精品解析：四川省成都市石室天府中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题

2024年1月17日成都市石室天府中学八年级（上）期末摸底测试 数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 在0.，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ） A. 0. B. C. ﹣1 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ， 4. 若点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同角的余角互补 B. 同位角相等 C. 两点之间线段最短 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 6. 某校将要求每班推选一名同学参加数学比赛，为此，八（1）班组织了5次班级选拔赛，在5次选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是分，甲的成绩的方差是，乙的成绩的方差是．根据以上数据，下列说法正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点是 C. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D. 点和在一次函数图象上，若，则 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为________． 10. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______． 11. 已知点，轴，且，则B点坐标为______． 12. 如图长方体木箱的长、宽、高分别为，，则能放进木箱中的直木棒最长为_______． 13. 如图，在中，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E做交于点D．若，，则的周长为________． 三、解答题（共48分） 14. 计算 （1） （2）解方程组 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； （3）已知P为x轴正半轴上一点，若面积为1，求点P的坐标． 16. 据悉，2022年，我国载人航天空间站工程进入空间站建造阶段，将完成问天实验舱、梦天实验舱、神舟载人飞船和天舟货运飞船等6次重大任务．为了庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办名为“弘扬航天精神·拥抱星辰大海”的书画展览，并给书画展上的作品打分（满分10分）．评分结果有6分，7分，8分，9分，10分五种．每位同学只能上交一份作品，现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如图所示两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）所抽取作品成绩的众数为______，中位数为______，扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为_______； （3）已知该校收到书画作品共900份，请估计得分为8分（及8分以上）的书画作品大约有多少份？ 17. 如图，中，，，，分别以、为直角边向外作等腰直角和等腰直角． （1）求证：； （2）求的长． 18. 如图1，点，，且a，b满足． （1）求点A和点B坐标； （2）如图2，点在线段上，且满足，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且，求点D的坐标； （3）平移直线，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线上且位于第三象限内一个点，过点P作轴于点G，若，且，点N是上方一点，且，直接写出点N的坐标． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，，则的值为______． 20. 若方程组的解满足，则的值为______． 21. 当m，n是正实数，且满足时，就称点为“美好点”．已知点与点B的坐标满足，且点B是“美好点”，则的面积为______． 22. 如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为______． 23. 如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，直线交于点，如果为直角三角形，那么的长为______． 二、解答题（共30分） 24. 小林同学从家出发，步行到离家米的公园散步，速度为50米/分钟；6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离（米）与小林出发的时间（分钟）的函数关系如图所示． （1）小林家与公园之间的路程为___________米； （2）求哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式； （3）小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔为___________分钟． 25. 如图1，已知直线l1：y＝kx＋b与直线l2：y＝x交于点M，直线l1与坐标轴分别交于A，C两点，且点A坐标为（0，7），点C坐标为（7，0）． （1）求直线l1的函数表达式； （2）在直线l2上是否存在点D，使△ADM的面积等于△AOM面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点P是线段OM上的一动点（不与端点重合），过点P作PB∥x轴交CM于点B，设点P的纵坐标为m，以点P为直角顶点作等腰直角△PBF（点F在直线PB下方），设△PBF与△MOC重叠部分的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出相应m的取值范围． 26. 如图，中，，，D是边上一动点，以为边在的右侧作一个等边． （1）当与所夹锐角为时，求的长； （2）当点D从点C向点B的移动过程中， ①求点E的移动路径的长度； ②直接写出线段的最小值； （3）在射线上另有一动点P，且，连接，取线段的中点F，当的值最小时，求出此时线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年1月17日成都市石室天府中学八年级（上）期末摸底测试 数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 在0.，，﹣1，四个数中，属于无理数的是（ ） A. 0. B. C. ﹣1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：在0.，，﹣1，四个数中无理数为． 故选D． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001...等有这样规律的数． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的化简和二次根式的加减乘除运算，直接利用法则逐一判断即可. 【详解】解：A．,故此选项错误; B．,故此选项错误; C．,故此选项正确; D．,故此选项错误. 故选：C. 3. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据直角三角形的判定可判断选项A和B，C选项中根据三角形的内角和定理以及三个角的比例关系可求出为，根据勾股定理的逆定理可判断选项D，即可得出答案． 【详解】解：A、由无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； B、，， ，无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意； C、，， 最大角， 是直角三角形，故本选项符合题意； D、，，，， ， 不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 若点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握在y轴上的点的横坐标为0．根据y轴上点的横坐标为0，计算出m的值，从而得出点P坐标． 【详解】解：∵点在y轴上， ， 解得，， 则点P的坐标为． 故答案为：C． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同角的余角互补 B. 同位角相等 C. 两点之间线段最短 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题，余角，同位角，线段的性质，三角形外角等知识，根据其概念和性质进行判断即可． 【详解】解：A、同角的余角相等，本选项不符合题意； B、两直线平行，同位角相等，本选项不符合题意； C、两点之间线段最短，本选项符合题意； D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，本选项不符合题意； 故选：C． 6. 某校将要求每班推选一名同学参加数学比赛，为此，八（1）班组织了5次班级选拔赛，在5次选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是分，甲的成绩的方差是，乙的成绩的方差是．根据以上数据，下列说法正确的是（ ） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差越大波动越大，越不稳定，方差越小波动越小，越稳定直接判断即可的得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴乙波动大甲波动小，甲更稳定， 故选A； 【点睛】本题考查根据方差做决策，方差越大波动越大，越不稳定，方差越小波动越小越稳定． 7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，解答即可． 本题考查了方程组的应用，正确理解题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，列方程组得， 故选：A． 8. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点是 C. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D. 点和在一次函数的图象上，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项判断即可作答． 【详解】A．，，一次函数图象经过第一、二、四象限，故本项原说法错误； B．图象与轴的交点是，故本项原说法错误； C．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为，故本项说法正确； D.点和在一次函数的图象上，若，则，故本项原说法错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 10. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 11. 已知点，轴，且，则B点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质．由轴和点A的坐标可得点B的横坐标与点A的横坐标相同，根据的距离可得点B的纵坐标可能的情况有两种． 【详解】解：∵点，轴， ∴点B的横坐标为2， ∵， ∴点B的纵坐标为或， ∴B点的坐标为或． 故答案为：或． 12. 如图长方体木箱的长、宽、高分别为，，则能放进木箱中的直木棒最长为_______． 【答案】13 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．首先利用勾股定理计算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：连接，，如图所示，为最长边 由题意可知， 在中，，， 那么 故答案为：13． 13. 如图，在中，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E做交于点D．若，，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行线的性质，等腰三角形的判定．根据题意得 平分，再根据平行线的性质求解．掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， 故的周长为． 故答案为：． 三、解答题（共48分） 14. 计算 （1） （2）解方程组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，加减消元法解二元一次方程组． （1）根据二次根式的性质和乘法法则计算即可求解； （2）方程组整理后，再利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原方程组整理得， 得，解得， 将代入①得，解得， ∴方程组的解集为． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； （3）已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】（1）4 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质． 现在坐标系内描点，在顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； 根据关于y轴对称的点的坐标关系，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得到答案． 由p为x轴正半轴上一点，的面积为1，可得，从而得到答案． 【小问1详解】 解：∵、、， 如图所示： 、、， ∴三角形面积为． 故答案：4． 【小问2详解】 解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵p为x轴上一点，的面积为1，即， ∴， ∴， ∵，点p的横坐标为：． 故点p坐标为：或． 16. 据悉，2022年，我国载人航天空间站工程进入空间站建造阶段，将完成问天实验舱、梦天实验舱、神舟载人飞船和天舟货运飞船等6次重大任务．为了庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办名为“弘扬航天精神·拥抱星辰大海”的书画展览，并给书画展上的作品打分（满分10分）．评分结果有6分，7分，8分，9分，10分五种．