精品解析：湖北省十堰市郧阳区第二中学2024-2025学年高三上学期8月开学考试数学试卷

湖北省十堰市郧阳区郧阳区二中2024学年高三上学期8月开学考数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内； 如需改动，先划掉原来的答案； 然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，然后由补集运算可得. 【详解】解不等式，得或，所以， 所以. 故选：A 2. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ） A. 0.56 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.94 【答案】A 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立， 所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为. 故选:A. 3. 已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义知，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，即可求解. 【详解】由题意得，，即，解得. 故选：. 4. 现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：) A. 2700年 B. 3100年 C. 3500年 D. 3900年 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义和公式求解即可. 【详解】，向量在向量上的投影向量为. 即，代入求值， . 故选：A. 6. 展开式中，项的系数为（ ）． A. 55 B. 40 C. 35 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得项的系数. 【详解】由于， 所以含的项为， 所以项的系数为. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查利用二项式展开式的通项公式计算特定项的系数，属于中档题. 7. 某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则由题意可得，再由圆台的侧面积列方程可求出，从而可求出上下底面面积和圆台的高，进而可求出台的体积. 【详解】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则，故， 因为该圆台的侧面积为，母线长， 所以，解得，则， 所以圆台上底面的面积为，下底面的面积为， 圆台的高 所以该圆台的体积． 故选：C． 8. 若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】运用奇函数性质，结合周期函数性质，赋值即可求解. 【详解】由是定义域为的奇函数可得， 再由可得函数周期为1,， 中取得， 所以，，，， 所以在上的零点个数至少为7． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部0分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二倍角公式可化简，进而根据正弦型函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】， 又，所以为奇函数，故A正确， 的最小正周期，故B错， 当时，取最小值为，故C正确. 令,解得， 所以的单调递增区间为， 令，得的其中一个单调递增区间为，故D错误， 故选：AC. 10. 袋中装有2个红球，2个蓝球，1个白球和1个黑球，这6个球除颜色外完全相同.从袋中不放回的依次摸取3个，每次摸1个，则下列说法正确的是（ ） A. “取到的3个球中恰有2个红球”与“取到的3个球中没有红球”是互斥事件但不是对立事件 B. “取到的3个球中有红球和白球”与“取到的3个球中有蓝球和黑球”是互斥事件 C. 取到的3个球中有红球和蓝球的概率为0.8 D. 取到的3个球中没有红球的概率为0.2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A、B：列举出取球的基本情况，根据互斥事件、对立事件的定义直接判断； 对于C、D：列举基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解. 【详解】从装有2个红球，2个蓝球，1个白球和1个黑球的袋中，不放回的依次摸取3个，每次摸1个，一共有：1红1蓝1黑；1红1蓝1白；1红1黑1白；1蓝1黑1白；2红1蓝；2红1黑；2红1白；2蓝1红；2蓝1黑；2蓝1白；十大类情况. 对于A：“取到的3个球中恰有2个红球”包括：2红1蓝；2红1黑；2红1白； 而“取到的3个球中没有红球”包括：1蓝1黑1白；2蓝1黑；2蓝1白. 所以“取到的3个球中恰有2个红球”与“取到的3个球中没有红球”是互斥事件但不是对立事件.故A正确； 对于B：“取到的3个球中有红球和白球”包括：1红1蓝1白；1红1黑1白；2红1白； 而“取到的3个球中有蓝球和黑球”包括：1红1蓝1黑；1蓝1黑1白；2蓝1黑. 所以“取到的3个球中有红球和白球”与“取到的3个球中有蓝球和黑球”是互斥事件.故B正确； 记两个红球分别为：a、b，两个蓝球分别为1、2，白球为A，黑球为B. 从6个小球中不放回的依次摸取3个，有：ab1、ab2、abA、abB、a12、a1A、a1B、a2A、a2B、 a A B、b12、 b 1A、 b 1B、 b 2A、 b 2B、 b A B、 12A、 1 2B、 1A B、 2AB共20种. 对于C：取到的3个球中有红球和蓝球包括：ab1、ab2、a12、a1A、a1B、 a2A、a2B、b12、 b 1A、 b 1B、 b 2A、 b 2B、共12种. 所以取到的3个球中有红球和蓝球的概率为. 故C错误； 对于D：取到的3个球中没有红球有： 12A、 1 2B、 1A B、 2AB共4种. 取到的3个球中没有红球的概率为. 故D正确. 故选：ABD 11. 如图，棱长为2的正方体的内切球为球，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（ ） A. 对于任意点，平面 B. 直线被球截得的弦长为 C. 过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 D. 当为的中点时，过的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】令与重合，利用特殊位置举反例证明A，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得两直线所成角，从而求得到直线的距离，即可求得直线被球截得的弦长判断B，确定过直线的平面截球的所有截面圆中，半径最小的圆为以直线被球截得的弦长为为直径的圆，从而求得圆的面积判断C，确定当为的中点时，过的平面截该正方体所得截面为边长为的正六边形，利用正弦定理的面积公式判断D. 