专题12.3 角的平分线的性质（5考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题12.3 角的平分线的性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 角平分线性质定理】 1 【考点二 角平分线的判定定理】 5 【考点三 角平分线性质的实际应用】 8 【考点四 作角平分线（尺规作图）】 10 【考点五 与角平分线有关的综合问题】 12 【过关检测】 20 【典型例题】 【考点一 角平分线性质定理】 例题：（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图平分，，垂足分别为E、F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式训练】 1．（2023上·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，，点E是的中点．平分．    (1)求证：是的平分线； (2)已知，，求四边形的面积． 2．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，则的周长______． 【考点二 角平分线的判定定理】 例题：如图，，两点分别在射线，上，点在的内部且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)如果，，求的长． 【变式训练】 1．如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)写出与之间的等量关系，并说明理由． 2．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．    (1)求证：是的平分线； (2)若，，．求的长． 【考点三 角平分线性质的实际应用】 例题：三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式训练】 1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【考点四 作角平分线（尺规作图）】 例题：已知：如图，在中，，．        (1)求作的平分线，交于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的角度？ 【变式训练】 1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置． 2．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，点D在的边上，且． (1)作的平分线，交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【考点五 与角平分线有关的综合问题】 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示，在四边形中，，E为的中点，连接、，延长交的延长线于点F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，则吗？为什么？ (3)在（2）的条件下，若，，求点E到的距离． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、，交于D点，交y轴正半轴于点． (1)如图1，求C点的坐标； (2)如图2，连接，求证：是的角平分线； (3)如图3，已知点，，若，，直接写出Q的坐标(用含a的式子表示)． 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由． (2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 3．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知：点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线、上的点，且． (1)当点M在线段上，点N在线段的延长线上时（如图1）．求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当点M在线段的延长线上时（如图2），若，，则四边形的面积为_______． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则线段的长不可能是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 2．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）三角形三条角平分线交于一个点，这个点（   ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三角顶点的距离相等 C．可以在三角形的某一边上 D．可以在三角形的外面 3．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于D，若，点D到边的距离为6，则的长是 ． 7．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于点，当，的面积为时，的长为 ． 8．（23-24八年级下·云南文山·期末）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是 ． 9．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线，交于点． 如果的面积为9，则的面积为 ． 10．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 三、解答题 11．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中的外角平分线于的外角平分线相交于点，求证：点在的角平分线上． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，的外角和的平分线相交于点， (1)求证：点在的平分线上； (2)若，求的大小． 14．（22-23八年级上·贵州安顺·期中）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图（1）．      (1)知识应用：小风想要做一个如图（2）所示的风筝，他想先固定中间的“十字架”，再确定四周，从数学的角度看，小风确定“十字架”时应满足什么要求？并证明你的结论． (2)知识拓展：如图（3）所示，如果为内一点，平分，且，试证明：． 15．（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）在平面直角坐标系中，点,点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图1，当点C的坐标为时，试求点E的坐标； (2)如图2，当时，连接,证平分； (3)如图3，当时，求的度数． 16．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.3 角的平分线的性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 角平分线性质定理】 1 【考点二 角平分线的判定定理】 5 【考点三 角平分线性质的实际应用】 8 【考点四 作角平分线（尺规作图）】 10 【考点五 与角平分线有关的综合问题】 12 【过关检测】 20 【典型例题】 【考点一 角平分线性质定理】 例题：（2023上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知：如图平分，，垂足分别为E、F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)22 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，本题中求证和是解题的关键． （1）先证明，再根据即可证明； （2）先求出，再根据即可证明，进而可求出的长． 【详解】（1）平分，于，于， ，，， 在和中， ， ； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（2023上·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，，点E是的中点．平分．    (1)求证：是的平分线； (2)已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理； （1）根据角平分线的性质得出，根据中点定义得出，从而得出，证明，得出，即可证明结论； （2）证明，得出，，根据，得出，，求出，根据，得出即可． 【详解】（1）证明：过点E作于点F，如图所示：    ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴． 2．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，则的周长______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出，，证明，即可得出结论； （2）证明，可得，然后求出的周长为，计算即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵D在的中垂线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴的周长为：， 故答案为：． 【考点二 角平分线的判定定理】 例题：如图，，两点分别在射线，上，点在的内部且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)如果，，求的长． 【详解】（1）证明：由题意得： ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分． （2）在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)写出与之间的等量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴与 均为直角三角形， ∵在 与中， ∵， ∴ ∴， ∴平分； （2）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在 与中， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 2．如图，P是上一点，于点D，于点E．F，G分别是上的点．．    (1)求证：是的平分线； (2)若，，．求的长． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵于点D，于点E， ∴：是的平分线 （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 【考点三 角平分线性质的实际应用】 例题：三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在的角平分线的交点处， 故选：C． 【变式训练】 1．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：如图所示，    分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点共个点， 故选：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，铁路和铁路交于O处，河道与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路，的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为水厂的位置． 【考点四 作角平分线（尺规作图）】 例题：已知：如图，在中，，．        (1)求作的平分线，交于点P．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的角度？ 【详解】（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧交，于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接点与该点所在直线交于点P，如图所示：即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵平分， ∴． 【变式训练】 1．如图所示，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定点P的位置． 【详解】解：如图所示，点P即为所要求作的点． 2．（23-24八年级上·广西南宁·开学考试）如图，点D在的边上，且． (1)作的平分线，交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，但不必写出作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形外角性质，基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． （1）利用基本作图：作已知角的平分线作法，作的平分线即可； （2）先根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角性质得，利用，则，然后根据平行线的判定方法可判定． 【详解】（1）解：如图，DE为所作； （2）解：平分， ， 而， 即， ， ， ． 【考点五 与角平分线有关的综合问题】 例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示，在四边形中，，E为的中点，连接、，延长交的延长线于点F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，则吗？为什么？ (3)在（2）的条件下，若，，求点E到的距离． 【答案】(1)；见解析 (2)；见解析 (3)3 【分析】（1）根据可知，再根据E是的中点可求出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）由（1）知，得到，，由于，等量代换得到，即，证得，即可得到结论； （3）在（2）的条件下有，得到，根据角平分线的性质即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵在与中 ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴，， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（2）的条件下有， ∴， ∴E到的距离等于E到的距离， ∵，， ∴点E到的距离为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，点到直线的距离，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1，在平面直角坐标系中，的顶点、，交于D点，交y轴正半轴于点． (1)如图1，求C点的坐标； (2)如图2，连接，求证：是的角平分线； (3)如图3，已知点，，若，，直接写出Q的坐标(用含a的式子表示)． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的逆定理等知识，解题的关键是寻找全等三角形． （1）根据得即可求出点坐标． （2）如图，先过点作于点，作于点，根据，得到，底边，得出，根据角平分线的逆定理进而得到平分，可得； （3）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，可得，，又知在第二象限，从而得． 【详解】（1）解：如图1， ， ， ， ， ∵、， ∴ 在和中， ， ， ， ∴点， （2）解：如图2，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分； 即是的角平分线； （3）解：如图3，过作轴，过作于，过作于，交轴于， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ． 2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由． (2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，由点在的角平分线上，且于，M，得，，进而证明（），即可得证明； （2）过点作于点，同（），可证，得，证，得，从而即可得解； （3）过点作于点，同（），可证，，又证，得，从而即可得解． 【详解】（1）解：．理由： 过点作于点， ∵点在的角平分线上，且于，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． （2）解：结论：，理由如下： 如图，过点作于点， 同（），可证，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作于点， 同（），可证，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，垂线定义，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键， 3．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知：点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线、上的点，且． (1)当点M在线段上，点N在线段的延长线上时（如图1）．求证：； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当点M在线段的延长线上时（如图2），若，，则四边形的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形的面积为32． 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． （1）由点为平分线上一点，于于，根据角平分线的性质，可得，又由，利用，即可判定，则可证得结论； （2）由角平分线的性质易证得，又由，即可证得结论； （3）由，即可求得的长，又由，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：点为平分线上一点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据解析（1）可知：，， ∵， ∴， ∴， ； （3）解：， ， ， ． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则线段的长不可能是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，垂线段最短是解题的关键． 如图，作于B，则，由逐一判断，即可． 【解答】解：如图，作于B，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴线段的长不可能是2， 故选：D． 2．