每位同学只能上交一份作品，现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如图所示两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）所抽取作品成绩的众数为______，中位数为______，扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为_______； （3）已知该校收到书画作品共900份，请估计得分为8分（及8分以上）的书画作品大约有多少份？ 【答案】（1）见解析 （2）8分、8分， （3）660份 【解析】 【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，用10分的份数除以它所占的百分比可得本次抽取的作品总份数，再求出得8分的作品的份数,然后补全条形统计图即可； （2）根据众数、中位数求法即可求得众数和中位数，然后再求得6分所在的比例，最后用6分所在的比例即可解答； （3）运用样本估计总体即可解答． 【小问1详解】 解：（人） 得8分的作品数为：（份） 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：∵所抽取作品成绩出现次数最多的是8分， ∴所抽取作品成绩的众数为8分， ∵共抽取了120份作品，其中成绩排在第60与61名的作品均为8分， ∴所抽取作品成绩的中位数为8分， ∵6分所占的比例为 ∴扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为． 故答案：8分、8分，． 【小问3详解】 解：（份）． ∴估计得分为8分（及8分以上）的书画作品大约有660份. 【点睛】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运、众数、中位数等知识点，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 17. 如图，中，，，，分别以、为直角边向外作等腰直角和等腰直角． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明，根据全等的性质即可得到结论． （2）根据全等的性质得到，证明是直角三角形，由勾股定理求出，再由勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中 ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ． 18. 如图1，点，，且a，b满足． （1）求点A和点B的坐标； （2）如图2，点在线段上，且满足，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且，求点D的坐标； （3）平移直线，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线上且位于第三象限内一个点，过点P作轴于点G，若，且，点N是上方一点，且，直接写出点N的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）点N的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题； （2）利用三角形面积求法，由列方程组，求出点C坐标，进而由面积求出D点坐标. （3）由平行线间距离相等得到，继而求出E点坐标，同理求出F点坐标，再由求出G点坐标，根据求出的长可求P点坐标，再画出图形，利用平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ，， ，； 【小问2详解】 解：如图1，连接，作轴于E，轴于F， ∵，， ∴， ∴， 联立方程组，解得， ， ∵， ， 而， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，∵， ∴， ∴，即， ， ， ， ， ，即， 连接，则， ， ， ， ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， 点分别向左和向上平移4个单位得到点， ∴点分别向左和向上平移4个单位得到点， 即点N的坐标为． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用、三角形的面积公式、坐标与图形的性质、平移的性质，灵活运用运用数形结合思想、掌握平移规律是解题的关键． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，，则的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简求值．结合完全平方公式整体代入求值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：15． 20. 若方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，由得：，把代入即可求出的值． 【详解】解： 得：， 整理得：， ， ， 解得：， 故答案为：． 21. 当m，n是正实数，且满足时，就称点为“美好点”．已知点与点B的坐标满足，且点B是“美好点”，则的面积为______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，先根据点A坐标确定一次函数的解析式为，设点，根据题意，，结合m，n是正实数，且满足m，n是正实数，得，得到,计算，根据计算即可． 【详解】∵点与点B的坐标满足，且点B是“美好点”， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， 设点， 根据题意，， ∵m，n正实数，且满足m，n是正实数，∴， ∴, 解得， ∴， ∴． 故答案为：18． 22. 如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．求得四个全等的直角三角形的斜边长为，设两条直角边分别为，利用图3的外轮廓周长为，求得，再利用图1中，列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∴（负值已舍）， 如图，，设，，则， 由题意得， ∴，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 解得， 如图，，设点C到的距离为， ∴，即， ∴， ∴点C到的距离为， 故答案为：． 23. 如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，直线交于点，如果为直角三角形，那么的长为______． 【答案】 或或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．根据题意分两种情况讨论①当，且点在上方时，②当时，③当，且点在下方时，分别求解即可； 【详解】解：①如图1，当，点在上方时， 在中，，， 设，则， ， 解得：， 则， 是的中点， ， ，， ， 解得：， ， ， 过E作于H， ∵由折叠知：， ∴， 解得：， ， ， 解得：， ； ②如图中，当时，连接，作交的延长线于， ，， ， ， 所在直线把翻折到的位置， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， 解得：， 则； ③如图3，当，且点在下方时， 由折叠知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴； 综上，的长为 或或． 故答案为： 或或． 二、解答题（共30分） 24. 