精品解析：四川省绵阳市东辰学校2023-2024学年高一上学期入学测试数学试题

数学试卷 （时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2007年3月5日，温家宝总理在政府工作报告中讲到，全国财政安排农村义务教育经费1840亿元，全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段5200万名学生的学杂费，为3730万名贫困家庭学生免费提供教科书，对780万名寄宿学生补助了生活费．在这组数据中，全部免除学杂费的学生人数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义即可求解． 【详解】52000000， 选故：B． 2. 一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ） A. 20分钟 B. 22分钟 C. 24分钟 D. 26分钟 【答案】C 【解析】 【分析】先求出他改乘出租车赶往考场的速度和到考场的时间，再求出步行到达考场的时间，进而即可求出答案． 【详解】他改乘出租车赶往考场的速度是， 所以到考场所用的时间是(分钟)， 考生10分钟走了总路程的，所以考生的步行速度为， 所以考生步行到达考场的时间是 (分钟)，(分钟)， 所以他到达考场所花的时间比一直步行提前了24分钟， 故选：C． 3. 由小到大排列一组数据，，，，，其中每个数据都小于，则对于样本1，，，，，的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的计算即可求解. 【详解】由于小到大排列一组数据，，，，，其中每个数据都小于， 所以，则， 将1，，，，，从小到大排列为，，，1，，， 故中位数为. 故选：C 4. 已知反比例函数的图象上有两点，，且，则的值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 不能确定 【答案】D 【解析】 【分析】当时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，分类讨论的符号即可求解． 【详解】因为反比例函数， 所以在各自象限内随的增大而增大， 因为， 所以有三种情况，，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以时，的值不确定， 故选：D． 5. 一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有个面涂有颜色的小立方块的个数为，则，，之间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图示：每个面最中间的正方形所在的小立方体只有一个面被涂色，每条棱的中间段所在的小立方体有两个面被涂色，每个顶点所在的小立方体有三个面被涂色，即可得出，进而求解． 【详解】根据图示：每个面最中间的正方形所在的小立方体只有一个面被涂色，即； 每条棱的中间段所在的小立方体有两个面被涂色，即； 每个顶点所在的小立方体有三个面被涂色，即， 所以， 故选：D． 6. 如图，在函数的图象上取点，作轴于，作轴于点，为原点，且矩形的面积为2，则符合条件的点共有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，由图象得，代入，根据一元二次方程的判别式，即可判断 【详解】设点的坐标为，由图象得， 当时，代入得：，解得：. 当时，代入得：，因为，所以方程有两个不等的根. 所以符合条件的点有4个. 故选：D 7. 如图，有一矩形纸片，，，将纸片向右折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的图形，利用折叠的性质求出即可求出的面积. 【详解】依题意，第一次折叠后，是等腰直角三角形，四边形是矩形， 有，，； 第二次折叠后，是等腰直角三角形，， 因此，所以的面积. 故选：B 8. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象即可判断①②，根据二次函数图象得出的符号，结合二次函数对称轴公式即可判断③④． 【详解】由题意得，当，故①错误； 当，故②正确； 又，，所以，即，故③正确； 由图象可知，，所以，故④错误， 故选：B． 9. 世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】计算共有6场比赛，考虑胜，胜，胜，且胜的情况排除6分，再判断7分满足条件，得到答案. 【详解】一共有场比赛，考虑情况：胜，胜，胜，且胜， 则均6分，故6分不能保证出线. 若得7分，则保证对其他3队不败，最多有一队也是7分，至少排名第二，保证出线. 故选：C. 10. 已知一个三角形的三边长分别为，另一个三角形的三边长分别为，其中.若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将的三角形分成两个等腰三角形，边长为的三角形与边长为的三角形相似，可得，计算可求得. 【详解】三角形内，小边对小角， 所以边长为的三角形最小的内角为顶角，边长为的三角形最小的内角为底角， 由题意，这两个角相等． 如图，将的三角形分成两个等腰三角形，即， 故题干中对应的三角形与全等，即，所以， 显然，即 所以，令， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 有五张不通明的卡片为，，，，，除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据无理数的定义及概率公式即可求解． 【详解】由题可知，无理数有和，共2张， 故从中随机抽出一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为， 故答案为： 12. 函数的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线沿轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数的图象的交点共有______个. 【答案】2 【解析】 【分析】作出函数图象，数形结合即可求解. 【详解】在同一坐标系中，作出函数和的图象，如下： 将沿轴向上平移2个单位后的图象如图， 根据图象可知：所得直线与函数的图象的交点共有2个，分别为和. 故答案为：2 13. 有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①②比③④重，第二次⑤⑥比⑦⑧轻，第三次①③⑤和②④⑧一样重.那么，两个轻球的编号是______. 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】根据前两次称量可知轻球分别在③，④中或⑤，⑥中，结合第三次称量即可求解. 【详解】根据第一次①②比③④重，可知轻球应该在③，④中， 根据第二次⑤⑥比⑦⑧轻，可知轻球应该在⑤，⑥中， 根据第三次①③⑤和②④⑧一样重， 可知①，③，⑤与②，④，⑧要么均为重量相同的6个球中之一， 要么①，③，⑤与②，④，⑧中各有1个轻球， 若①，③，⑤与②，④，⑧要么均为重量相同的6个球中之一，这与第一次称相矛盾， 故①，③，⑤与②，④，⑧中各有1个轻球，结合轻球分别在③，④中或⑤，⑥中，故轻球应该是④⑤， 故答案为：④⑤ 14. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，以秒的速度向终点移动，动点从点出发以秒的速度向终点移动，则移动到第______秒时，可使的面积最大. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，列出函数关系，即可由二次函数的性质求解最值. 【详解】设移动秒时，面积最大， 此时，，所以， 故当时，面积最大， 故答案为：4 15. 如图所示，点为正方形的边上的一点，为边的延长线上一点，且．若正方形的边长为2，且，的面积为，请写出与之间的函数关系式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形性质及三角形面积公式即可求解． 【详解】因为， 所以， 因为四边形是正方形，且边长为2， 所以，， 所以， 故答案：． 16. 若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数________． 【答案】1 【解析】 【分析】按照一般步骤解方程，用含a的代数式表示x，由方程无解，得最简公分母为0，代入即可求解a． 【详解】分式方程去分母得，，解得， 因为方程在实数范围内无解， 所以，即， 所以，解得， 故答案为：1． 17. 平面上两点的距离为（且为定值），又点到某直线的距离分别为，则这样的直线共有______条． 【答案】3 【解析】 【分析】分别以为圆心，为半径作圆，则两圆外切，由题意得直线与两圆相切，求解公切线的条数即可. 【详解】如图，分别以为圆心，为半径作圆， 因为，所以和外切， 又因为点到某直线的距离分别为， 所以该直线为和的公切线， 所以这样的直线有3条，如图所示， 故答案为：3 18. 对自然数，定义新运算，使其满足，．则______________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据定义新运算的第二种运算方法，把逐步转化为相乘的形式，再根据第一种运算方法求出，然后代入进行计算即可求解． 【详解】 ， 因为，所以， 所以， 故答案为：16． 三、解答题（共88分） 19. （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据根式的计算以及特殊角的三角函数值即可求解， （2）先化简，再整体代入求解. 【详解】（1） 原式 . （2） 原式 . ， 原式 20. 如图，在中，为边上一点，且. （1）求证：； （2）若平分，，求的度数. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明、、来证得. （2）先证得为等边三角形，然后结合（1）求得. 【小问1详解】 是平行四边形， ，， ， ， ， ， . 【小问2详解】 ，， ， 为等边三角形， ， ， ， 由（1）知， . 21. 把一个六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6有正方体骰子随意掷一次，各个数字所在面朝上的机会均相等. （1）若抛掷一次，则朝上的数字大于4的概率是多少？ （2）若连续抛掷两次，第一次所得的数为，第二次所得的数为.把作为点的横、纵坐标，那么点在函数的图象上的概率又是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率公式即可求解， （2）利用列表法列举所有基本事件，即可由概率公式求解. 【小问1详解】 依题意可知：随意掷一次正方体骰子，面朝上的数可能出现的结果有1、2、3、4、5、6共6种， 而且它们出现的可能性相等.满足数字大于4（记为事件）的有2种.所以 . 【小问2详解】 依题意列表分析如下： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6） 2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （25） （2,6） 3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6） 4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6） 5 （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6） 6 （6,1） （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6） 由表可以看出，可能出现的结果有36种，而且它们出现的可能性相等， 所得点（记为事件）的有（1,2）和（2,5）两种情况， 所以在函数的图象上的概率为 . 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为15，边比大2，为的中点，以为直径的交轴于点，过点作于． （1）求的长； （2）求证：为的切线； （3）小明在解答本题时，发现是等腰三角形．由此，他断定：“直线上一定存在除点以外的点，使也是等腰三角形，且点一定在外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）不同意，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，则，根据矩形面积列出方程求解即可； （2）连接，证明，进而得出，结合即可证明； （3）分两种情况进行分析：①；②，求出两种情况下使为等腰三角形时点的坐标，判断它与圆的位置关系，由此解答． 【小问1详解】 在矩形中，设，则， 依题意得，解得：，（不合题意，舍去）， 所以，． 【小问2详解】 连接，如图所示， 在矩形中，，， 在和中， 因为， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以，所以， 所以， 因为， 所以， 因为点在上，为的半径， 所以为切线． 【小问3详解】 不同意，理由如下： ①当时，以点为圆心，以为半径画弧交直线于和两点， 过点作于点，， 因为， 所以，所以，则点； 同理可得：； ②当时，以点为圆心，以为半径画弧交直线于和两点， 同上可求得， 因为,半径， 所以，在内， ，在外， ，在外， ，在外， 因此，在直线上，除了点外，既存在内的点，又存在外的点、、，它们分别使为等腰三角形． 23. 如图，已知为的边上一点，以为顶点的的两边分别交射线于两点，且（为锐角）．当以点为旋转中心，边与重合的位置开始，按逆时针方向旋转（保持不变）时，两点在射线上同时以不同的速度向右平行移动．设，，的面积为．若，． （1）当旋转（即）时，求点移动的距离； （2）求证：； （3）写出与之间的关系式； （4）试写出随变化的函数关系式，并确定的取值范围． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）当旋转到时，点移动到点，点移动的距离，根据图形计算即可； （2）已知两三角形两角对应相等，即可证相似； （3）可由（2）问的三角形相似即可得到与之间的函数关系式； （4）根据图形得出的关系式，然后在图形内根据的取值范围确定的取值范围． 【小问1详解】 且为锐角， ，即， 初始状态时，为等边三角形， ， 当旋转到时，点移到点， ， ，， 在中，， ， 点移动的距离是2． 【小问2详解】 证明：在和中， ∵， ． 【小问3详解】 由（2）得，所以， ， ， 过点作，垂足为， 在中，， ， 在中，， ，即． 【小问4详解】 在中，边上的高为， ， ， ，即，又， 的取值范围为， 是的正比例函数且比例系数， ，即． 24. 已知关于的方程①． （1）若方程①有实数根，求实数的取值范围？ （2）若、，方程①所对应的函数的图象与线段只有一个交点，求实数的取值范围？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，时为一元一次方程；时为一元二次方程，由列出不等式求解即可； （2）分类讨论，当时，得出一次函数与线段无交点；当，为二次函数，根据题意列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 若方程为一元一次方程，则，即， 则，解得，符合题意； 若方程为一元二次方程，则， 关于的方程有实数根， ∴，解得：， 且， 综上所述，． 【小问2详解】 设方程①所对应的函数记为， ⅰ)当，即时，即为， 令，得，即此时函数的图象与线段没有交点； ⅱ)当，即，函数为二次函数，依题意有， 若二次函数与轴有2个交点， 则，即，解得； 若二次函数与轴只有1个交点， 则， 令，解得，此时二次函数与线段无交点； 综上所述，实数的取值范围是：． 25. 已知抛物线. （1）判断抛物线的顶点与直线的位置关系； （2）设该抛物线与轴交于两点，当，且时，求出这条抛物线的解析式； （3）直线交轴于点，（2）中所求抛物线的对称轴与轴交于点.那么在对称轴上是否存在点，使与直线和轴同时相切.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）抛物线的顶点在直线上 （2） （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）利用配方可得顶点式，即可求解顶点坐标求解， （2）根据韦达定理可得，即可根据二次方程的根求解， （3）根据均为等腰直角三角形，即可求解. 【小问1详解】 由抛物线得顶点坐标为， 显然满足，抛物线的顶点在直线上. 【小问2详解】 设，，且. 由，，得. ， 当时，，， 当时，，此方程无解 . 故取. 则抛物线的解析式为. 【小问3详解】 抛物线的对称轴为，顶点. 依题意， ， 若点在轴上方，设， 则点到直线的距离为（如图）， 是等腰直角三角形. ,. 若点在轴的下方，设， 则点到直线的距离为（如图）， 同理可得为等腰直角三角形， ，. . 满足条件的点有两个， 即和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 （时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2007年3月5日，温家宝总理在政府工作报告中讲到，全国财政安排农村义务教育经费1840亿元，全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段5200万名学生的学杂费，为3730万名贫困家庭学生免费提供教科书，对780万名寄宿学生补助了生活费．在这组数据中，全部免除学杂费的学生人数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ） A. 20分钟 B. 22分钟 C. 24分钟 D. 26分钟 3. 由小到大排列一组数据，，，，，其中每个数据都小于，则对于样本1，，，，，的中位数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图象上有两点，，且，则的值是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 不能确定 5. 一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有个面涂有颜色的小立方块的个数为，则，，之间的关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在函数的图象上取点，作轴于，作轴于点，为原点，且矩形的面积为2，则符合条件的点共有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，有一矩形纸片，，，将纸片向右折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 8. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ） A ①②③ B. ②③ C. ①④ D. ③④ 9. 世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 已知一个三角形的三边长分别为，另一个三角形的三边长分别为，其中.若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 有五张不通明的卡片为，，，，，除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为______. 12. 函数的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线沿轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数的图象的交点共有______个. 13. 有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①②比③④重，第二次⑤⑥比⑦⑧轻，第三次①③⑤和②④⑧一样重.那么，两个轻球编号是______. 14. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，以秒速度向终点移动，动点从点出发以秒的速度向终点移动，则移动到第______秒时，可使的面积最大. 15. 如图所示，点为正方形的边上的一点，为边的延长线上一点，且．若正方形的边长为2，且，的面积为，请写出与之间的函数关系式为____________． 16. 若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数________． 17. 平面上两点的距离为（且为定值），又点到某直线的距离分别为，则这样的直线共有______条． 18 对自然数，定义新运算，使其满足，．则______________． 三、解答题（共88分） 19. （1）计算：； （2）已知，求的值. 20. 如图，在中，为边上一点，且. （1）求证：； （2）若平分，，求的度数. 21. 把一个六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6有正方体骰子随意掷一次，各个数字所在面朝上的机会均相等. （1）若抛掷一次，则朝上的数字大于4的概率是多少？ （2）若连续抛掷两次，第一次所得的数为，第二次所得的数为.把作为点的横、纵坐标，那么点在函数的图象上的概率又是多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形面积为15，边比大2，为的中点，以为直径的交轴于点，过点作于． （1）求的长； （2）求证：为的切线； （3）小明在解答本题时，发现是等腰三角形．由此，他断定：“直线上一定存在除点以外的点，使也是等腰三角形，且点一定在外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由． 23. 如图，已知为的边上一点，以为顶点的的两边分别交射线于两点，且（为锐角）．当以点为旋转中心，边与重合的位置开始，按逆时针方向旋转（保持不变）时，两点在射线上同时以不同的速度向右平行移动．设，，的面积为．若，． （1）当旋转（即）时，求点移动的距离； （2）求证：； （3）写出与之间的关系式； （4）试写出随变化的函数关系式，并确定的取值范围． 24. 已知关于的方程①． （1）若方程①有实数根，求实数的取值范围？ （2）若、，方程①所对应的函数的图象与线段只有一个交点，求实数的取值范围？ 25. 已知抛物线. （1）判断抛物线的顶点与直线的位置关系； （2）设该抛物线与轴交于两点，当，且时，求出这条抛物线的解析式； （3）直线交轴于点，（2）中所求抛物线的对称轴与轴交于点.那么在对称轴上是否存在点，使与直线和轴同时相切.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$