专题13.1 轴对称与线段的垂直平分线（9考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题13.1 轴对称与线段的垂直平分线 目录 【典型例题】 1 【考点一 轴对称图形的识别】 1 【考点二 成轴对称的两个图形的识别】 3 【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 4 【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 7 【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】 13 【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】 19 【考点七 线段垂直平分线的判定定理】 21 【考点八 作垂线（尺规作图）】 25 【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 29 【过关检测】 36 【典型例题】 【考点一 轴对称图形的识别】 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）下列图案中．是轴对称图形的是(    ) A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·河北沧州·期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，靖江市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解析：A、不是轴对称图形，不合题意； B、不是轴对称图形，不合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）下列常见的手机软件图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义：在一个平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：符合轴对称图形的定义只有A选项； 故选：A． 3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图所示图形中，是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．据此即可解答． 【详解】解：A、B、D均不能找到一条直线，使A、B、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、B、D不是轴对称图形，不符合题意； C能找到一条直线，使C沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故C是轴对称图形，符合题意； 故选：C． 【考点二 成轴对称的两个图形的识别】 例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是关键，根据轴对称的定义：“如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称”，进行逐一判断即可． 【详解】解：②③是轴对称，①④不是轴对称， 故选：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（    ） A． B．     C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的定义，如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这两个图形 叫做成轴对称．根据轴对称的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项图中两个字母“E”能关于某条直线成轴对称，故选项不符合题意； D．图中两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称，故D不符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可： 【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意； 只有D成轴对称，符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查轴对称的定义：两个图形，沿着一条直线翻折后，去其中的一个图形与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，根据定义依次判断即可． 【详解】解：①③是轴对称，②④不是轴对称， 故选：B． 【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 例题：（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据成轴对称的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不成轴对称，故本选项错误； B、成轴对称，故本选项正确； C、不成轴对称，故本选项错误； D、不成轴对称，故本选项错误． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等是解题的关键． 【详解】解：与关于直线对称，为上任意一点， 垂直平分， ∴，与面积相等，故A，B，C选项不符合题意； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意． 故选：D． 【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)12cm (2)134° 【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式． （1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，为． （2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到． 【详解】（1）解：如图，∵点P与点M关于对称，    ∴， ∵点P与点N关于对称， ∴， ∵， ∴的周长为． （2）解：∵点P与点M 关于对称， ∴， 即， ∵点P 与点N 关于 对称， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图， 与关于直线 l对称，若 ，求 的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查对称的性质和三角形内角和定理，根据对称得到，利用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解∵与关于直线 l对称， ， ． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．    (1)若，，求的长； (2)若，，，求的度数； (3)连接和，则和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)；理由见解析 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握轴对称的性质是银题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应角相等，以及三角形内角和等于180度，求解即可； （3）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得，，即可由平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴ ． （2）解：∵和关于直线对称， ∴，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：， 理由：如图，    ∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称，点与点关于直线对称， ∴，， ． 3．（22-23八年级上·吉林·阶段练习）如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)①若，求的度数； ②若，则__________°（用含的代数式表示）； (2)若，则的周长为__________． 【答案】(1)①；② (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用， （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 熟知轴对称的性质是关键． 【详解】（1）解：①点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ； ②点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， 故答案为：； （2）点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4， 故答案为：4． 