、点N，如图2：      则， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： 在上截取，连接，如图3：    ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由①知：， 即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，熟练运用全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． 【考点六 等腰三角形的性质与判定的综合问题】 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于E，F． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； （2）， ， 平分， ， ， ， ，， 的周长为： ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·重庆江北·期中）如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证； （2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）在上取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图所示，在四边形ABCD中，的平分线与的平分线相交于点F，与的延长线交于点E，连接． 求证： (1)是等腰三角形． (2)若．则________． 【答案】(1)见解析； (2)7 【分析】（1）由平行线的性质得出，则，可得出，则结论得证； （2）证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 是等腰三角形． （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：7 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 3.如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； （2）证明：平分， ， 又∵， ∴， ∴， ， 是等腰三角形； （3）解：的周长为15， ， ， ， 即， 平分的周长， ， 的周长． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）等腰三角形的一个内角为80度，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．分两种情况讨论：①当角为顶角；②当为底角，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当角为顶角时，顶角度数为； ②当为底角时，顶角：， 故选：C． 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 3．（23-24八年级上·重庆·期末）如图，在中，，点是上一点，且，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．18 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出，进而求出的长，利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； 故选A． 4．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，连接，有．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确地做出辅助线是解题的关键．过作于，根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B 5．（22-23八年级上·山西大同·期末）如图，在是边的中线，点分别在边和上，于点F，则以下结论；其中正确的结论是（   ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查的是全等三角形、等腰直角三角形的性质，利用面积法证明是解答本题的关键．①设，则，从而可得到，，从而可得到；②运用反证法可判断②；③由，可知，由直角三角形斜边上的中线的性质可知，从而可判断③．④证明：的面积=四边形的面积，所以的面积+的面积=四边形的面积+的面积． 【详解】解：∵，，是边的中线， ∴，，， ①设，则， ∵， ∴， ∴． ∴，故①正确；    ②由①得，如果，则， ∴， ∴为的平分线， ∴， ∴，与已知条件矛盾， ∴②错误的； ③在和中， ， ∴， ∴， ∵，M是的中点， ∴， ∴， 即；故③正确． ④由③知 ∴， ∴，即． ∴， ∴，故④错误； 故选D． 二、填空题 6．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图，在等腰三角形中，，，则 度．    【答案】70 【分析】本题主要考查了等边对等角的性质，三角形内角和问题，根据等腰三角形等边对等角可得出，再根据三角形三角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：70． 7．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，平分交于点D，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是等腰三角形的三线合一，根据等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴是边上的中线， ∴． 故答案为：4． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出，，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 10．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点C，当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键； 根据题意分三种情况讨论：①当，②当，③当，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴①当时， 则有； ②当时， 则有； ③当时， 则有， ． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图：在中，过点作于点，过点作，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及三角形内角和定理、等腰三角形性质、平行线性质等知识，先由直角三角形的两个锐角互余得到，再由等腰三角形等边对等角及平行线性质得到答案，熟练掌握三角形内角和定理、等腰三角形性质、平行线性质，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 【详解】解：在中，过点作于点，， ， ， ， ， ． 12．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，连接，由等腰三角形的三线合一性质得出，证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：连接，如图所示： ，为的中点， ， 在和中， ， ， ．    13．（2024八年级上·江苏·专题练习）已知中，， (1)若点D为边上的一个点，且，则__________； (2)若过点A的直线l恰好把分成两个等腰三角形，则的度数可能是___________． 【答案】(1)40； (2)或或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．三角形内角和定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． （1）由，根据等边对等角的性质，即可求得的度数； （2）分别从①，②，，③，去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵中，，点D为边上的一个点，且， ∴； 故答案为：40 （2）有三种情况：①， ∵， ∴， ∵， ∴， ②，， ∴， ∵， ∴， ∴， ③， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或或． 14．（22-23八年级上·江西新余·阶段练习）在中，，，的平分线交边于点．    (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由内角和定理，得，于是，得，所以； （2）过点E作，交于点F，可证，求证，所以，可证，线段等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形．    （2）证明：过点E作，交于点F， 则． ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行的性质，等角对等边，三角形内角和定理；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 15．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）已知，在中，． (1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接，若，且，求的度数； (2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用截长补短法构造全等三角形，是解题的关键： （1）证明，得到，利用角的和差关系，进行求解即可； （2）延长至点，使，先证明，再证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点，使， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是    （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【答案】（1）5；；20；（2）2；，周长为18；（3） 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （3）由（2）知，，然后利用等量代换即可证明、、有怎样的数量关系． 【详解】解：（1）． 理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ∵， ，，，， ，， ，，， 等腰三角形有，，，，共5个， ， 即， 的周长． 故答案为：5；；20； （2）， 平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， 等腰三角形有，， ，即． 可得的周长为18． （3）， 由（1）知， ， ， ， 又， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$