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）三角形三条角平分线交于一个点，这个点（   ） A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三角顶点的距离相等 C．可以在三角形的某一边上 D．可以在三角形的外面 【答案】A 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，熟练掌握三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等是解题的关键． 根据三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等，判定即可． 【详解】解：∵三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，到三边的距离相等， ∴A选项正确，B、C、D选项错误， 故选：A． 3．（22-23八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长． 【详解】解：平分，，， ， 在和中， ， ， ， 的周长， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 故选：B 4．（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，，， ∴在四边形中，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①正确可得，， ∴，故②正确； 由可得， ∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 5．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， 平分，平分，，，， ，， ， ，，， ，，， 与不一定相等， 与不一定相等， 点不一定是的中点， 与不一定相等，故①不正确； ②，， ， ， ， ， ， ， ， ，②正确； ③平分，平分， ，， ，③正确； ④由①可知， ，， ，故④正确， 故选：C． 二、填空题 6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，平分，交于D，若，点D到边的距离为6，则的长是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了角平分线的性质，即“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，掌握角平分线的性质是解本题的关键． 过作于，则，根据角平分线性质求出，求出，再计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过作于， 点到的距离为6， ， ，平分， ， ， ， ． 故答案为：18． 7．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于点，当，的面积为时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点作于，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到，牢记“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∵是边上的高线，的平分线交于点， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·云南文山·期末）如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．过点D作于点F，根据是中的角平分线，得到，结合计算即可． 【详解】如图，过点D作于点F， ∵是中的角平分线，，    ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：5． 9．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线，交于点． 如果的面积为9，则的面积为 ． 【答案】21 【分析】本题考查三角形综合，涉及尺规作图-角平分线、角平分线的性质、三角形面积等知识，先根据题中的尺规作图得到是的角平分线，过点作于，过点作于，如图所示，由角平分线的性质得到，结合已知条件，根据三角形的面积求出，进而得到，即可得到答案，熟记尺规作图-角平分线、角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： 由题中的尺规作图可知，是的角平分线， ， 的面积为9， ，即，解得，则， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 【答案】 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线 在与中， ， ， ， 又 ， 为的平分线， 过点作于点， 在与中， ， ， ， ． 在与中， ， 为的平分线 ， 在中， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查角平分线的性质，尺规作图，熟练利用角平分线的性质得出是解题关键． 利用角平分线的作法，得出两三角形内角平分线的交点即为小亭中心的位置． 【详解】解：如图所示，点P为小亭中心的位置． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中的外角平分线于的外角平分线相交于点，求证：点在的角平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答即可． 【详解】证明：作于，于，于， 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ，， ，又，， 点在的角平分线上． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）已知：如图，的外角和的平分线相交于点， (1)求证：点在的平分线上； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握角平分线上的点到这个角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． （）作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，同理得到，根据角平分线的判定定理证明即可； （）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出，，再利用三角形内角和定理便可求出的度数； 【详解】（1）证明：作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：∵为两外角的平分线，， ∴，， 由三角形内角和定理得： ． 14．（22-23八年级上·贵州安顺·期中）在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图（1）．      (1)知识应用：小风想要做一个如图（2）所示的风筝，他想先固定中间的“十字架”，再确定四周，从数学的角度看，小风确定“十字架”时应满足什么要求？并证明你的结论． (2)知识拓展：如图（3）所示，如果为内一点，平分，且，试证明：． 【答案】(1)，（垂直平分），证明见解析 (2)详见解析 【分析】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决此题关键． （1）根据已知条件可证得，利用全等三角形的性质和已知条件可得，从而可得，，由此可得结论； （2）过点分别作，，垂足分别为，，然后由角平分线的性质得，根据直角三角形全等的判定与性质可得结论． 【详解】（1）猜想：，（垂直平分），证明如下： 如图（1），， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，，   平分， ， ， ， ， ，， ， ， ，即． 15．（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）在平面直角坐标系中，点,点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图1，当点C的坐标为时，试求点E的坐标； (2)如图2，当时，连接,证平分； (3)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． （1）由“”可证可得，然后确定点E的坐标即可； （2）如图②，过点O作于点Q，作于点P，由面积法可证即可证明结论； （3）如图所示，在上截取，连接，证明，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； （2）证明：如图②，过点O作于点Q，作于点P，    由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴平分． （3）解：如图③，当时，在上取一点F，使，    ∵, ∴， ∴， 由（2）得：平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， 设的度数为，则的度数为， ∴,解得：， ∴的度数为， 当时，此时，不符合题意； 当时，此时，不符合题意． 综上所述，的度数为． 16．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，同角的补角相等，垂线定义及同角的余角相等等，关键是依照基础示例引出正确辅助线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$