专题12.2 三角形全等的判定（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题12.2 三角形全等的判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 用SAS证明两三角形全等】 1 【考点二 用ASA证明两三角形全等】 4 【考点三 用AAS证明两三角形全等】 9 【考点四 用SSS证明两三角形全等】 13 【考点五 用HL证明两直角三角形全等】 16 【考点六 添一个条件使两三角形全等】 20 【过关检测】 22 【典型例题】 【考点一 用SAS证明两三角形全等】 例题：（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）如图，，求证： 【变式训练】 1．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知，，．求证：． 2．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，，． (1)求证：； (2)，求的度数？ 【考点二 用ASA证明两三角形全等】 例题：（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，，，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求边上的高的长度． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在和中，点E在边上，，与交于点G． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 2．（23-24七年级下·重庆大渡口·阶段练习）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若恰好平分，，求的长 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）已知． (1)如图1，为边的中点，连接并延长到点，使，连接，求与的数量和位置关系，并说明理由； (2)如图2，若，为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，试说明：． 【考点三 用AAS证明两三角形全等】 例题：（2024·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移至，使E为的中点，连接，记与的交点为O． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，． (1)试说明：； (2)试说明：． 【考点四 用SSS证明两三角形全等】 例题：（2024·云南红河·一模）如图，，，．求证：． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，C，D是上的两点，且． 求证：． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【考点五 用HL证明两直角三角形全等】 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知：如图，，，，E、F是垂足，．求证：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点． (1)求证：． (2)求． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知和位置如图所示，，，． (1)求证：； (2)求证：． 3．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【考点六 添一个条件使两三角形全等】 例题：（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形中，，要使，可添加一个条件为： ．    2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 3．（2024·山东济南·一模）如图，点在上，，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形．我所添加条件为 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，还需要添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（       ）． A． ， B． ， C． ， D．， 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使点A、C、E在一条直线上，若米，则的长是（    ） A．6 B．6 C．6 D．6 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点绕原点O逆时针旋转得到点B，点B关于x轴对称的点为C，则点C的坐标是（　　）． A． B． C． D． 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，要使得，若以“”为依据，需添加条件 ． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在的上方有一点，连接，，，则的度数为 ．    8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知，，在同一条直线上，，，．则的度数为 ． 9．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点若，则 ． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，， D 为延长线上一点，， 且， 与的延长线交于点 F， 若， 则的值为 .    三、解答题 11．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，点E为上一点，．求证：． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在与中，点在线段上，且，，，． (1)求证：； (2)求的角度． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，点，分别为线段，上两点，连接，交于点． (1)若，，如图1所示，______度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.2 三角形全等的判定 目录 【典型例题】 1 【考点一 用SAS证明两三角形全等】 1 【考点二 用ASA证明两三角形全等】 4 【考点三 用AAS证明两三角形全等】 9 【考点四 用SSS证明两三角形全等】 13 【考点五 用HL证明两直角三角形全等】 16 【考点六 添一个条件使两三角形全等】 20 【过关检测】 22 【典型例题】 【考点一 用SAS证明两三角形全等】 例题：（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）如图，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明，即可证明结论； 【详解】证明：在和中， 【变式训练】 1．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定．利用证明三角形全等即可．掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】证明：， ，即， 在和中 ， ． 2．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，，． (1)求证：； (2)，求的度数？ 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行线的性质． （1）由平行线的性质可得出，然后利用证明即可． （2）由全等三角形的性质可得出，再利用平行线的性质得出． 【详解】（1）证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点二 用ASA证明两三角形全等】 例题：（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，，，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求边上的高的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等面积法等知识点，关键是选择恰当的判定条件判定三角形全等成为解题的关键． （1）利用“”即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，再利用等面积法求解即． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 设边上的高的长度为， ∵ ∴， 解得：， ∴边上的高的长度为． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在和中，点E在边上，，与交于点G． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论； （2）由三角形内角和定理可得，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后三角形内角和以及角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·重庆大渡口·阶段练习）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若恰好平分，，求的长 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的内角和定理． （1）证明即可得证结论； （2）由得到，又，从而，因此，再由，即可证明，进而得到，． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴． 在和中 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）已知． (1)如图1，为边的中点，连接并延长到点，使，连接，求与的数量和位置关系，并说明理由； (2)如图2，若，为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，试说明：． 【答案】(1)，；理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定； （1）根据线段中点的定义得出，进而证明，根据全等三角形的性质，平行线的判定，即可得出结论； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，证明，，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为为边的中点， 所以． 在和中， 因为，，， 所以， 所以，， 所以． （2）如图，过点作于点，过点作交的延长线于点． 因为， 所以． 在和中， 因为，，， 所以， 所以，． 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． 在和中， 因为，，， 所以， 所以， 所以． 【考点三 用AAS证明两三角形全等】 例题：（2024·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明，根据即可得到答案． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得是解题的关键． （1）根据平行线求出，再说明，最后结合运用即可证明结论； （2）根据全等三角形性质得出，进而根据平角定义即可解答． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴． （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴ ． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移至，使E为的中点，连接，记与的交点为O． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，全等三角形的判定： （1）由平移得，，，则由平行线的性质得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明结论； （2）由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此由平行线的性质可得答案． 【详解】（1）证明：由平移得，，， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，． (1)试说明：； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键． （1） 根据“两直线平行，内错角相等”，得出，再结合，，利用证明即可； （2）由，得，推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，推出，利用证明，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点四 用SSS证明两三角形全等】 例题：（2024·云南红河·一模）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．直接证明根据性质可证明结论． 【详解】证明：在与中， ， ， ． 【变式训练】 1．