【详解】对于A：因为在棱上移动，当与重合时，平面即平面， 因为在直线上，所以平面，所以与平面平面相交，A说法错误； 对于B：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则由题意可得，，，， 则，，， 设直线与直线的夹角为，则， 所以， 连接，过作直线的垂线，垂足为， 则在中由解得， 设直线被球截得弦长为，则，B说法正确； 对于C，过直线的平面截球所得的所有截面圆半径最小时，垂直与于过的平面， 此时圆的半径，圆的面积为，C说法正确； 对于D，当为中点时，过的平面截该正方体所得截面为正六边形，， 在中，，所以边长， 所以截面面积，D说法错误； 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，平面截正方体问题，关键是：（1）利用球的弦长公式计算弦长；（2）确定平面截正方体所得截面的形状. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分. 12. 样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的分位数为____________. 【答案】 【解析】 【分析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】数据按从小到大排序：11，13，14，16，17，20，22，24， ，所以分位数为22. 故答案为：. 13. 已知三内角的对边分别为，，，且满足，，则的外接圆的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理可得，分析可知，进而可知外接圆半径和面积. 【详解】因为，由正弦定理可知， 且，可知， 则，可知，即为直角三角形， 所以的外接圆的半径为，面积为. 故答案为：. 14. 已知是椭圆的右焦点，以坐标原点O为圆心，a为半径作圆P，过F垂直于x轴的直线与圆P交于两点，过点A作圆P的切线交x轴于点M.若直线l过点M且垂直于x轴，则直线l的方程为______；若，则椭圆的离心率等于______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出，，根据垂直关系得到直线方程，从而求出直线的方程为；再根据，得到，即，求出离心率. 【详解】由题意得，圆的方程为， 又，令得，解得， 不妨设，故， 所以，则直线方程为， 令得，故直线的方程为； 若，则，即， 解得，故离心率. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础.同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程､丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍.为了提高节约用水意识，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）； （2）在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人调查他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行深入调研，求这人中至少有人的成绩低于分的概率. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于列方程即可得的值，利用平均数的计算公式即可得平均分； （2）先根据分层抽样求出成绩低于分的有人，成绩位于区间的有人，求出基本事件的总数以及这人中至少有人的成绩低于分包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解. 【小问1详解】 根据频率分布直方图得到，解得. 这组样本数据的平均数为，所以. 【小问2详解】 根据频率分布直方图得到成绩在，内的频率分别为，， 所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的人， 成绩在内的有人，记为， 成绩在内的有人，分别记为，，，，， 从这人中随机抽取人，所有可能的结果为，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，共种. 这人中至少有人的成绩在内的有，，，，，，，，，，共种. 所以这人中至少有人的成绩低于分的概率为. 16. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间及极值； （2）若时，不等式在上恒成立，求参数的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；的极大值为，极小值为-2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值； （2）问题等价于在区间恒成立，设，利用导数求最小值即可得的取值范围. 【小问1详解】 时，，函数定义域为， ， 令，解得：或，令，解得： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 时，有极大值， 时，有极小值. 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为-2 【小问2详解】 时，在上恒成立， 即在区间恒成立. 设，则， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 故，故. 故的取值范围为. 17. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三棱柱性质以及边长关系可得为正方形，所以；再利用勾股定理以及面面垂直的判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量为，易知平面的一个法向量为，可得锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 设，因为， 由余弦定理可得，即； 可得四边形为正方形，所以， 且，又是侧棱的中点，连接， 因为，又，则， 因为为的中点，所以， 由平面，且，可得平面， 又因为平面， 可得平面平面. 【小问2详解】 由直棱柱的性质与已知，得， 以为原点，以垂直于平面的直线，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，可得，且是中点， 则. 