2.6 利用三角函数测高-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

６　利用三角函数测高 【边学边练】 知识点　测量物体的高度 （核心素养·数据观念）数学活动小组的同学为测量旗杆的高度，先制定了如下测量 方案，使用的工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含ａ，ｂ，α的代数 式表示旗杆ＡＢ的高度． 数学活动方案 　　　　活动时间：２０２２年１０月２２日　　活动地点：学校操场　　填表人：林平 课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 运用所学数学知识及方法解决实际问题 方案示意图 测量 步骤 （１）用　　　　测得 ∠ＡＤＥ＝α； （２）用　　　　测得ＢＣ ＝ａｍ，ＣＤ＝ｂｍ． 计算过程 （３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【随堂小测】 １．如图，电线杆ＡＢ的中点Ｃ处有一标志物，在地面Ｄ点处测得标志物的仰角为４５°， 若点Ｄ到电线杆底部点Ｂ的距离为ａ，则电线杆ＡＢ的长可表示为 （　　） Ａ．ａ Ｂ．２ａ Ｃ． ３ ２ ａ Ｄ． ５ ２ ａ ３３ ２．如图，测量队为了测量某地区山顶Ｐ的海拔高度，选点 Ｍ作为观测点，从点 Ｍ测量 山顶Ｐ的仰角为３０°，在比例尺为１∶５００００的该地区等高线地形图上，量得这两点的 图上距离为６ｃｍ（水平距离），则山顶Ｐ的海拔高度为（参考数据：槡３≈１．７３２）（　　） Ａ．１７３２ｍ Ｂ．１９８２ｍ Ｃ．３０００ｍ Ｄ．３２５０ｍ 第２题图 　　　　　　　 第３题图 　　　　　　　 第４题图 ３．如图，两建筑物的水平距离为ａｍ，从点Ａ测得点Ｄ的俯角为α，测得点Ｃ的俯角为 β，则较低建筑物ＣＤ的高度为 （　　） Ａ．ａｍ Ｂ．ａｔａｎαｍ Ｃ．ａ（ｓｉｎα－ｃｏｓα）ｍ Ｄ．ａ（ｔａｎβ－ｔａｎα）ｍ ４．（核心素养·应用意识）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城．如图，张三同学在东 门城墙上Ｃ处测得塑像底部Ｂ处的俯角为１８°４８′，测得塑像顶部Ａ处的仰角为４５°， 点Ｄ在观测点Ｃ正下方城墙底的地面上，若ＣＤ＝１０ｍ，则此塑像的高ＡＢ约为　　　　 ｍ．（参考数据：ｔａｎ７１°１２′≈２．９４） ５．如图，山顶有一塔ＡＢ，塔高３３ｍ．计划在塔的正下方沿直线ＣＤ开通穿山隧道ＥＦ．从 与点Ｅ相距８０ｍ的Ｃ处测得Ａ，Ｂ的仰角分别为２７°，２２°，从与点 Ｆ相距５０ｍ的 Ｄ 处测得Ａ的仰角为４５°．求隧道ＥＦ的长度．（参考数据：ｔａｎ２２°≈０．４０，ｔａｎ２７°≈０．５１） ６．如图，点Ｅ与树ＡＢ的根部点Ａ、建筑物ＣＤ的底部点Ｃ在一条直线上，ＡＣ＝１０ｍ．小 明站在点Ｅ处观测树顶Ｂ的仰角为３０°，他从点Ｅ出发沿ＥＣ方向前进６ｍ到点 Ｇ 时，观测树顶Ｂ的仰角为４５°，此时恰好看不到建筑物ＣＤ的顶部Ｄ（Ｈ，Ｂ，Ｄ三点在 一条直线上）．已知小明的眼睛离地面 １．６ｍ，求建筑物 ＣＤ的高度．（结果精确到 ０．１ｍ，参考数据：槡２≈１．４１，槡３≈１．７３） ４３ ,.AE=ED·an37°=44.4×0.75=33.3(m). .AB=AE+EB=(atana+b)m. ∴.AB=AE-BE=33.3-6=27.3(m).故选A 【随堂小测】 4.205【解析】如图，过点A作 P 1.B 5 AF⊥BC于点F.:斜而坡度 60 2.B【解析】如图，在Rt△P0M 为1：3， 中，∠0=90°，∠M=30°， 0M=6×50000=300000(m)= 3000m ,∴.tan∠ABF= AF I3 3000(m. .∠ABF=30. tanM= OM' :在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B 处的俯角为60°， 0P=0Wm30r=300x5 1732(m). .∠HPB=30°，∠APB=45°，∠HBP=60°. ∴.1732+250=1982(m).故选B .∠PBA=90°，∠BAP=45°，∴.PB=AB. 3D【解析】如图，过点D作AB的垂 PH303 ,'PH=30m,sin60°= 线交AB于点E.在R△ADE中， PBPB 2 ∠ADE=a,DE=a.∴AE=atanc.在 解得PB=203m,故AB=203m Rt△ABC中，∠ACB=B.BC=a, 5.23.3m【解析】如图，延长DC交 .'AB=atanB..'.CD =AB-AE=atanB-atana a tanB- 直线EA于点F. nc).故选D. AF1:24= 439.4【解析】如图所示，水平视 12 线CE交AB于点E. ∴.设CF=5km,AF=12km 由题意，得CE⊥AB于点E,BE .AC=√CF产+AF=13k=26(m),即k=2. =DC. ∴.AF=24m,CF=10m. 450 ∠ECB=1848', 1848 AE=6m,EF=6+24=30(m). .∠EBC=7I12', DFDF '∠DEF=48°，.tan48o= EC EC EF 30 ≈L.1. tan71°12'= BE 10 =2.94.解得EC=29.4. 解得DF=33.3m..CD=33.3-10=23.3(m). ∠ACE=45°，∴AE=EC 6.解：在Rt△BCD中， .此塑像的高AB约为AE+EB=39.4(m). ~BC的坡度为i,=1:1,心BD D 1 5解：如图，延长AB交CD于点H,则AH⊥CD. ∴.CD=BD=20米 在Rt△AHD中，∠D=45°，∴.AH=DH. 在Rt△ACD中. 在Rm△AhC中，m∠ACH=C AC的坡度为2=1：3， ∴，AH=CH·tan∠ACH=O.51CH. .CD-AD=3CD=203(米)： ·AD5 BH 在R△BIHC中，an∠BCH= CH ∴.AB=AD-BD=203-20=14.6(米) ∴.BH=CH·tan∠BCH=0.4CH. ∴，背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为4.6米 由题意，得0.51CH-0.4CH=33. 6利用三角函数测高 解得CH=300m. 【边学边练】 .'EH=CH-CE=220(m)BH=120 m. 解：(1)测角仪 .AH=AB+BH=33+120=153(m). (2)皮尺 ,∴，DH=AH=153m (3)由题意，得四边形BCDE是矩形 .∴.HF=DH-DF=153-50=103(m) .DE=BC=a m,BE=CD=b m. ∴EF=EH+HF=220+103=323(m). 在Rt△ADE中，AE=ED·tana=a·tang m, ∴隧道EF的长度为323m 156 “第一次在距点A的8米处的树干上欧伐，不会对教 ! 学楼造成危害，故④正确. 45 综上所述，正确的结论是①③④. c22227 3解：(I)如图，过点C作CE⊥BD于点E,则有∠DCE= 6.解：如图，延长FH,交CD于点M,交AB于点N. 18°，∠BCE=20 ∠BHN=45°，BA⊥MH,∴BN=NH.设BN=NH=x ∴.∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38. D HF=6,∠BFN=30°，且tan∠BFV= BNBN NF NH+HF D ■ m30=46解得=35+ 根据题意可知DM=MH=MN+NH.,MN=AC=I0m, (2)由题意，得CE=AB=30m. ∴.DM=10+33+3=(13+33)(m). 在Rt△CBE中，BE=CE·tan20s108(m). ∴CD=DM+MC=DM+EF=13+33+L,6=19.8(m. 在Rt△CDE中，DE=CE·tnl8°9.6(m). 建筑物CD的高度约为19.8m ,∴，BD=BE+DE=10.8+9.6=20.4(m). 、D ∴.教学楼的高BD约为20.4m 4.155【解析】由题意，得MN=15×2=30(海里) ,∠PMN=30°，∠PWT=60°， ∠MPN=∠PMN=30°.∴.PN=MN=30海里. 30 ! .PT=PW·im∠PNT=l53(海里). G 5解：如图，延长DA交PE于点F, 小专题4解直角三角形常见 ∴.DF⊥PE,AD=BC=2m,AB=CD=EF=1.6m 的数学模型应用 设AF=xm,则DF=AF+AD=(x+2)m. 1.D【解析】如图，过点A作AB⊥ 在Rt△PFA中，∠PAF=58°， MN于点B.在Rt△ABM中， ,PF=AF·tan58°≈1.6rm ∠ABM=90°，AB=200m,∠M 在Rt△PDF中，∠PDF=31°， =30°， &an31°=PE-16-0.6 MB=AB =2003(m). DF x+2 tanM .x=1.2 在R△ABN中，∴∠ABN=90°，∠N=∠BMN=45 经检验，x=1.2是原方程的根， .'BN=AB=200 m. ∴，PF=1.6x=1.92(m) .MN=MB+BN=2003+200=200(5+1)m.故选D. ∴，PE=PF+EF=1.92+1.6=s3.5(m) 2.①③④【解析】如图，设过点D的 ∴，路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米 水平线交AB于点E DE∥AC,EA∥CD,∠DCA=90°， .四边形EACD为矩形..ED=AC= 12米，AB=BE+AE=DE·tan45°+ DE·tan30°=12+4√3ea18.8米.故 A—12米 ①正确： E B CD=AE=DE·tan30°=43=6.8米，故②不正确： 6解：设点B处距离码头O处xkm AB=18.8米>12米， 在R1△CA0中，∠CA0=45°， ∴，直接从点A处欧伐，树干倒向教学楼方向会对教学 ∴.C0=A0=45×0.1+x=4.5+x 楼有影响，故③正确： 第一次在距点A的8米处的树干上欧伐， 在B△DB0中，∠DB0=58°，an∠DB0=D0 BO ∴点B到欧伐点的距离为18.8-8=10.8米<12米， ∴.D0=B0·tan∠DB0=xtan58. 157