2.5.2 三角函数在实际问题中的应用(2)-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

　　第２课时　三角函数在实际问题中的应用（２） 【边学边练】 知识点　坡度、坡角 １．某人沿斜坡坡度ｉ＝１∶２的斜坡向上前进了６ｍ，则他上升的高度为 （　　） Ａ．３ｍ　 Ｂ．槡 ６５ ５ 槡 ｍ　 Ｃ．２３ｍ　 Ｄ． 槡 １２５ ５ ｍ ２．某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的３７°减至 ３０°，已知原电梯坡面ＡＢ的长为８米，更换后的电梯坡面为ＡＤ，点Ｂ延伸至点Ｄ，求 ＢＤ的长（结果精确到 ０．１米．参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５， 槡３≈１．７３）． 【随堂小测】 １．如图，将一个如Ｒｔ△ＡＢＣ形状的楔子从木桩的底端点 Ｐ处沿水平方向打入木桩底 下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为 ２０°，若楔子沿水平方向前移 ８ｃｍ （如箭头所示），则木桩上升了 （　　） Ａ．８ｔａｎ２０°ｃｍ Ｂ． ８ ｔａｎ２０° ｃｍ Ｃ．８ｓｉｎ２０°ｃｍ Ｄ．８ｃｏｓ２０°ｃｍ 　 第１题图 　　　　 第２题图 ２．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为４ｍ．如果在坡比 为ｉ＝１∶ ４ ３ 的山坡上种树，也要求株距为４ｍ，那么山坡上相邻两树间的坡面距离为 （　　） Ａ．５ｍ　 Ｂ．６ｍ　 Ｃ．７ｍ　 Ｄ．８ｍ １３ ３．如图，小欢同学为了测量建筑物ＡＢ的高度，从建筑物底端点Ｂ出发，经过一段坡度ｉ ＝１∶２．４的斜坡，到达点Ｃ，测得坡面ＢＣ的长度为１５．６ｍ，再沿水平方向行走３０ｍ 到达点Ｄ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一平面内）．在点Ｄ处测得建筑物顶端 Ａ的仰角为３７°，则 建筑物ＡＢ的高度约为（参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５） （　　） Ａ．２７．３ｍ Ｂ．２８．４ｍ Ｃ．３３．３ｍ Ｄ．３８．４ｍ 　 第３题图 　　　　　　　 第４题图 ４．如图，小明在距离地面３０米的Ｐ处测得Ａ处的俯角为１５°，Ｂ处的俯角为６０°．若斜 面坡度为 槡１∶３，则斜坡ＡＢ的长是　　　　米． ５．（核心素养·模型观念）为了践行“绿水青山就是金山银山”的重要 思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡 比）ｉ＝１∶２．４的山坡ＡＢ上发现有一棵古树 ＣＤ．测得古树底端 Ｃ到 山脚点Ａ的距离ＡＣ＝２６ｍ，在距山脚点Ａ水平距离６ｍ的点Ｅ处， 测得古树顶端Ｄ的仰角∠ＡＥＤ＝４８°（古树 ＣＤ与山坡 ＡＢ的剖面、点 Ｅ在同一平面 上，古树ＣＤ与直线ＡＥ垂直），则古树ＣＤ的高度约为　　　　．（结果精确到０．１ｍ， 参考数据：ｓｉｎ４８°≈０．７４，ｃｏｓ４８°≈０．６７，ｔａｎ４８°≈１．１１） ６．如图是某水库大坝的横截面，坝高ＣＤ＝２０ｍ，背水坡 ＢＣ的坡度为 ｉ１＝１∶１．为了对 水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改 为ｉ２＝ 槡１∶３，求背水坡新起点Ａ与原起点Ｂ之间的距离（参考数据：槡２≈１．４１，槡３≈ １．７３．结果精确到０．１ｍ）． ２３ 由题意,得 BAC=25$+25*=50*.BCA=70$-$ 5$ AB③ .ta/ACB= =45. BC.. ACB30。 在Rt△ABD中,AB=100海里. .AE//BC.' CAE= ACB=30 $.AD=AB·cos50-100x0.643=64.3(海里).BD=AB· 乙EAD=45*. CAD= CAE+ sin50*-100x0.766=76.6(海里) 2DAE=75%. BD 在Rt△BDC中.CD= -n450=76.6(海里), (2):在Rt△AED中.AE=BC=30、/③ m. DAE=45^*.'.DE=AE=30/3m. '.AC=AD+CD=64.3+76.6~141(海里). ·在Rt△ACE中,乙CAE=30* 'CE=tan30* ·AE= 心.此时货轮与A港口的距离约为141海里 30 m..CD=CE+DE=(30+30/3)m.即楼CD的高度 为(30+30/3)m. 第2课时 三角函数在实际问题中的应用(2 【边学边练】 1.B 2.解:在Rt△ABC中,AB=8米, ABC=37^*$$ 则AC=AB·sin乙ABC~8x0.60=4.80(米). 【随堂小测】 BC=AB·cos ABC-8X0.80=6.40(米). 在Rt△ADC中.乙ADC=30*. DB' 4.84.8 则CD=AC 2~8.32(米). AB AB 5 .BD- tan58 ~16-48. . BD=CD-BC=8.32-6.40-1.9(米). CB' 答:BD的长约为1.9米. 112~37m.