可得， 设平面的法向量为，则 令，则，可得， 由（1）可知平面的一个法向量为， 可得， 所以锐二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】（1） （2） 直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【解析】 【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴. 【小问1详解】 设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”. （1）若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由； （2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； （3）已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：． 【答案】（1）不是“X数列”，理由： 由题， 所以有，， 故根据“X数列”的定义不是“X数列”. （2） 因为， 所以当 时，； 当时，； 则不满足，所以， 令，即， 则当 时，有，； 当时，有；故即， 则对每一个，有且仅有一个且，使得， 综上，对任意，有且仅有一个，使得， 所以为“X数列”. ， （3）因为{an}是正项数列，所以{Sn}单调递增， 所以，故， 因为，且为“X数列”， 所以，故由得， 的“余项数列”为等差数列，故其公差， 因为，所以， 若，则当时，，与矛盾， 故，所以，，即， 对于，若，则，与正项数列矛盾， 所以，故， 所以，故， 所以， 又， 所以，. 【解析】 【分析】（1）依次求出，再根据“X数列”定义进行判断即可. （2）由先求出数列通项公式，再依据“X数列”定义进行推算证明即可，接着由“余项数列”的定义公式进行计算即可. （3）先探究得出“余项数列”公差情况，再讨论时推出矛盾得到，接着探究时若得出矛盾，从而得出，进而得出即可进一步推出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上，， 即的“余项数列”通项公式为，. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：证明的关键第一步是探究出“余项数列”公差；第二步是探究出时有矛盾得到；第三步是探究出时若有矛盾，从而得到，进而得出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省十堰市郧阳区郧阳区二中2024学年高三上学期8月开学考数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内； 如需改动，先划掉原来的答案； 然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为（ ） A. 0.56 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.94 3. 已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：) A. 2700年 B. 3100年 C. 3500年 D. 3900年 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 展开式中，项的系数为（ ）． A. 55 B. 40 C. 35 D. 15 7. 某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部0分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 的最小值为 D. 在上单调递增 10. 袋中装有2个红球，2个蓝球，1个白球和1个黑球，这6个球除颜色外完全相同.从袋中不放回的依次摸取3个，每次摸1个，则下列说法正确的是（ ） A. “取到的3个球中恰有2个红球”与“取到的3个球中没有红球”是互斥事件但不是对立事件 B. “取到的3个球中有红球和白球”与“取到的3个球中有蓝球和黑球”是互斥事件 C. 取到的3个球中有红球和蓝球的概率为0.8 D. 取到的3个球中没有红球的概率为0.2 11. 如图，棱长为2的正方体的内切球为球，分别是棱，的中点，在棱上移动，则（ ） A. 对于任意点，平面 B. 直线被球截得的弦长为 C. 过直线的平面截球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 D. 当为的中点时，过的平面截该正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分. 12. 样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的分位数为____________. 13. 已知三内角的对边分别为，，，且满足，，则的外接圆的面积为______. 14. 已知是椭圆的右焦点，以坐标原点O为圆心，a为半径作圆P，过F垂直于x轴的直线与圆P交于两点，过点A作圆P的切线交x轴于点M.若直线l过点M且垂直于x轴，则直线l的方程为______；若，则椭圆的离心率等于______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础.同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程､丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍.为了提高节约用水意识，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）； （2）在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人调查他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行深入调研，求这人中至少有人的成绩低于分的概率. 16. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间及极值； （2）若时，不等式在上恒成立，求参数的取值范围. 17. 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求锐二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 19. 已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”. （1）若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由； （2）若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式； （3）已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $