2.5.1 三角函数在实际问题中的应用(1)-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

５　三角函数的应用 第１课时　三角函数在实际问题中的应用（１） 【边学边练】 知识点一　仰角、俯角 １．（核心素养·应用意识）我们知道，当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最 佳．如图是小明站在距离墙壁１．６０ｍ处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与 装饰画底部点Ａ处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置点Ｅ处，且与ＡＤ 垂直．已知装饰画的高度ＡＤ为０．６６ｍ．（ｓｉｎ１２°≈０．２１，ｃｏｓ１２°≈０．９８，ｔａｎ１２°≈０．２１） 求：（１）装饰画与墙壁的夹角∠ＣＡＤ的度数（精确到１°）； （２）装饰画顶部到墙壁的距离ＤＣ（精确到０．０１ｍ）． 知识点二　方向角 ２．如图，Ｂ港口在Ａ港口的南偏西２５°方向上，距离 Ａ港口１００海里处．一艘货轮航行 到Ｃ处，发现Ａ港口在货轮的北偏西２５°方向，Ｂ港口在货轮的北偏西７０°方向．求此 时货轮与Ａ港口的距离（结果取整数）．（参考数据：ｓｉｎ５０°≈０．７６６，ｃｏｓ５０°≈０．６４３， ｔａｎ５０°≈１．１９２，槡２≈１．４１４） ９２ 【随堂小测】 １．数学活动小组到某广场测量标志性建筑ＡＢ的高度．如图，他们在地面上点Ｃ测得最 高点Ａ的仰角为２２°，再向前７０ｍ至点Ｄ，又测得最高点Ａ的仰角为５８°，点Ｃ，Ｄ，Ｂ 在同一直线上，则该建筑物 ＡＢ的高度约为（精确到 １ｍ．参考数据：ｓｉｎ２２°≈０．３７， ｔａｎ２２°≈０．４０，ｓｉｎ５８°≈０．８５，ｔａｎ５８°≈１．６０） （　　） Ａ．２８ｍ Ｂ．３４ｍ Ｃ．３７ｍ Ｄ．４６ｍ 第１题图 　 第２题图 　 第３题图 　 第４题图 ２．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用 无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为１３５ｍ的Ａ处测得试验田右 侧边界Ｎ处俯角为４３°，无人机垂直下降４０ｍ至Ｂ处，又测得试验田左侧边界Ｍ处 俯角为３５°，则Ｍ，Ｎ之间的距离为（参考数据：ｓｉｎ４３°≈０．７，ｔａｎ４３°≈０．９，ｃｏｓ３５°≈ ０．８，ｔａｎ３５°≈０．７，结果保留整数） （　　） Ａ．１８８ｍ Ｂ．２６９ｍ Ｃ．２８６ｍ Ｄ．３１２ｍ ３．如图，在高出海平面１２０ｍ的悬崖顶Ａ处，观测海面上的一艘小船Ｂ，并测得它的俯 角为３０°，那么船与观测者之间的水平距离为　　　　ｍ．（结果用根号表示） ４．有一轮船在Ａ处测得南偏东３０°方向上有一小岛Ｐ，轮船沿正南方向航行至Ｂ处，测 得小岛Ｐ在南偏东４５°方向上，按原方向再航行１０海里至Ｃ处，测得小岛Ｐ在正东 方向上，则Ａ，Ｂ之间的距离是　　　　海里．（结果取整数，槡３≈１．７３） ５．如图，ＡＢ，ＣＤ两楼之间的地面距离ＢＣ为 槡３０３ｍ，楼ＡＢ高３０ｍ，从楼ＡＢ的顶部点 Ａ测得楼ＣＤ顶部点Ｄ的仰角为４５°． （１）求∠ＣＡＤ的大小； （２）求楼ＣＤ的高度（结果保留根号）． ０３ BC 3 A##4 A-AB 200 -400(m). '$.AC=8$AB=AC$+BC$=6+8$= $ BC 3 在Bt△CDE中.4E=30*.CD=100m. .. sinA= AB=5 CZ .DE=- =100/3(m). tan30: 6.解:(1):BD1AC CD 100 CE= . ADB= BBDC=90 _=200(m). 在Rt△ADB中.AB=6. A=30*$$$$ 2 $AD=AE-DE=400-100/3-227(m) B$=BE-CE=200/3-200-146(m). ($):CD=AC-AD=53-33=2/3 -_ 10.解:如图.作CVI BD于点V .在Rt△BDC中,tanC= CD2/2 A=90*, ABD=60$ ..乙ADB=30°. AB' :.BD=2AB=400(m). AD=3/AB=200/3(m) 5 :BD=AB-AD$=15-12$=$$$ ·CD=AC-AD=3. =20000/3(m}). . BC=BD+CD$=9+3=310$$$ CMB=90*$ CBD=54$ '. CM=BC·sin54*-300x0.809=242.7(m) 8.解:如图,过点C作CD1AB于点D,在点A正北方向 上取点M,在点B正北方向上取点A 北 .