精品解析：浙江省县域教研联盟2023-2024学年九年级下学期期中数学模拟试题

2023~2024学年第二学期浙江省县域教研联盟九年级模拟考试 数 学 考生须知： 1． 本卷满分 120分， 考试时间120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析． 卷I（选择题） 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 热气球上升5米记为，则下降3米应该记为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 2. 如图是我们常见的空心卷纸，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放置在直线a上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是我们生活中常见的标识简，可将其上半部分近似的看成一个底面半径为，高为的圆锥，现要在该圆锥侧面贴一层反光膜（无缝隙与拼接），则反光膜面积为（ ） A B. C. D. 6. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 7. 在一次包饺子活动中，五位家庭成员包的饺子个数分别为（其中爸爸包了个）后来爸爸又包了个，所得个数据与原数据相比，以下几个统计量中，不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一装有水球形容器放在水平地面上，其轴截面为的一部分，为容器口，为水面，已知半径为，将容器从甲处与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面正好经过点B时（水无溢出），点A相对甲处时升高了多少厘米？（ ） A. B. C. D. 1 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，x的取值应满足_________． 12. 如图，为切线，C为切点，与交于点B，若，，则_________． 13. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是_____． 14. 如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为____________． 15. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为____. 16. 如图，在中，，两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，，令，当时， _________；当时，_________． 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分， 第20， 21题每题8分， 第22， 23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. （1）计算： （2）解不等式： 18. 已知：如图，在中，对角线相交于点O，． （1）求证：是矩形． （2）若，求对角线的长． 19. 【数据的收集与整理】 猫眼研究院发布《2024春节档电影数据洞察报告》数据显示，今年春节档电影总票房创历史新高．春节档8天日票房收入及票房冠军《热辣滚烫》在日票房收入中所占比重分别如图所示．（数据来源：猫眼专业版） 【数据分析】 （1）下列结论中，所有正确结论的序号是__________．（填序号） ①初一至初八日票房收入超过10亿的天数占； ②初一至初八《热辣滚烫》票房在日票房收入中所占比重呈先上升再下降的趋势； ③《热辣滚烫》日票房收入最高的一天是初四． （2）2024春节档8天微博电影相关热搜总数为946个，将微博映后热搜类型分布、各级城市票房收入占比和观众性别比例绘制成如图统计图． ①求“全民讨论”热搜个数（精确到个位）； ②结合各级城市票房收入占比和观众性别比例分析，如果你是投资方，来年的春节档你投资影片会考虑哪些因素？ 20. 观察下面的一列数：，，，… （1）尝试：；__________；__________． （2）归纳：__________． （3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 21. 我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：，，） （1）求容器的高度． （2）求水的折射率． （3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到的三等分点处（），求水面上升的高度．（结果精确到） 22. [回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程． 已知：如图1，是的中位线，求证：，． 分析：因为E是中点，可以考虑以点E为中心，把按顺时针方向旋转，得到，这样就需要证明四边形是平行四边形…… [探究发现] 如图2，等边的边长为2，点D，E分别为，边中点，点F为边上任意一点（不与B，C重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转恰好能与①拼成平行四边形，求平行四边形周长的最小值． [拓展作图] 如图3，已知四边形，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．  23. 已知：二次函数（m是常数） （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． （2）若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． （3）已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 24. 如图，为的直径，C为右侧半圆上一点，且的长度是长度的2倍，D为左侧半圆上一点，与交于点F，点E为上一点，且． （1）求的度数． （2）求证：． （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期浙江省县域教研联盟九年级模拟考试 数 学 考生须知： 1． 本卷满分 120分， 考试时间120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析． 卷I（选择题） 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 热气球上升5米记为，则下降3米应该记为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，熟知正负数代表相反意义的量是解本题的关键． 根据正负数代表相反意义的量可知：热气球向上记为正，则向下记为负即可． 【详解】解：热气球上升5米记为， 那么下降3米应该记为． 故选：D． 2. 如图是我们常见的空心卷纸，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，从不同的方向抽象出几何体的形状是解决问题的关键．俯视图是指从上往下看得到的图形．注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线． 【详解】解：其主视图是 ． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法．根据合并同类项法则；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线，将直角三角板的直角顶点放置在直线a上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质推出，求出，即可得到．本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 【详解】解：直线， ， ， ． 故选：A． 5. 如图是我们生活中常见的标识简，可将其上半部分近似的看成一个底面半径为，高为的圆锥，现要在该圆锥侧面贴一层反光膜（无缝隙与拼接），则反光膜面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：由题意可得：圆锥的母线长为：， 反光膜面积为：． 故选：C． 6. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用数轴比较大小，先确定与0的大小，再进行比较即可． 详解】解：由数轴得， A.，故选项A错误，不符合题意； B.∵，∴，故选项B错误，不符合题意； C.∵，，∴，正确，故此选项符合题意； D.∵，∴，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 7. 在一次包饺子活动中，五位家庭成员包的饺子个数分别为（其中爸爸包了个）后来爸爸又包了个，所得个数据与原数据相比，以下几个统计量中，不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了统计的有关知识，根据平均数、中位数、众数、方差的知识判断即可求解，掌握平均数、中位数、众数、方差的定义是解题的关键． 【详解】解：原数据的中位数数为， 新数据为，，，，，新数据的中位数为， ∴不变的统计量为中位数， 故选：． 8. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上点的坐标．根据反比例函数图象上点可以判断反比例函数经过的象限，再由对应反比例函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：由反比例函数图象上点可知， 反比例函数图象位于第二、四象限，即在每个象限内，图象自左向右上升，函数随增大而增大， 反比例函数图象上位于第二象限的两个点的坐标分别为，位于第一象限的点的坐标为， ． 故选：A． 9. 已知二次函数，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 首先得到抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，然后得到二次函数和二次函数的图象关于y轴对称，进而求解即可． 【详解】∵二次函数，当时，， ∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和 ∴， ∴对称轴为 ∵二次函数 ∴对称轴为 ∴二次函数和二次函数的图象关于y轴对称 ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，且开口向下 ∴二次函数的图象可能为 ． 故选：D． 10. 如图，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其轴截面为的一部分，为容器口，为水面，已知半径为，将容器从甲处与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面正好经过点B时（水无溢出），点A相对甲处时升高了多少厘米？（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】如图甲中，过点O作于点M，交于点N．在图乙中，过点A作于点G，过点O作于点H．交于点J，作于点N．利用勾股定理求出，，证明，进而证明，即可求解． 【详解】解：如图甲中，过点O作于点M，交于点N．在图乙中，过点A作于点G，过点O作于点H．交于点J，作于点N． 如图甲中，∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点A到水面距离为， 如图乙中，同法可得， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点A到水平面的距离为， ∴点A相对甲处时升高了． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的相关知识，涉及垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线构造全等与相似三角形． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，x的取值应满足_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0． 根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】∵分式有意义， ∴ ∴． 故答案为：． 12. 如图，为切线，C为切点，与交于点B，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理等知识点，掌握切线的性质及勾股定理的灵活运用是解题的关键． 连接，首先根据切线的性质得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵为切线，C为切点， ∴ ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 13. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，利用概率公式直接求解即可求得答案． 【详解】∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个， ∴掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：. 故答案为． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率＝所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为____________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】由将菱形沿折叠，点的对应点，，得，得，由，得，得，，得，即可得．本题主要考查了图形的折叠，菱形的性质，解题关键是正确应用折叠的性质． 【详解】解：将菱形沿折叠，点的对应点，， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 15. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同.故可得 ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得,因此可得二元一次方程组. 【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得， 再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得. 因此 所以答案为 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题,必须熟练掌握. 16. 如图，在中，，两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，，令，当时， _________；当时，_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、正方形的性质等知识，过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，求出即可得到答案，证明，得到设，则，证明，得到，在中，，即，解得（不合题意的解已经舍去），得，，，则，证明，进一步即可得到答案． 【详解】解：过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M， 当时，即时， ∵两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即； ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则 ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 解得， 在中， 即， 解得（不合题意的解已经舍去） ∴，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：， 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分， 第20， 21题每题8分， 第22， 23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. （1）计算： （2）解不等式： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解一元一次不等式组： （1）原式先化简然后再进行加减运算即可； （2）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1可求出不等式的解集 【详解】解：（1） 解：（2） 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 两边同乘以-1，得：． 18. 已知：如图，在中，对角线相交于点O，． （1）求证：是矩形． （2）若，求对角线的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、等边三角形的判定和性质： （1）根据等角对等边可得，结合平行四边形对角线互相平分，可得，即可证明是矩形； （2）根据已知条件证明为等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 19. 【数据的收集与整理】 猫眼研究院发布《2024春节档电影数据洞察报告》数据显示，今年春节档电影总票房创历史新高．春节档8天日票房收入及票房冠军《热辣滚烫》在日票房收入中所占比重分别如图所示．（数据来源：猫眼专业版） 【数据分析】 （1）下列结论中，所有正确结论的序号是__________．（填序号） ①初一至初八日票房收入超过10亿的天数占； ②初一至初八《热辣滚烫》票房在日票房收入中所占比重呈先上升再下降的趋势； ③《热辣滚烫》日票房收入最高的一天是初四． （2）2024春节档8天微博电影相关热搜总数为946个，将微博映后热搜类型分布、各级城市票房收入占比和观众性别比例绘制成如图统计图． ①求“全民讨论”的热搜个数（精确到个位）； ②结合各级城市票房收入占比和观众性别比例分析，如果你是投资方，来年的春节档你投资影片会考虑哪些因素？ 【答案】（1）①② （2）①542 ②考虑女性观众的视角，投资反应社会上女性在生活、工作时真实现状的影片 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和折线图，扇形统计图，解题的关键是正确分析统计图中的数据． （1）根据统计图中的数据求解即可； （2）①用总人数乘以“全民讨论”的热搜所占的百分比即可求解； ②根据四线城市占比最多，女性观众占比高于男性观众求解即可． 【小问1详解】 ①初一至初八日票房收入超过10亿的天数有4天，共8天 ∴初一至初八日票房收入超过10亿的天数占，故①正确； ②初一至初八《热辣滚烫》票房在日票房收入中所占比重呈先上升再下降的趋势，故②正确； ③《热辣滚烫》日票房收入最高的一天是初四． 初一《热辣滚烫》日票房收入为（亿元） 初二《热辣滚烫》日票房收入为（亿元） 初三《热辣滚烫》日票房收入为（亿元） 初四《热辣滚烫》日票房收入为（亿元） 初五《热辣滚烫》日票房收入为（亿元） 初六《热辣滚烫》日票房收入为（亿元） 初七《热辣滚烫》日票房收入为（亿元） 初八《热辣滚烫》日票房收入为（亿元） ∴《热辣滚烫》日票房收入最高的一天是初五，故③错误； 【小问2详解】 ①“全民讨论”的热搜个数约为（个）； ②∵四线城市占比最多，女性观众占比高于男性观众 ∴来年的春节档投资会考虑女性观众的视角，投资反应社会上女性在生活、工作时真实现状的影片． 20. 观察下面的一列数：，，，… （1）尝试：；__________；__________． （2）归纳：__________． （3）推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】（1）； （2） （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据题意代数求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． （3）首先根据分式的加减运算求出，，然后代入求解即可； 【小问1详解】 ； ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∴． 21. 我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：，，） （1）求容器的高度． （2）求水的折射率． （3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到的三等分点处（），求水面上升的高度．（结果精确到） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的正切值可得的长； （2）作于点．根据水面在容器高度一半，可得，的长度，进而可得的长度，利用勾股定理可得的长度，即可求得折射角的正弦值，易得入射角，那么可得入射角的正弦值，即可求得的值； （3）在水中的折射光线是平行的，那么可得和的比值；根据水平面也是平行的，可得和的比值．即可求得的值． 【小问1详解】 解：解：∵,, ， ∴ 【小问2详解】 解：如图，作于点，由题可知：，， ∴ ， ∴，， ∴， 【小问3详解】 解：由题可知：，， ∴， ∴，即， ∴ . 22. [回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程． 已知：如图1，是的中位线，求证：，． 分析：因为E是的中点，可以考虑以点E为中心，把按顺时针方向旋转，得到，这样就需要证明四边形是平行四边形…… [探究发现] 如图2，等边的边长为2，点D，E分别为，边中点，点F为边上任意一点（不与B，C重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转恰好能与①拼成平行四边形，求平行四边形周长的最小值． [拓展作图] 如图3，已知四边形，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．  【答案】[探究发现] ；[拓展作图] 作图见解析，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质等知识，理解题意是解决问题的关键． [探究发现] 由旋转及平行四边形的性质可知，，，要使得平行四边形周长最小，则只需要最小，即：最小即可，亦即当时，取得最小值，当时，，利用含的直角三角形即可求解； [拓展作图]取，，，边中点，，，，再根据旋转和平移即可求解． 【详解】解：[探究发现] ∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， 由旋转可知，，，， 则在平行四边形中，，， 要使得平行四边形周长最小，则只需要最小， 即：最小即可，亦即当时，取得最小值， 当时，，则， ∴， ∴的最小值为， 此时平行四边形周长的最小，最小为； [拓展作图] 方法一：如图，点，，，分别为，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，③分别绕点，旋转至④，⑥，再将②平移至⑤，恰好能与⑦拼成平行四边形； 方法二：点，，，分别，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，②分别绕点，旋转至④，⑤，再将②平移至⑥，恰好能与⑦拼成平行四边形． 23. 已知：二次函数（m是常数） （1）求该二次函数图象顶点坐标（用含m的代数式表示）． （2）若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． （3）已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解． （2）利用根与系数的关系即可判断； （3）求得直线的解析式为，即可得到抛物线的顶点在直线上，分别求得抛物线过、点时的的值，结合图象即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：， 抛物线顶点坐标为． 【小问2详解】 证明：由题意可知，，是方程，即的两个根， ，， ． 是个定值． 【小问3详解】 解：设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， 直线解析式为． 抛物线顶点坐标为， 抛物线的顶点在直线上， 当时，抛物线与线段有1个交点，当时，抛物线与线段有2个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 综上所述，该二次函数图象与线段只有一个交点，的取值范围是或． 24. 如图，为的直径，C为右侧半圆上一点，且的长度是长度的2倍，D为左侧半圆上一点，与交于点F，点E为上一点，且． （1）求的度数． （2）求证：． （3）若，求的长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可求，即可求解； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）由直角三角形的性质得，由勾股定理得出，根据求出，得出由面积得，得出，设分在点上方和下方两种情况求解，当在O上方时，作延长线于点P，求出，，，证明，根据比例式求出，从而求出；当在O下方时，作于点Q，同理可得： 【小问1详解】 解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵ ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴即， 令，， 当在O上方时，作延长线于点P， 由题可知：， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴即 ∴， 当在O下方时，作于点Q 同理可得：； 综上，的值为：或 【点睛】本题是三角形综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$