故选C. 【随堂小测】 . tan22。AB -~0.4.解得AB= 3 1.A 2.A 【解析】:水平距离为4m. 2.C 【解析】由题意,得0A1MN. N=43*./M=35^$. 4 坡比i=1: $A=135mAB=40 m..0B=0A-AB=95 m. 3’ .0W-04135 0B 95 =150m.0M= tanM 0.7 tanV 0.9 -136m. . MN=0M+0N=286m.故选C 根据勾股定理,得坡面相邻两株树间的坡面距离为 3.120v3【解析】如图,作AC垂直于海平面BC于点C. /③+4}=5(m).故选A 由题意知 BAC=60{*,AC=120m. 3.A 【解析】如图,设AB的延 $.BC=/3AC=120/3(m). 长线与DC的延长线交于 30 点E. ·BC=15.6m.斜坡BC的坡 5 度i=1:2.4= 12 4.7 【解析】由题意,得乙CAP=30*,乙CBP=45^*$BC=$ 12 5 .cos BCF= 13,sinBCE 10海里. 13 '.在Rt△BCP中,CP=BC=10海里 12 =14.4(m). 在Rt△APC中,CAP=30*. $AC=/3CP=3x10-17.3(海里) '.AB=AC-BC=17.3-10-7(海里). 5.解:(1)如图,过点A作AE1CD于点E. :. ED=EC+CD=14.4+30=44.4(m) ·在Rt△ABC中.BC=30/3m.AB=30m. 又.* D=37*. 155 '.AF=ED·tan37*-44.4×0.75=33.3(m). ..AB=AE+EB=(atano+b)m *.AB=AF-BE-33.3-6=27.3(m)$故选 A 【随堂小测】 4.20./3【解析】如图,过点A作 15 1.B 60 AF1BC于点F..斜面坡度 2.B 【解析】如图,在Rt△POM 中。0=90{ M=30. 为1:/3. 30M $M=650 000=300 000(cm)= FC 3000m . tan2ABr-4f1_3 BF33 3000(m). ..乙ABF=30° tanM= OM' ·在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15*},B 处的俯角为60*. #35~1732(m). $. HP$B=30{$$$ APB=45^$$,$ HBP=6 0$$$ .1732+250=1982(m).故选B '. PBA=90. BAP=45^* PB=AB$$$ 3.D 【解析】如图,过点D作AB的垂A] PH 303 :PH=30m,sin60= 线交AB于点E.在Rt △ADE中,E PBPB2' ADE=a,DE=a...AE=atana.在 解得PB=20/3m.故AB=20/3m. Rt△ABC中.乙ACB=B.'·BC=a. 5.23.3m【解析】如图,延长DC交 B .AB=atanB.:.CD=AB-AE=atanB-atana=a(tanB- 直线EA于点F. tana).故选D. 5 4.39.4【解析】如图所示,水平视 12' 线CE交AB于点E. '.设CF=5km.AF=12km 由题意,得CE1AB于点E,BE .AC=C$^$}+AF^$}=13k=26(m).,即k=$ $ =DC. '.AF=24m.CF=10m :乙ECB=18*48'. .AE=6m.:EF=6+24=30(m) .乙EBC=7112'. DF DF .乙DEF=48o,.. tan48*= ~1.11. tan7112'= EC EC EF 30 BE10 -2.94.解得EC=29.4. 解得$DF=33.3m CD=33.3-10=23.3(m :乙ACE=45*.'AE=EC 6.解:在Rt△BCD中. .此塑像的高AB约为AE+EB=39.4(m). CD =1. 5.解:如图,延长AB交CD于点H.则AH1CD . CD=BD=20来. 在Rt△AHD中. D=45*.:AH=DH$ 在Bt△ACD中. 在Rt△AnC中 tan. ACn-A CH' ·AC的坡度为i.=1:③. :.AH=CH·tanLACH~0.51CH. CD1 BH 在Rt△BHC中,tan/BCH= CH '.AB=AD-BD=20/3-220-14.6(米)$ . BH=CH·tan乙BCH~O.4CH 1. 背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米 由题意,得0.51CH-0.4CH=33 6 利用三角函数测高 解得CH=300m. 【边学边练】 . EH=CH-CE=220(m).BH=120 m. 解:(1)测角仪 $.AH=AB+BH=33+120=153(m). (2)皮尺 :. DH=AH=153 m. (3)由题意,得四边形BCDE是矩形 $. HF=DH-DF=153-50=103(m). '. DE=BC=a m.BE=CD=bm. '. EF=EH+HF=220+103=323(m). 在 Rt△ADE 中,AE=ED·tana=a·tana m. :.隧道EF的长度为323m. 156