【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】 例题：（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中， ，，点D是边的中点，点E在边上（不与点B、C重合），连结，将沿翻折得到，点B的对应点为点F． (1)当时，的大小为 度． (2)当时，求的大小． (3)当时，直接写出的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了轴对称，三角形的内角和定理与外角的性质，平行线的性质． （1）由三角形的内角和定理求出，进而由翻折可求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答； （2）当时，，从而由折叠可得，由三角形的内角和定理与翻折求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答； （3）分两种情况讨论，向下翻折或向下翻折，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∵ ∴． 故答案为：100 （2）解：当时，， 由折叠可得，又 ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∵， ∴． （3）解：∵，， ∴． ①如图，若向下翻折时， 当时，， 由折叠可得，又 ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∵， ∴； ②如图，若向上翻折时， 当时，， ∴， ∴ 由折叠可得， ∴， ∴， ∴由折叠可得， ∴； 综上所述，或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）有一条纸带，现小慧对纸带进行了下列操作： (1)为了检验纸带的两条边线与是否平行，小慧按如图①所示画了直线l，后量得，则，理由为________； (2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设，请求出的度数． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2) 【分析】本题考查了平行线判定与性质，翻折的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定方法即可解决问题． （2）如图②中，证明即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中，， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行． （2）解：如图②中， 由翻折的性质可知，， ， ， ， ， ． 2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结． (1)若，求的度数； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据折叠的性质，平移的性质和平行线的性质即可求解； （）由折叠的性质，平移的性质即可求解； 本题考查了折叠的性质，平移的性质和平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，， ∴， 由平移性质可知：， ∴； （2）由折叠性质可知，， 由平移性质可知：，， 则四边形的周长为． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片中，，点E在边上，把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F，若，则求的度数． （2）如图2，在一张三角形的纸片中，，，点E在边上，把纸片沿翻折，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F ①求证：． ②若，探究与β之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；①见解析；② 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，， （1）设，由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，，从而得出，再 ，列出方程，求解即可； （2）①由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，从而得出，即，再求得，而由三角形内角和定理可得，从而证得结果； ②由平行线的性质可得，再由，，可得出，再求解即可． 【详解】解：（1）设， 把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）①把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ； ②， ， ，， ， . 【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【答案】85 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 【变式训练】 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：13． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线性质知，．的周长，解方程得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又的周长， 即， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，然后利用的周长为和等量代换可得，即可解答． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． ∴， ∵的周长为， ， ， ， ∴的长为； 故选：． 【考点七 线段垂直平分线的判定定理】 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、， 垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）根据直接证明； （2）根据，，即可得证垂直平分． 【详解】（1）证明：在与中， ∴； （2）∵，， ∴点、点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接， ，由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【考点八 作垂线（尺规作图）】 例题：（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线：因为使P到两条道路的距离相等，所以点P应在的平分线上；而且要使，所以点P还应在的中垂线上，即的平分线和的中垂线的交点，即为点P． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． (1)作的平分线； (2)求作一点Q，使Q点在上，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据角平分线的作法作的平分线即可； （2）作的垂直平分线交于点，即可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求． ． 2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，垂直平分线的性质． （1）根据尺规作图—垂直平分线的作法和步骤，即可作出； （2）根据垂直平分线的性质得出，则的周长． 【详解】（1）解：如图为所求； （2）解：连接． 点D在的垂直平分线上， ，， 周长= ． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质； （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）连接，与交于点O，证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图，连接，与交于点O， ∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴． 【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 例题：（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【答案】2.5 【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解． 【详解】解：如图，连接、 ∵是的角平分线，且、， ，， 又， ， ，， ∵垂直平分， ， ， ， ，， 设，则，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和判定，熟练掌握各定理是解题的关键： （1）根据题意连接，利用线段垂直平分线的性质可得，依据角平分线的性质得，依据证明，根据全等三角形的性质可得出结论； （2）由题意可得，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵D是垂直平分线上的点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中 ∴ ∴； （2）在和中 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）证明得到，进而由即可求证； （）证明得到，进而由平行线的性质得到，即可由三角形内角和定理得到，即可求证； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵ 是边上的高， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在中，和的角平分线相交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，H是边上一点，连接恰好是的垂直平分线，延长至点N，过点N作的平行线交于于点M，且，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义： （1）先由三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义可得，则； （2）连接，证明，得到，则，再证明，得到．可得．由，的． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵和的角平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）下列图形不是轴对称图形的有（  ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义可知： 是轴对称图形，共个， ∴不是轴对称图形有个， 故选：． 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，边上的垂直平分线交于点，交于点，，的周长为，则的长为（      ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴， 故选：． 3．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于和的对称点，得，再根据，所以，即可求出答案． 【详解】解：点E和点F分别是点D关于和的对称点， ， ， ， ， 故选：A． 4．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）将沿着平行于的直线折叠，点A落到点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，先由三角形内角和定理和平行线的性质得到，再由折叠的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 5．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键． 连接，证，得出，再证，得 ，然后证，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分， ， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ． 故选：A． 二、填空题 6．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知点关于x轴的对称点为，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出m、n的值即可得到答案． 【详解】∵点关于x轴的对称点为， ∴ 故答案为：5． 7．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若的周长为，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质．直接根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”即可得出结论． 【详解】解：、的垂直平分线分别交于点、， ，， ． 故答案为：9． 8．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在的内部有一点，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于，点，若的周长为，则线段的长为 ． 【答案】30 【分析】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．利用对称性得到，，把求的长转化成的周长，问题得解． 【详解】解：∵点关于、的对称点分别为、， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，相交于点E，．将沿折叠，点D落在点处，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 证明，得，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查角的计算，翻折性质，分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时．当点N在点M的下方时，分别求解即可． 【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时． ， ， 由翻折变换的性质可知， ， ； 如图2，当点N在点M的下方时，， 由翻折变换的性质可知， ； 综上所述，满足条件的或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定．熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，故可得出结论； （2）先由平分得出，再根据可知，得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵，则 ∴， ∴； （2）∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴垂直平分． 12．（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）作图题：如图所示， (1)在中：画出边上的高和中线． (2)如图，已知点M、N和，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到的两边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，作角平分线，掌握相关作图步骤和方法是解题的关键． （1）以A为圆心，为半径画弧，交延长线于点F，作的垂直平分线，交于点D，连接，即为边上的高；作的垂直平分线交于点E，连接，即为中线； （2）连接，作的垂直平分线和的角平分线，相交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点P即为所求： 13．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 14．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．    (1)若的周长为19，的周长为7，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 15．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，，，平分． (1)①若，，则________度； ②判断，，三者之间的数量关系，并证明； (2)如图2，若M是边上的一点，将，折叠，使点B，C的对应点，落在线段的延长线上，折痕分别为，．当M与D重合时，则；当M与E重合时，则．求的度数． 【答案】(1)①35；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①先求解，再利用三角形的内角和定理可得答案；②分别求解，，再利用角的和差关系可得答案； （2）由题意得，，，如图，当M与D重合时，，证明；如图，当M与E重合时，平分，证明．再建立方程组解题即可； 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵平分， ， ∵， ∵， ， ， （2）解：由题意得，，， 如图，当M与D重合时，， ∴，， 又∵，， ∴ ， ∴； 如图，当M与E重合时，平分， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴． 联立, 解得：． 【点睛】本题考查的是与三角形的角平分线相关的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的高的含义，二元一次方程组的解法，轴对称的性质，理解题意是解本题的关键. 16．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图①，在中，，，在上取点P，连结，将沿折叠，使点B的对应点E恰好落在射线上． (1)当时，_______，_______． (2)如图②，延长至点D，连结，在上取点Q，连结，将沿C折叠，使点D的对应点F恰好落在射线上，． ①当点F在线段上且不与点A重合时，求（用含的代数式表示）． ②当，时，______________（用含、的代数式表示）． ③当时，若，则_________． 【答案】(1)， (2)①；②；③或 【分析】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，折叠的性质，外角的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由直角三角形的两锐角互余可求的度数，由折叠的性质可得，由外角的性质可求解； （2）①由直角三角形的两锐角互余可求的度数，由折叠的性质可得，由外角的性质可求解； ②由，，可得点E，点F都在点A上方，由①同样方法可求，，即可求解； ③先求出的度数，再分当点F在点A上方和当点F在点A下方两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：如图，，， ， ∵将沿折叠， ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， 由折叠可知， 又，； ，， ∴点E，点F都在点A上方， 如图③， ， ， ， ， 由折叠可知， 又， ， 同理可得：， ， 故答案为：； ， ， ， ， 当点F在点A上方时，， ， 当点F在点A下方时，， ， 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.1 轴对称与线段的垂直平分线 目录 【典型例题】 1 【考点一 轴对称图形的识别】 1 【考点二 成轴对称的两个图形的识别】 3 【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 4 【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 7 【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】 13 【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】 19 【考点七 线段垂直平分线的判定定理】 21 【考点八 作垂线（尺规作图）】 25 【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 29 【过关检测】 36 【典型例题】 【考点一 轴对称图形的识别】 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）下列图案中．是轴对称图形的是(    ) A．B．C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·河北沧州·期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，靖江市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）下列常见的手机软件图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图所示图形中，是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【考点二 成轴对称的两个图形的识别】 例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（    ） A． B．     C．   D．   2．（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．  B．  C．   D．   3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 例题：（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．    (1)连接，若求的周长； (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图， 与关于直线 l对称，若 ，求 的度数． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．    (1)若，，求的长； (2)若，，，求的度数； (3)连接和，则和的位置关系，并说明理由． 3．（22-23八年级上·吉林·阶段练习）如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)①若，求的度数； ②若，则__________°（用含的代数式表示）； (2)若，则的周长为__________． 【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】 例题：（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中， ，，点D是边的中点，点E在边上（不与点B、C重合），连结，将沿翻折得到，点B的对应点为点F． (1)当时，的大小为 度． (2)当时，求的大小． (3)当时，直接写出的大小． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）有一条纸带，现小慧对纸带进行了下列操作： (1)为了检验纸带的两条边线与是否平行，小慧按如图①所示画了直线l，后量得，则，理由为________； (2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设，请求出的度数． 2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结． (1)若，求的度数； (2)若，求四边形的周长． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片中，，点E在边上，把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F，若，则求的度数． （2）如图2，在一张三角形的纸片中，，，点E在边上，把纸片沿翻折，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F ①求证：． ②若，探究与β之间的数量关系，并说明理由．    【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【变式训练】 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是 ． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则底边的长为 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 【考点七 线段垂直平分线的判定定理】 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【考点八 作垂线（尺规作图）】 例题：（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 【变式训练】 1．（22-23八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． (1)作的平分线； (2)求作一点Q，使Q点在上，且． 2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 例题：（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在中，和的角平分线相交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，H是边上一点，连接恰好是的垂直平分线，延长至点N，过点N作的平行线交于于点M，且，若，求的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）下列图形不是轴对称图形的有（  ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，边上的垂直平分线交于点，交于点，，的周长为，则的长为（      ）． A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）将沿着平行于的直线折叠，点A落到点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 6．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知点关于x轴的对称点为，则 ． 7．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若的周长为，则的长为 ． 8．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在的内部有一点，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于，点，若的周长为，则线段的长为 ． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，相交于点E，．将沿折叠，点D落在点处，若，则的大小为 ． 10．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ． 三、解答题 11．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 12．（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）作图题：如图所示， (1)在中：画出边上的高和中线． (2)如图，已知点M、N和，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到的两边的距离相等． 13．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 14．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．    (1)若的周长为19，的周长为7，求的长． (2)若，，求的度数． 15．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，，，平分． (1)①若，，则________度； ②判断，，三者之间的数量关系，并证明； (2)如图2，若M是边上的一点，将，折叠，使点B，C的对应点，落在线段的延长线上，折痕分别为，．当M与D重合时，则；当M与E重合时，则．求的度数． 16．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图①，在中，，，在上取点P，连结，将沿折叠，使点B的对应点E恰好落在射线上． (1)当时，_______，_______． (2)如图②，延长至点D，连结，在上取点Q，连结，将沿C折叠，使点D的对应点F恰好落在射线上，． ①当点F在线段上且不与点A重合时，求（用含的代数式表示）． ②当，时，______________（用含、的代数式表示）． ③当时，若，则_________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$