专题12.5 解题技巧专题：全等三角形中多解、动点、最值与新定义型问题（5大考点）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题12.5 解题技巧专题：全等三角形中多解、动点、最值与新定义型问题 目录 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 1 【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 7 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 16 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 22 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 35 【典型例题】 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 2．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，，，动点从点出发（不含点）以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，且始终保持，当点运动 秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知是的高，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离点的方向运动，连接，设运动时间为秒；（1）当为 秒时，的面积为；（2）当为 秒时，．    【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 例题：（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23八年级上·山东日照·期末）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分； ②点P到三边所在直线的距离相等； ③若、分别垂直，于M、N，则； ④． 其中正确的是（　　）    A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．①②③④ 3．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，中，，于点D，过点A作且，点E是上一点且，连接，，连接交于点G．下列结论中正确的有（    ）个． ①；②；③平分；④．    A．2 B．3 C．4 D．5 4．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，平分，若M，N为边上的动点，那么的最小值为 ．    4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的中线，是的平分线，，，若E，F分别是边和上的动点，则的最小值是 ． 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 2．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）平面直角坐标系中，点A，C分别是轴和轴上的动点，．    (1)如图1，若，求点的坐标 (2)如图2，过点作轴，交轴于点，交的延长线于点F，交轴于点，若平分，，求点的纵坐标； (3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值（用含的式子表示） 4．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知中，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时． ①请写出和之间的数量关系为 ，位置关系为 ； ②求证：； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明． (3)拓展延伸：如图③，当点在的 延长线上且其他条件不变时，若，求线段的长．并求的面积． 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 例题：（23-24八年级上·河南商丘·期中）阅读下列材料，并完成任务． 筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质也可以作为图形的判定方法．也就是说，如图，若四边形是一个筝形，则，；若，，则四边形是筝形． 如图，四边形是一个筝形，其中，．对角线，相交于点O，过点O作，，垂足分别为E，F，求证：四边形是筝形． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【初步认识】 （1）如图，四边形是等角四边形，，，则_____； 【继续探索】 （2）如图，四边形是等角四边形，平分，平分，求证：； （1）如图，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形，且． （要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 2．（23-24八年级下·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 3．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.5 解题技巧专题：全等三角形中多解、动点、最值与新定义型问题 目录 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 1 【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 7 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 16 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 22 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 35 【典型例题】 【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【答案】或5 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴ ∴ ∴ ∵点P的运动时间为每秒3个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴ ∴ ∴ ∴（秒） 综上所述，当t的值为或5秒时，与全等． 故答案为：或5． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 【答案】1或 【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ②当，时，， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，存在某一时刻，与全等， 故答案为：1或 2．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，，，动点从点出发（不含点）以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，且始终保持，当点运动 秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 【答案】1或3或4 【分析】设点P运动时间为t秒，根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可． 【详解】解：∵， ∴， 设点P运动时间为t秒， ∵，， ∴当时， ， ∴， 解得：（舍）或； 当时， ， ∴， 解得：或； 综上：1秒或3秒或4秒时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：1或3或4． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知是的高，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离点的方向运动，连接，设运动时间为秒；（1）当为 秒时，的面积为；（2）当为 秒时，．    【答案】 或； 2或4 【分析】（1）根据面积公式列出方程，求出的值，分两种情况分别求出t的值即可； （2）假设，根据全等三角形的对应边相等得出，分别用含t的代数式表示和，得到关于t的方程，从而求出t的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 若D在B点右侧，则， ∴ ； 若D在B点左侧，则， ∴； 综上所述：当t为秒或秒时，的面积为； 故答案为：或； （2）动点E从点C沿射线方向运动2秒或当动点E从点C沿射线的反向延长线方向运动4秒时，． 理由如下： ①当E在射线上时，D必在上，则需．如图所示，    ∵， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴； ②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需．如图，    ∵， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴． 综上可知，当或时． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及面积的计算；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质，注意分类讨论． 【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】 例题：（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． 有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵，， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是个． 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于M，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使，    ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于M，    ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 2．（22-23八年级上·山东日照·期末）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论： ①平分； ②点P到三边所在直线的距离相等； ③若、分别垂直，于M、N，则； ④． 其中正确的是（　　）    A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，借助辅助线综合运用角平分线的性质和判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点P作，，，由角平分线的性质定理可得出即可判断①②， 利用全等三角形的判定以及性质可判断③，利用角平分线的定义可判断④． 【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、D，    ①∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的角平分线上，点P到三边所在直线的距离相等， 故①，②正确； ③在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故③正确； ④∵平分，平分， ∴，， ∴， 故④正确． 综上所述，①②③④正确． 故选：D． 3．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，中，，于点D，过点A作且，点E是上一点且，连接，，连接交于点G．下列结论中正确的有（    ）个． ①；②；③平分；④．    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由“”可证，再由全等三角形的性质依次判断即可． 【详解】解：，， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ， ，，故②正确； ，， ， 平分，故③正确； ， ， ∵，， ，故④正确； ∴正确的结论①②③④，共有4个． 故选：C． 4．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论： ①，②，③平分，④平分．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；由证明，得到，由三角形的外角性质得：，得出，①正确；根据全等三角形的性质得出，，②正确；作于G，于H，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，②正确； ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴，①正确； 作于G，于H，如图所示： 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设 ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选：B． 【考点三 全等三角形中的动点最值问题】 例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接ME， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识．在射线上取一点，使得．过点作于．利用等积法求得，证明，推出，推出，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：在射线上取一点，使得．过点作于． ∵， ∴， 平分， ， ，， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/66度 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，平分，若M，N为边上的动点，那么的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】如图，在上取，连接，可证，得，于是．过点C作于点F，，即的最小值为．由等积法求得． 【详解】解：如图，在上取，连接， ∵， ∴． ∴． ∴． 过点C作于点F，， 即的最小值为． ∵ ∴，解得． ∴的最小值为．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，垂线段最短；理解垂线段最短是解题的关键． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的中线，是的平分线，，，若E，F分别是边和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质等等，过点C作于G，延长交于H，连接，证明得到，，再证明得到，则当共线且时最小，即此时最小，最小值为的长；由三角形中线的性质得到，则点C到的距离为，则可利用等面积法求出． 【详解】解：如图所示，过点C作于G，延长交于H，连接， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时最小，即此时最小，最小值为的长； ∵为边上的中线， ∴， ∴点C到的距离为， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【考点四 全等三角形中的动点综合问题】 例题：（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5； (2)，； (3)或时，与全等； 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）只要证明即可解决问题； （2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段上时，，②当点Q在射线上时，时； （3）分两种情形求解即可①如图2中，当时，，②如图3中，当时，；再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， ， ∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由题意得， ，， ①当点Q在线段上时，，如图， ∴； ②当点Q在射线上时，，如图， ∴； （3）解：存在，理由如下， ①如图2中，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ②如图3中，当时， ∵，， ， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，或时，与全等． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)6 (2)或 (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：6； （2）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； 故答案为：或； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 2．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l上一动点，连接，，且． (1)【问题解决】如图①，当点P在线段上时，若，，则 （填“＞”或“＝”或“＜”）； (2)【问题探究】如图②，当点P在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)＝ (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）可证明≌，从而得出结果； （2）可证明≌从而得出，进而得出结论； （3）证明≌，从而得出，从而得出． 【详解】（1）∵，， ∴≌， ∴， 故答案为：＝； （2），理由如下： ∵，， ∴≌， ∴. ∵， ∴； （3），理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴≌， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）平面直角坐标系中，点A，C分别是轴和轴上的动点，．    (1)如图1，若，求点的坐标 (2)如图2，过点作轴，交轴于点，交的延长线于点F，交轴于点，若平分，，求点的纵坐标； (3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点B作轴于点D，通过证明，得出，即可求出点B的坐标； （2）先证明，得出，根据平分，，得出，即可求出点B的纵坐标； （3）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据折叠的性质和角平分线的性质推出，通过证明，得出，通过证明，得出，即可得出，最后证明，得出，即可求解． 【详解】（1）解：过点B作轴于点D， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）解：∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴点B的纵坐标为； （3）解：连接，过点E作于点M，过点E作于点N， 由折叠的性质可得：， ∵，，， ∴， ∵为的角平分线，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴．    【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知中，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时． ①请写出和之间的数量关系为 ，位置关系为 ； ②求证：； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明． (3)拓展延伸：如图③，当点在的 延长线上且其他条件不变时，若，求线段的长．并求的面积． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析 (3)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用,等腰直角三角形的性质： （1）①根据条件，，，，判定，即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到； （2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到； （3）根据条件判定，得出，进而得到，最后根据，，即可求得线段的长，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）①如图1，由题意，，，，，， ， 在和中， ， ， ，， ，即； 故答案为：，； ②由①得， ， ； （2）不成立，存在的数量关系为． 理由：如图，由同理可得， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图3，由(1)同理可得， 在和中， ， ， ， ， ，， ． ， ，即 ． 【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】 例题：（23-24八年级上·河南商丘·期中）阅读下列材料，并完成任务． 筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质也可以作为图形的判定方法．也就是说，如图，若四边形是一个筝形，则，；若，，则四边形是筝形． 如图，四边形是一个筝形，其中，．对角线，相交于点O，过点O作，，垂足分别为E，F，求证：四边形是筝形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用证得，可得，再利用证得，可得，，进而可求证结论，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是筝形． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【初步认识】 （1）如图，四边形是等角四边形，，，则_____； 【继续探索】 （2）如图，四边形是等角四边形，平分，平分，求证：； （1）如图，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形，且． （要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1）135；（2）证明见解析；（3）见解析 【分析】（1）由题意得出，再由计算即可得出答案； （2）设，由角平分线的定义得出，，求出，在计算出，得出，即可得证； （3）根据等角四边形的定义作图即可． 【详解】（1）解：∵四边形是等角四边形，，， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是等角四边形， ∴， 设， ∵在四边形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，作，作射线，作，，、交于点，点即为所求， ， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是等角四边形， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、作图—设计与应用作图、三角形内角和定理、平行线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．（23-24八年级下·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 【答案】(1)①见解析；②相等，理由见解析 (2)变化，最大值为18 【分析】（1）①由正方形的性质可以得出，，，即可得出而得出结论； ②如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点，通过证明就有而得出结论； （2）根据（1）可以得出，要使最大，就要使最大，当时最大，即可求出结论． 【详解】（1）解：①证明：正方形和正方形， ，，， ， ， ． 在和中， ， ． ， ． ②． 理由如下： 如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点．      ． 四边形，四边形均为正方形， ，， ，． ． 在和中， ， ， ． ， ，， ； （2）的值发生变化；的最大值为18；理由如下： 由（1）得，是面积的三倍， 要使最大，只需的面积最大， 当是直角三角形，即时，有最大值． 此时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． 3．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；，证明见解析； (2)是的“旋补中线”， 证明见解析 【分析】（1）材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【详解】（1）解：材料：由题意得：，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， 故答案为：； 探索一：； 证明：如图1，延长至点E使，连接，    ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）是的“旋补中线”； 证明：如图，作于H，作交延长线于F，    ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴是的“旋补中线”． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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