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，C，D是上的两点，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键． （1）证明，则，进而可证； （2）由题意得，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为9． 3．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 【考点五 用HL证明两直角三角形全等】 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）已知：如图，，，，E、F是垂足，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键．利用“”证明，即可得出结论． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质， （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 解题的关键是掌握三角形全等的判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知和位置如图所示，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，能够正确证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，得出对应边相等即可； （2）证出，然后证明，得出对应角相等即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 3．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质， （1）直接利用证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）先根据直角三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，然后根据等边对等角得，进而求出，可得答案. 【详解】（1）证明：∵是腰上的高，， ∴. 又∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． 【考点六 添一个条件使两三角形全等】 例题：（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 【答案】 【分析】在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】解：可添加一个条件：，使． 理由： 在与中， ， ． 故答案为 【变式训练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形中，，要使，可添加一个条件为： ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．已知这两个直角三角形的一条边与一个角相等，所以再添加一条对应边或者另一个对应角相等即可． 【详解】解：添加．理由如下： 在与中， ， ． 故答案为：． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【详解】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 3．（2024·山东济南·一模）如图，点在上，，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形．我所添加条件为 ． 【答案】（答案不唯一）．． 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 已知，，可以从添加角或者边的条件，得到全等三角形． 【详解】解：添加，理由如下： 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在和中，已知，还需要添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（       ）． A． ， B． ， C． ， D．， 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法依次判定即可． 本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的判定方法有：、、和，注意没有和．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A. 已知，若添加，，则可根据得到，故A选项不符合题意； B. 已知，若添加，，则可根据得到，故B选项不符合题意； C. 已知，若添加，，则不能得到，因为没有，故C选项符合题意； D. 已知，若添加，，则可根据得到，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使点A、C、E在一条直线上，若米，则的长是（    ） A．6 B．6 C．6 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由均垂直于，即可得出，结合、即可证出，由此即可得出，此题得解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（米）． 故选：D． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点绕原点O逆时针旋转得到点B，点B关于x轴对称的点为C，则点C的坐标是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，根据旋转的性质及已知条件可证得，即，最后再根据点关于x轴对称的坐标特点即可解答． 【详解】解：如图：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， ∵点绕原点O逆时针旋转得到点B， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵关于x轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，点B关于x轴对称的点为C， ∴． 故选：A． 4．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由、得到，然后结合，得证，进而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键； 由，，，根据“”证明，得，，所以，可判断②正确；同理，，所以，，，则，，可判断①正确，③正确；由，，证明、、三点在同一条直线上，则，设两条平行线与之间的距离为，则，可证明，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】 解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确； 同理， ，， ，， 故①正确； ，， 、、三点在同一条直线上， ， 设两条平行线与之间的距离为， ， ， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ， 故③正确， 故选：D． 二、填空题 6．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，要使得，若以“”为依据，需添加条件 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定内容．“”的内容是：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据题目中的已知条件只需添加两条斜边相等即可． 【详解】解：，， ， 和是直角三角形， 和有公共直角边， 以“”为依据判定需要添加斜边相等，即， 故答案为：． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在的上方有一点，连接，，，则的度数为 ．    【答案】25 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意直接证明，即可得出，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， 故答案为：25． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知，，在同一条直线上，，，．则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据全等三角形的判定证明，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余的性质求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据，代入数据计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ≌， ， ． 故答案为： 10．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，， D 为延长线上一点，， 且， 与的延长线交于点 F， 若， 则的值为 .    【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与与性质、灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 作于M，通过证明得到，再根据已知条件证明，从而得到，设，找出和与x的关系即可得解答． 【详解】解：如图：作于M，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，点E为上一点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，平行线性质，先根据两直线平行内错角相等得到，再证明，根据全等三角形性质即可求出答案． 【详解】证明：， ， 在与中， ， ， ． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质． （1）由，，可得，结合，即可求解； （2）证明，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 13．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在与中，点在线段上，且，，，． (1)求证：； (2)求的角度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 14．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据得，由此可依据“”判定和全等； （2）由得，进而根据三角形内角和定理可得的度数． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，， 由（1）可知：， ， ． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据“”证明，得； （2）因为，且，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 16．（2024八年级上·江苏·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键． （1）①由已知推出，因为，，推出，根据“”即可得到答案； ②由①得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， （）； ②由（1）知：， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）；， ，， ． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，点，分别为线段，上两点，连接，交于点． (1)若，，如图1所示，______度； (2)若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，试说明：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形全等的判定及性质，正确构造辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． （1）利用同角的余角相等可以得到，根据，即可求出度数； （2）根据角平分线的定义可以得到，，利用三角形的内角和定理可以得到，结合角平分线的定义转化角度即可得到； （3）作的平分线交于点，由，可得，利用ASA可得到，从而得到，同理可得：，即可得到结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 即：， 故答案为： （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， 即： ∴； （3）如图，作的平分线交于点， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即：． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在截取，连接，证，推出，，证，推出即可． 【详解】（1）解：， 证明：延长到，使， ，， ，， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：延长到，使，连接， 由（1）知：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：在截取，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$