这片水田的面积为20000/3+48540-83180(m). →东 M. 5 三角函数的应用 第1课时 三角函数在实际问题中的应用(1) 【边学边练】 由题意,得 MAB= NBA=90*. MAC=6 0*$$ 1.解:(1):AD=0.66m. NBC=45^$*.$ CDA= CDB=90*$AC=6 0 $②海里 在 R△ACD中. CAD= MAB- MAC=90*-60*=30$ 在Rt△ABE中. .CD= AC=30/2(海里). sin ABr-40.33 AB1.6 ~0.21. 在 Rt△BCD中. CDB=9O*. CBD= NBD- NBC .乙ABE~12“. =$ -45*}=45°...BC=$2CD=60(海里). .CAD+ DAB=90*. .60-50=12(小时) ABE+ DAB=90*. :.从B处到达C处需要1.2小时. .乙CAD=乙ABE=12°. 9.解:如图,延长AD.交BC的延长 2.装饰画与墙壁的夹角乙CAD的度数约为12 线于点E. CD (2)在Rt△ACD中.:sin/CAD= AD 在Rt△ABE中, A=60*,AB= 200n. . CD=AD·sin CAD=0.66xsin12*-0.14(m). .装饰画顶部到墙壁的距离DC约是0.14m. . E=30*,BE=AB·tanA=200/3(m). 2.解:如图,过点B作BD1AC,垂足为D 154 由题意,得 BAC=25$+25*=50*.BCA=70$-$ 5$ AB③ .ta/ACB= =45. BC.. ACB30。 在Rt△ABD中,AB=100海里. .AE//BC.' CAE= ACB=30 $.AD=AB·cos50-100x0.643=64.3(海里).BD=AB· 乙EAD=45*. CAD= CAE+ sin50*-100x0.766=76.6(海里) 2DAE=75%. BD 在Rt△BDC中.CD= -n450=76.6(海里), (2):在Rt△AED中.AE=BC=30、/③ m. DAE=45^*.'.DE=AE=30/3m. '.AC=AD+CD=64.3+76.6~141(海里). ·在Rt△ACE中,乙CAE=30* 'CE=tan30* ·AE= 心.此时货轮与A港口的距离约为141海里 30 m..CD=CE+DE=(30+30/3)m.即楼CD的高度 为(30+30/3)m. 第2课时 三角函数在实际问题中的应用(2 【边学边练】 1.B 2.解:在Rt△ABC中,AB=8米, ABC=37^*$$ 则AC=AB·sin乙ABC~8x0.60=4.80(米). 【随堂小测】 BC=AB·cos ABC-8X0.80=6.40(米). 在Rt△ADC中.乙ADC=30*. DB' 4.84.8 则CD=AC 2~8.32(米). AB AB 5 .BD- tan58 ~16-48. . BD=CD-BC=8.32-6.40-1.9(米). CB' 答:BD的长约为1.9米. 112~37m.故选C. 【随堂小测】 . tan22。AB -~0.4.解得AB= 3 1.A 2.A 【解析】:水平距离为4m. 2.C 【解析】由题意,得0A1MN. N=43*./M=35^$. 4 坡比i=1: $A=135mAB=40 m..0B=0A-AB=95 m. 3’ .0W-04135 0B 95 =150m.0M= tanM 0.7 tanV 0.9 -136m. . MN=0M+0N=286m.故选C 根据勾股定理,得坡面相邻两株树间的坡面距离为 3.120v3【解析】如图,作AC垂直于海平面BC于点C. /③+4}=5(m).故选A 由题意知 BAC=60{*,AC=120m. 3.A 【解析】如图,设AB的延 $.BC=/3AC=120/3(m). 长线与DC的延长线交于 30 点E. ·BC=15.6m.斜坡BC的坡 5 度i=1:2.4= 12 4.7 【解析】由题意,得乙CAP=30*,乙CBP=45^*$BC=$ 12 5 .cos BCF= 13,sinBCE 10海里. 13 '.在Rt△BCP中,CP=BC=10海里 12 =14.4(m). 在Rt△APC中,CAP=30*. $AC=/3CP=3x10-17.3(海里) '.AB=AC-BC=17.3-10-7(海里). 5.解:(1)如图,过点A作AE1CD于点E. :. ED=EC+CD=14.4+30=44.4(m) ·在Rt△ABC中.BC=30/3m.AB=30m. 又.* D=37*. 155