小林同学从家出发，步行到离家米的公园散步，速度为50米/分钟；6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离（米）与小林出发的时间（分钟）的函数关系如图所示． （1）小林家与公园之间的路程为___________米； （2）求哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式； （3）小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔为___________分钟． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图像，小林从家离开到达公园用时分钟，速度为50米/分钟，根据路程速度时间，代值求解即可得到答案； （2）根据图像，分两段考虑，结合图中关键点，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （3）根据图像，利用待定系数法确定小林离家的距离（米）与小林出发的时间（分钟）的函数关系，然后根据（2）中确定的函数关系式，联立方程组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图可知，小林从家离开到达公园用时分钟，速度为50米/分钟， 小林家与公园之间的路程为米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示： 哥哥从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，由（1）知路程为米，哥哥到公园的速度与返回速度不变， 哥哥来去的用时一样，由图像可得哥哥到达公园时对应的坐标为， ， 设的表达式为，将代入得 ，解得， 表达式为； 设的表达式为，将代入得 ，解得， 表达式为； 综上所述：哥哥返回家的过程中与之间的函数关系式：； 【小问3详解】 解：如图所示： 由图知，设表达式：，则，解得， 表达式为， 由（2）知哥哥往返的过程中与之间的函数关系， 联立，解得；联立，解得； 小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔为分钟， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图像与性质，读懂题意，看懂图像中的信息，求出相应解析式是解决问题的关键． 25. 如图1，已知直线l1：y＝kx＋b与直线l2：y＝x交于点M，直线l1与坐标轴分别交于A，C两点，且点A坐标为（0，7），点C坐标为（7，0）． （1）求直线l1的函数表达式； （2）在直线l2上是否存在点D，使△ADM的面积等于△AOM面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点P是线段OM上的一动点（不与端点重合），过点P作PB∥x轴交CM于点B，设点P的纵坐标为m，以点P为直角顶点作等腰直角△PBF（点F在直线PB下方），设△PBF与△MOC重叠部分的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出相应m的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x＋7；（2）存在，D（9，12）或（﹣3，﹣4）；（3）当0＜m＜时，；当≤m＜4时， 【解析】 【分析】（1）将点A，C坐标代入直线y＝kx＋b中，求解，即可得出结论； （2）先求出点M的坐标，再分点D在射线OM和射线MO上，利用面积的关系求出OD，即可得出结论； （3）先表示出PF＝PB＝7﹣m，再分两种情况，利用面积公式，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵直线l1：y＝kx＋b与坐标轴分别交于A（0，7），C（7，0）， ∴，解得， ∴直线l1的函数表达式为：y＝﹣x＋7； （2）联立方程组，解得，， ∴M（3，4）， 如图1，过点M作ME⊥x轴于E， ∴OE＝3，ME＝4，根据勾股定理得，OM＝5， 设D（3n，4n）， ①当点D在射线OM上时，△ADM的面积等于△AOM面积的2倍， ∴DM＝2OM＝10， ∴OD＝15， ∴（3n）2＋（4n）2＝152， ∴n＝3或n＝﹣3， 由于点D在第一象限内， ∴n＝3， ∴D（9，12）； ②当点D在射线MO上时，△ADM的面积等于△AOM面积的2倍， ∴DM＝2OM， ∴OM＝OD＝5， ∴（3n）2＋（4n）2＝52， ∴n＝1或n＝﹣1， 由于点D在第三象限内， ∴n＝﹣1， ∴D（﹣3，﹣4）， 即点D（9，12）或（﹣3，﹣4）； （3）∵点P的纵坐标为m， ∴P（m，m）， ∵PB∥x轴， ∴B（7﹣m，m）， ∴PB＝7﹣m﹣m＝7﹣m， ∵以点P为直角顶点作等腰直角△PBF， ∴PF＝PB＝7﹣m， 当7﹣m＝m时，m＝； ①当0＜m＜时，如图2，记PF与x轴相交于G，BF与x轴相交于H， ∴PG＝m， FG＝PF﹣PG＝7﹣m﹣m＝7﹣m， ∵△PBF是等腰直角三角形， ∴∠F＝∠PBF＝45°， ∵PB∥x轴， ∴∠GHF＝45°＝∠F， ∴FG＝HG， ∴S＝S△PBF﹣S△FGH＝PB2﹣FG2 ＝[（7﹣m）2﹣（7﹣m）2] ＝﹣m2＋7m； ②当≤m＜4时，如图3， S＝S△PBF＝PB2＝（7﹣m）2＝m2﹣m＋ 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 26. 如图，中，，，D是边上一动点，以为边在的右侧作一个等边． （1）当与所夹锐角为时，求的长； （2）当点D从点C向点B的移动过程中， ①求点E的移动路径的长度； ②直接写出线段的最小值； （3）在射线上另有一动点P，且，连接，取线段的中点F，当的值最小时，求出此时线段的长度． 【答案】（1）或 （2）①点E的移动路径的长度为；② （3） 【解析】 【分析】（1）如图，过作于，求解，，，再分两种情况讨论即可； （2）①如图，以为边作等边三角形，连接，则，证明三点共线，，可得，可得，即是的垂直平分线，在的垂直平分线上，当重合，则重合，当重合，则重合，此时为等边三角形，三点共线，线段的长度是点E的移动路径的长度， 再进一步求解即可；②当时，最小，结合①可得：此时的最小值是． （3）如图，作，，连接，证明，可得，则，当三点共线时，最小，求解，延长至，使，连接，，同理可得：，可得，再进一步证明，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，过作于， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵与所夹锐角为， ∴， ∴， ∴， 当在的左边时，如图， 同理可得：； 【小问2详解】 解：①如图，以为边作等边三角形，连接，则，而， ∴三点共线， ∵为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即是的垂直平分线，在的垂直平分线上， 当重合，则重合，当重合，则重合， 此时为等边三角形，三点共线， ∴线段的长度是点E的移动路径的长度，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点E的移动路径的长度为； ②当时，最小， ∴结合①可得：此时的最小值是． 【小问3详解】 解：如图，作，，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 此时， ∴， ∴， 结合（1）可得：，， ， 延长至，使，连接，， 由（2）得：，， 同理可得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，化为最简二次根式，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $