2. 4　用因式分解法求解一元二次方程课件+学案2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

4　用因式分解法求解一元二次方程 课时学习目标 素养目标达成 1.了解因式分解法的概念,会用因式分解法解一元二次方程 推理能力、运算能力 2.会根据方程的特点选用适当的方法解一元二次方程 模型观念、运算能力 基础主干落实　　 新知要点 对点小练 用因式分解法解一元二次方程 思路 一元二次方程两个一元一次方程 原理 若ab=0↔a=0或b=0 二次三项式因式分解与一元二次方程根的关系 因式分解 方程的根 x2+bx+c=(x-d)(x-h) 方程x2+bx+c=0的根是d和h ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2) ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2 　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0的解是(C) A.x=1 B.x=2 C.x=1或x=2 D.x=-1或x=-2 2.解方程x2-3x=0较为合适的方法是(D) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 3.用因式分解法解一元二次方程4x2+11x-3=0时,可将原方程转化为(4x-1)(x+3)=0,其中一个方程是4x-1=0,则另一个方程是　x+3=0　.  重点典例研析　　 【重点1】用因式分解法求解一元二次方程(推理能力、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P47例题强化) 用因式分解法解下列方程: (1)2x2-8=0. 【自主解答】(1)∵2x2-8=0, ∴x2-4=0,∴(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0或x-2=0,∴x1=-2,x2=2. (2)x(x+2)=2x+4. 【自主解答】(2)∵x(x+2)=2(x+2),∴x(x+2)-2(x+2)=0,则(x+2)(x-2)=0,∴x+2=0或x-2=0,解得x1=-2,x2=2. (3)x2+16=8x. 【自主解答】(3)由题得x2-8x+16=0, ∴(x-4)2=0,∴x1=x2=4. 【举一反三】 1.(2024·毕节期末)方程x(3x-2)=4(3x-2)的根为　4或　.  2.用因式分解法解下列方程: (1)x(2x-5)=4x-10. 【解析】(1)x(2x-5)=4x-10,x(2x-5)-2(2x-5)=0,(2x-5)(x-2)=0,则2x-5=0或x-2=0,解得x1=2.5,x2=2; (2)(x-3)2=(2x+5)2. 【解析】(2)(x-3)2=(2x+5)2,(x-3)2-(2x+5)2=0,[(x-3)+(2x+5)][(x-3)-(2x+5)]=0, (x-3+2x+5)(x-3-2x-5)=0, (3x+2)(-x-8)=0, 则3x+2=0或-x-8=0, 解得x1=-,x2=-8. 【技法点拨】 因式分解法解一元二次方程的四个步骤 1.转化:把方程化为右边为0的形式. 2.分解:将方程的左边分解成两个一次因式乘积的形式. 3.降次:令每个因式分别等于0,得到两个一元一次方程. 4.求解:解这两个一元一次方程,得到原方程的解. 【重点2】一元二次方程解法的选择(运算能力) 【典例2】(2024·贵阳南明区质检)用恰当的方法解下列方程: (1)x2-4x+1=0; 【自主解答】(1)方程移项得x2-4x=-1, 配方得x2-4x+4=3,即(x-2)2=3, 开方得x-2=±, 解得x1=2+,x2=2-; (2)2x2+3x=1. 【自主解答】(2)方程移项得2x2+3x-1=0, a=2,b=3,c=-1, Δ=32-4×2×(-1)=17>0, 所以方程有两个不相等的实数根,x==, x1=,x2=. (3)(x+3)2=2(x+3). 【自主解答】(3)方程移项得:(x+3)2-2(x+3)=0,分解因式得:(x+3)(x+3-2)=0,所以x+3=0或x+1=0,解得:x1=-3,x2=-1. 【举一反三】 1.(2024·铜仁质检)下列方程中,用因式分解法求解较为简便的是(C) A.x2-5x-1=0 B.x2-2x-1=0 C.5x2=x D.(x+2)(x-1)=-3 2.(2024·贵州一模)从下列三个方程中任选一个方程,并用适当的方法解方程. ①x2-3=0　②x2-4x=0　③x2-2x+1=0 【解析】选①,x2-3=0. 化为x2=3,直接开平方得x=±. ∴x1=,x2=-. 选②,x2-4x=0. 因式分解得x(x-4)=0,∴x1=0,x2=4. 选③,x2-2x+1=0. 因式分解得(x-1)2=0,∴x1=x2=1. 【技法点拨】 选择一元二次方程解法的技巧 1.选择顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法(或配方法). 2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用直接开平方法. 3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法. 4.若方程一次项系数是二次项系数的偶数倍,可用配方法. 5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·运算能力)一元二次方程x(x-2)=0的解是(B) A.x1=x2=0 B.x1=0,x2=2 C.x1=x2=2 D.x1=1,x2=2 2.(3分·推理能力)用因式分解法解一元二次方程x(x-2)+x-2=0,变形后正确的是(B) A.(x+1)(x+2)=0 B.(x+1)(x-2)=0 C.(x-1)(x-2)=0 D.(x-1)(x+2)=0 3.(3分·运算能力)关于x的方程(x-3)(x+1)=0的解是　x=3或x=-1　.  4.(3分·运算能力)(2021·贵州六盘水质检)一元二次方程3x2-6x=2(x-2)的根为　x1=2,x2=　.  5.(8分·模型观念、运算能力)解方程: (1)x(x-6)+x2=0.　 【解析】(1)x(x-6)+x2=0, 整理得2x2-6x=0, 因式分解,得2x(x-3)=0, ∴2x=0或x-3=0,∴x1=0,x2=3. (2)(x+2)2=6+3x. 【解析】(2)(x+2)2=6+3x, 移项,得(x+2)2-(3x+6)=0, (x+2)2-3(x+2)=0, (x+2)(x+2-3)=0, x+2=0或x+2-3=0, 解得x1=-2,x2=1. 学科网（北京）股份有限公司 $$4　用因式分解法求解一元二次方程 课时学习目标 素养目标达成 1.了解因式分解法的概念,会用因式分解法解一元二次方程 推理能力、运算能力 2.会根据方程的特点选用适当的方法解一元二次方程 模型观念、运算能力 基础主干落实 重点典例研析 素养当堂测评 基础主干落实 新知要点 用因式分解法解一元二次方程 思路 一元二次方程 两个__________方程 原理 若ab=0↔_____或____ 二次三项式因式分解与一元二次方程根的关系 因式分解 方程的根 x2+bx+c=(x-d)(x-h) 方程x2+bx+c=0的根是___和___ ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) ax2+bx+c=0的两个根是___和___ 一元一次 a=0 b=0 d h x1 x2 对点小练 1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0的解是( ) A.x=1 B.x=2 C.x=1或x=2 D.x=-1或x=-2 2.解方程x2-3x=0较为合适的方法是( ) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 3.用因式分解法解一元二次方程4x2+11x-3=0时,可将原方程转化为(4x-1)(x+3)=0, 其中一个方程是4x-1=0,则另一个方程是___________.  C D 　x+3=0　 重点典例研析 【重点1】用因式分解法求解一元二次方程(推理能力、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P47例题强化) 用因式分解法解下列方程: (1)2x2-8=0. 【自主解答】(1)∵2x2-8=0, ∴x2-4=0,∴(x+2)(x-2)=0, ∴x+2=0或x-2=0,∴x1=-2,x2=2. (2)x(x+2)=2x+4. 【自主解答】(2)∵x(x+2)=2(x+2),∴x(x+2)-2(x+2)=0,则(x+2)(x-2)=0,∴x+2=0或x-2=0,解得x1=-2,x2=2. (3)x2+16=8x. 【自主解答】(3)由题得x2-8x+16=0, ∴(x-4)2=0,∴x1=x2=4. 【举一反三】 1.(2024·毕节期末)方程x(3x-2)=4(3x-2)的根为_________.  2.用因式分解法解下列方程: (1)x(2x-5)=4x-10. 【解析】(1)x(2x-5)=4x-10,x(2x-5)-2(2x-5)=0,(2x-5)(x-2)=0,则2x-5=0或x-2=0,解得x1=2.5,x2=2; 　4或　 (2)(x-3)2=(2x+5)2. 【解析】(2)(x-3)2=(2x+5)2,(x-3)2-(2x+5)2=0,[(x-3)+(2x+5)][(x-3)-(2x+5)]=0, (x-3+2x+5)(x-3-2x-5)=0, (3x+2)(-x-8)=0, 则3x+2=0或-x-8=0, 解得x1=-,x2=-8. 【技法点拨】 因式分解法解一元二次方程的四个步骤 1.转化:把方程化为右边为0的形式. 2.分解:将方程的左边分解成两个一次因式乘积的形式. 3.降次:令每个因式分别等于0,得到两个一元一次方程. 4.求解:解这两个一元一次方程,得到原方程的解. 【重点2】一元二次方程解法的选择(运算能力) 【典例2】(2024·贵阳南明区质检)用恰当的方法解下列方程: (1)x2-4x+1=0; 【自主解答】(1)方程移项得x2-4x=-1, 配方得x2-4x+4=3,即(x-2)2=3, 开方得x-2=±, 解得x1=2+,x2=2-; (2)2x2+3x=1. 【自主解答】(2)方程移项得2x2+3x-1=0, a=2,b=3,c=-1, Δ=32-4×2×(-1)=17>0, 所以方程有两个不相等的实数根,x==, x1=,x2=. (3)(x+3)2=2(x+3). 【自主解答】(3)方程移项得:(x+3)2-2(x+3)=0,分解因式得:(x+3)(x+3-2)=0,所以x+3=0或x+1=0,解得:x1=-3,x2=-1. 【举一反三】 1.(2024·铜仁质检)下列方程中,用因式分解法求解较为简便的是( ) A.x2-5x-1=0 B.x2-2x-1=0 C.5x2=x D.(x+2)(x-1)=-3 C 2.(2024·贵州一模)从下列三个方程中任选一个方程,并用适当的方法解方程. ①x2-3=0　②x2-4x=0　③x2-2x+1=0 【解析】选①,x2-3=0. 化为x2=3,直接开平方得x=±. ∴x1=,x2=-. 选②,x2-4x=0. 因式分解得x(x-4)=0,∴x1=0,x2=4. 选③,x2-2x+1=0. 因式分解得(x-1)2=0,∴x1=x2=1. 【技法点拨】 选择一元二次方程解法的技巧 1.选择顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法(或配方法). 2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用直接开平方法. 3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法. 4.若方程一次项系数是二次项系数的偶数倍,可用配方法. 5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法. (10分钟·20分) 1.(3分·运算能力)一元二次方程x(x-2)=0的解是( ) A.x1=x2=0 B.x1=0,x2=2 C.x1=x2=2 D.x1=1,x2=2 2.(3分·推理能力)用因式分解法解一元二次方程x(x-2)+x-2=0,变形后正确的是( ) A.(x+1)(x+2)=0 B.(x+1)(x-2)=0 C.(x-1)(x-2)=0 D.(x-1)(x+2)=0 素养当堂测评 B B 3.(3分·运算能力)关于x的方程(x-3)(x+1)=0的解是______________.  4.(3分·运算能力)(2021·贵州六盘水质检)一元二次方程3x2-6x=2(x-2)的根为 ______________.  　x=3或x=-1　 　x1=2,x2=　 5.(8分·模型观念、运算能力)解方程: (1)x(x-6)+x2=0.　 【解析】(1)x(x-6)+x2=0, 整理得2x2-6x=0, 因式分解,得2x(x-3)=0, ∴2x=0或x-3=0,∴x1=0,x2=3. (2)(x+2)2=6+3x. 【解析】(2)(x+2)2=6+3x, 移项,得(x+2)2-(3x+6)=0, (x+2)2-3(x+2)=0, (x+2)(x+2-3)=0, x+2=0或x+2-3=0, 解得x1=-2,x2=1. 本课结束 $$