小专题3 解直角三角形-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

小专题 ３　解直角三角形 一、已知两直角边解直角三角形 １．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ＝槡４６，ｂ＝ 槡１２２．求ｃ，∠Ａ． ２．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｄ是ＢＣ边上一点，ＡＣ＝２，ＣＤ＝１，设∠ＣＡＤ＝α． （１）试写出α的三个三角函数值； （２）若ＢＤ＝３，求证：∠Ｂ＝α． 二、已知一直角边和斜边解直角三角形 ３．（教材改编题）已知在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝４，ＡＣ＝槡７． （１）求ＢＣ； （２）求ｓｉｎ∠Ａ． 三、已知一锐角和一直角边解直角三角形 ４．（核心素养·运算能力）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＤ是△ＡＢＣ的角 平分线，若ＡＣ＝槡３，求线段ＡＤ的长． ５．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｔａｎＡ＝ ３ ４ ，ＢＣ＝６，求 ＡＣ的长和 ｓｉｎＡ的值． ７２ 四、已知一锐角和斜边解直角三角形 ６．（核心素养·运算能力）如图，在△ＡＢＣ中，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＢ＝６，ＡＣ＝槡５３，∠Ａ＝３０°． （１）求ＢＤ和ＡＤ的长； （２）求ｔａｎＣ的值． ７．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ，若ＡＣ＝１５，ｃｏｓＡ＝ ４ ５ ．求ＢＣ的长． 五、解简单的斜三角形 ８．如图，Ｃ处是一钻井平台，位于东营港口Ａ的北偏东６０°方向上，与港口Ａ相距 槡６０２ 海里，一艘摩托艇从Ａ出发，自西向东航行至Ｂ时，改变航向以每小时５０海里的速度 沿ＢＣ方向行进，此时Ｃ位于Ｂ的北偏西４５°方向，则从Ｂ处到达Ｃ处需要多少小时？ 六、解特殊的四边形 ９．（核心素养·模型观念）某片绿地的形状如图所示，其中∠Ａ＝６０°，ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＤ⊥ ＣＤ，ＡＢ＝２００ｍ，ＣＤ＝１００ｍ．求ＡＤ，ＢＣ的长．（结果精确到１ｍ，槡３≈１．７３２） １０．如图，四边形ＡＢＣＤ是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠Ａ＝９０°， ∠ＡＢＤ＝６０°，∠ＣＢＤ＝５４°，ＡＢ＝２００ｍ，ＢＣ＝３００ｍ．请你计算出这片水田的面积．（参 考数据：ｓｉｎ５４°≈０．８０９，ｃｏｓ５４°≈０．５８８，ｔａｎ５４°≈１．３７６，槡３≈１．７３２） ８２ ∴ＢＥ＝ １ ２ ｍ．故ｔａｎ∠ＤＢＣ＝ ＤＥ ＢＥ ＝ 槡３３ｍ ２ ｍ ２ ＝槡３３． 综上，ｔａｎ∠ＤＢＣ＝ ＣＤ ＢＤ ＝槡３ ３ 或 槡３３． ６．解：（１）∵∠Ｂ＝６０°，∴ｓｉｎＢ＝ｓｉｎ６０°＝槡 ３ ２ ． ∵ｓｉｎＡ·ｓｉｎＢ＝槡 ６ ４ ， ∴ｓｉｎＡ·槡 ３ ２ ＝槡６ ４ ．∴ｓｉｎＡ＝槡 ２ ２ ． ∴∠Ａ＝４５°． （２）如图，作ＡＢ边上的高ＣＤ． ∵∠Ａ＝４５°，ＡＣ＝槡６２， ∴ＡＤ＝ＣＤ＝槡６２·ｓｉｎ４５°＝槡６２× 槡２ ２ ＝６． ∵ ＣＤ ＤＢ ＝ｔａｎＢ，即 ６ ＤＢ ＝槡３．∴ＤＢ＝槡２３． ∴ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢ＝６＋槡２３． ７．解：如图，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＣ，交ＣＡ的延长线于点Ｅ． ∵∠ＢＡＣ＝１３５°， ∴∠ＢＡＥ＝１８０°－∠ＢＡＣ＝１８０°－１３５°＝４５°． ∴∠ＡＢＥ＝９０°－∠ＢＡＥ＝９０°－４５°＝４５°． 在Ｒｔ△ＢＡＥ中， ∵ＡＢ＝２０，∴ＢＥ＝ 槡１０２． ∵ＡＣ＝３０， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＣ·ＢＥ＝ １ ２ ×３０× 槡１０２＝ 槡１５０２． ８．解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为２．１ｍ的 圆形门．理由如下： 如图，过点Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ． ∵ＡＢ＞ＢＤ，ＢＣ＞ＢＤ，ＡＣ＞ＡＢ， ∴求出ＤＢ的长和２．１ｍ比较即可． 设ＢＤ＝ｘｍ．∵∠Ａ＝３０°，∠Ｃ＝４５°， ∴ＤＣ＝ＢＤ＝ｘｍ，则ＡＤ＝槡３ＢＤ＝槡３ｘｍ． ∵ＡＣ＝２（槡３＋１）ｍ，∴ｘ＋槡３ｘ＝２（槡３＋１）． 解得ｘ＝２，∵ＢＤ＝２ｍ＜２．１ｍ， ∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为２．１ｍ的圆 形门． 小专题３　解直角三角形 １．解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｂ＝ 槡１２２，ａ＝槡４６， 由勾股定理，得ｃ＝槡８６． ∵ｔａｎＡ＝ ａ ｂ ＝槡３ ３ ， ∴∠Ａ＝３０°． ２．（１）解：在Ｒｔ△ＡＣＤ中，∵ＡＣ＝２，ＤＣ＝１， ∴ＡＤ＝ ＡＣ２＋ＤＣ槡 ２＝槡５． ∴ｓｉｎα＝ ＤＣ ＡＤ ＝槡５ ５ ，ｃｏｓα＝ ＡＣ ＡＤ ＝槡２５ ５ ， ｔａｎα＝ ＣＤ ＡＣ ＝１ ２ ． （２）证明：∵ＣＤ＝１，ＢＤ＝３，∴ＢＣ＝４． ∴在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｔａｎＢ＝ ＡＣ ＢＣ ＝１ ２ ， 又∵ｔａｎα＝ ＣＤ ＡＣ ＝１ ２ ，∴ｔａｎＢ＝ｔａｎα． ∵∠Ｂ与α都是锐角，∴∠Ｂ＝α． ３．解：（１）∵∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝４，ＡＣ＝槡７， ∴ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２＝ ４２－（槡７）槡 ２＝３． （２）由（１），知ＢＣ＝３．∵∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝４， ∴ｓｉｎＡ＝ ＢＣ ＡＢ ＝３ ４ ． ４．解：∵在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°， ∴∠ＢＡＣ＝６０°． ∵ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线， ∴∠ＣＡＤ＝３０°． ∴在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＤ＝ ＡＣ ｃｏｓ３０° ＝槡３× ２ 槡３ ＝２． ５．解：∵△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｔａｎＡ＝ ３ ４ ，ＢＣ＝６，                                                               ３５１ ∴ ＢＣ ＡＣ ＝３ ４ ． ∴ＡＣ＝８．∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ ６２＋８槡 ２＝１０． ∴ｓｉｎＡ＝ ＢＣ ＡＢ ＝３ ５ ． ６．解：（１）∵ＢＤ⊥ＡＣ， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＣ＝９０°． ∵在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ＡＢ＝６，∠Ａ＝３０°， ∴ＢＤ＝ １ ２ ＡＢ＝３．∴ＡＤ＝槡３ＢＤ＝槡３３． （２）∵ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝槡５３－槡３３＝槡２３， ∴在Ｒｔ△ＢＤＣ中，ｔａｎＣ＝ ＢＤ ＣＤ ＝３ 槡２３ ＝槡３ ２ ． ７．解：∵在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１５，ｃｏｓＡ＝ ＡＤ ＡＢ ， ∴ＡＤ＝ＡＢ·ｃｏｓＡ＝１５× ４ ５ ＝１２． ∴ＢＤ＝ ＡＢ２－ＡＤ槡 ２＝ １５２－１２槡 ２＝９． ∵ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝３， ∴ＢＣ＝ ＢＤ２＋ＣＤ槡 ２＝ ９２＋３槡 ２＝ 槡３ １０． ８．解：如图，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ，在点 Ａ正北方向 上取点Ｍ，在点Ｂ正北方向上取点Ｎ． 由题意，得∠ＭＡＢ＝∠ＮＢＡ＝９０°，∠ＭＡＣ＝６０°， ∠ＮＢＣ＝４５°，∠ＣＤＡ＝∠ＣＤＢ＝９０°，ＡＣ＝ 槡６０２海里．在 Ｒｔ△ＡＣＤ中，∠ＣＡＤ＝∠ＭＡＢ－∠ＭＡＣ＝９０°－６０°＝３０°， ∴ＣＤ＝ １ ２ ＡＣ＝ 槡３０２（海里）． 在Ｒｔ△ＢＣＤ中，∠ＣＤＢ＝９０°，∠ＣＢＤ＝∠ＮＢＤ－∠ＮＢＣ ＝９０°－４５°＝４５°，∴ＢＣ＝槡２ＣＤ＝６０（海里）． ∵６０÷５０＝１．２（小时）． ∴从Ｂ处到达Ｃ处需要１．２小时． ９．解：如图，延长ＡＤ，交ＢＣ的延长 线于点Ｅ． 在Ｒｔ△ＡＢＥ中，∠Ａ＝６０°，ＡＢ＝ ２００ｍ， ∴∠Ｅ＝３０°，ＢＥ＝ＡＢ·ｔａｎＡ＝ 槡２００３（ｍ）， ＡＥ＝ ＡＢ ｃｏｓ６０° ＝２００ １ ２ ＝４００（ｍ）． 在Ｒｔ△ＣＤＥ中，∠Ｅ＝３０°，ＣＤ＝１００ｍ， ∴ＤＥ＝ ＣＤ ｔａｎ３０° ＝ 槡１００３（ｍ）， ＣＥ＝ ＣＤ ｓｉｎ３０° ＝１００ １ ２ ＝２００（ｍ）． ∴ＡＤ＝ＡＥ－ＤＥ＝４００－ 槡１００３≈２２７（ｍ）， ＢＣ＝ＢＥ－ＣＥ＝ 槡２００３－２００≈１４６（ｍ）． １０．解：如图，作ＣＭ⊥ＢＤ于点Ｍ． ∵∠Ａ＝９０°，∠ＡＢＤ＝６０°， ∴∠ＡＤＢ＝３０°． ∴ＢＤ＝２ＡＢ＝４００（ｍ）， ＡＤ＝槡３ＡＢ＝ 槡２００３（ｍ）． ∴△ＡＢＤ的面积为 １ ２ ×２００× 槡２００３ ＝ 槡２００００３（ｍ ２）． ∵∠ＣＭＢ＝９０°，∠ＣＢＤ＝５４°， ∴ＣＭ＝ＢＣ·ｓｉｎ５４°≈３００×０．８０９＝２４２．７（ｍ）． ∴△ＢＣＤ的面积为 １ ２ ×４００×２４２．７＝４８５４０（ｍ２）． ∴这片水田的面积为 槡２００００３＋４８５４０≈８３１８０（ｍ ２）． ５　三角函数的应用 第１课时　三角函数在实际问题中的应用（１） 【边学边练】 １．解：（１）∵ＡＤ＝０．６６ｍ， ∴ＡＥ＝ １ ２ ＡＤ＝０．３３ｍ． 在Ｒｔ△ＡＢＥ中， ｓｉｎ∠ＡＢＥ＝ ＡＥ ＡＢ ＝０．３３ １．６≈ ０．２１， ∴∠ＡＢＥ≈１２°． ∵∠ＣＡＤ＋∠ＤＡＢ＝９０°， ∠ＡＢＥ＋∠ＤＡＢ＝９０°， ∴∠ＣＡＤ＝∠ＡＢＥ＝１２°． ∴装饰画与墙壁的夹角∠ＣＡＤ的度数约为１２°． （２）在Ｒｔ△ＡＣＤ中，∵ｓｉｎ∠ＣＡＤ＝ ＣＤ ＡＤ ， ∴ＣＤ＝ＡＤ·ｓｉｎ∠ＣＡＤ＝０．６６×ｓｉｎ１２°≈０．１４（ｍ）． ∴装饰画顶部到墙壁的距离ＤＣ约是０．１４ｍ． ２．解：如图，过点Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为Ｄ．                                                               ４５１