2.2 30°、45°、60°角的三角函数值-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

２　３０°，４５°，６０°角的三角函数值 【边学边练】 知识点一　特殊角的三角函数值 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．计算ｃｏｓ２４５°＋ｔａｎ６０°·ｃｏｓ３０°等于 （　　） 槡 槡Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．３ ２．反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象经过点（ｔａｎ４５°，ｓｉｎ３０°），则ｋ的值是　　　　． 知识点二　根据特殊角的三角函数值求相应锐角的大小 ３．已知α为锐角，ｓｉｎ（α－２０°）＝槡 ３ ２ ，则α＝ （　　） Ａ．２０°　 Ｂ．４０°　 Ｃ．６０°　 Ｄ．８０° ４．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝槡２，ＢＣ＝１，则∠Ａ的度数为 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．７５° 【随堂小测】 １．点（ｓｉｎ６０°，ｃｏｓ３０°）关于ｙ轴对称的点的坐标是 （　　） Ａ．－１ ２ ，槡 ３ ２         Ｂ．１ ２ ，－槡 ３ ２         Ｃ．－槡３ ２ ，槡 ３ ２         Ｄ．槡３ ２ ，－槡 ３ ２         ２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＣＤ是中线，则ｔａｎ∠ＣＤＢ等于 （　　） 槡 槡 槡Ａ．３ Ｂ．２３ Ｃ．３３ Ｄ． 槡３ ３ ３．（原创题）若（槡３ｔａｎＡ－３） ２＋｜２·ｃｏｓＢ－槡３｜＝０，则△ＡＢＣ的形状是 （　　） Ａ．含有６０°角的直角三角形 Ｂ．等边三角形 Ｃ．含有６０°角的任意三角形 Ｄ．等腰直角三角形 ４．２ｓｉｎ６０°－ １－２ｔａｎ６０°＋ｔａｎ２槡 ６０°等于 （　　） 槡Ａ．２３－１ Ｂ．１ Ｃ． 槡２３ ３ －１ Ｄ．－１ ５．（易混题）若α为锐角，ｓｉｎα＝槡 ３ ２ ，则ｓｉｎα ２ ＝　　　　． ７１ ６．如图，△ＡＢＣ的三个顶点分别在边长为 １的正方形网格的格点上，则 ｔａｎ（α＋β） 　　　　ｔａｎα＋ｔａｎβ．（填“＞”“＜”或“＝”） ７．（核心素养·抽象能力）若 α是锐角三角形的一个内角，且满足｜ｃｏｓα－槡 ３ ２ ｜＝ｃｏｓα－ 槡３ ２ ，则α的取值范围是　　　　． ８．（阅读理解）一般地，当α，β为任意角时，ｓｉｎ（α＋β）与ｓｉｎ（α－β）的值可以用下面的公 式求得ｓｉｎ（α＋β）＝ｓｉｎα·ｃｏｓβ＋ｃｏｓα·ｓｉｎβ；ｓｉｎ（α－β）＝ｓｉｎα·ｃｏｓβ－ｃｏｓα·ｓｉｎβ． 例如： ｓｉｎ９０°＝ｓｉｎ（６０°＋３０°）＝ｓｉｎ６０°·ｃｏｓ３０°＋ｃｏｓ６０°·ｓｉｎ３０° ＝槡３ ２ ×槡３ ２ ＋１ ２ ×１ ２ ＝１． 类似地，可以求得ｓｉｎ１５°的值是　　　　　　　　　　． ９．（核心素养·运算能力）计算： （１）槡 ２ ２ ｓｉｎ４５°＋槡１２ｓｉｎ６０°－２ｔａｎ４５°； （２）ｔａｎ４５°·ｓｉｎ４５°－４ｓｉｎ３０°·ｃｏｓ４５°＋槡６ｓｉｎ６０°； （３）槡｜３－１｜＋（２００７－π） ０－（ １ ４ ） －１－３ｔａｎ３０°＋３槡８． ８１ 、 5【解析GC=4,CE=3,∠C=90, ∴GE=√GC+CE=√V4+3=5. 根据折叠的性质可得BG=GF,GF=GC=4,CE=EF= Q 3,∠AGB=∠AGF,∠EGC=∠EGF,∠GFF=∠C= ∠C=90°，AB=√2，BC=1, 90°，∴.BG=GF=GC=4.BC=AD=8.:∠AGB+∠AGF .sin A= BC 12 +∠EGC+∠EGF=180°，∴∠AGE=90 B22心∠A=45.故选B. R△EGF∽Rt△EAG. EG EF5 3 EEc即 【随堂小测】 A-=-0=√停-8- 1C【解析：in60= 2,60s30= 2 7 DE 3 7 22 .sin∠DAE= AE2525 故选C. 2.A【解析】如图，，CD是斜边AB上的 9.解：设Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为， 中线，AC⊥BC,∠A=30°，.DB=DA,BC b,c. (1)sinA=cosB.理由如下： =0,∠B=60BC=DB y在Rt△ABC中，inA=:osB=2 “,△BDC是等边三角形. ∴.∠CDB=60°. ∴.sinM=cosB. ∴tan∠CDB=tan60°=√3，故选A (2)tanA=sin4 理由如下： 3.A【解析】(3tanA-3)+12eosB-√31=0， C084 3anA-3=0,2cosB-√3=0，解得anA=V3,cosB 在Ri△ABC中，inA=a b b cosA b ÷∠A=60°，∠B=30. (3)sin2A+cosA=1.理由如下： ·∠C=90°.∴△ABC是含有60°角的直角三角形. 在R△ABC中，in=，m4=，6=. 故选A 4.B【解析】2sin60°-√1-2an60°+tan60°=2sin60°- sin'Ateos -=1. 1-am60y=2x3-1-31=3-(3-1)-1.故 230°，45°，60°角的三角函数值 选B 【边学边练】 【解析】由已知得a=60,所以号=30，im号 1.C【解析】cos245°+tan60°·cos30° 2 *3x 2 =2.故选C 2 2【解折由题意知经点的坐标为，) 6.>【解析】由正方形网格图可知，tana= 3 .k=2 tanB= 2,则tana+tanB= 115 236 3D【解析1a为锐角，im(a-20°)= 由图可知AC=BC,∠ACB=90°. 2 ∴，a+B=45°. .x-20°=60°..a=80°.故选D. .'tan(a+B)=1. 4B【解析】如图. 5 1>6.tan(a+B)stana+tanB. 149 7.0°<a≤30°【解析】绝对值具有非负性，.1cosa-2.D3.A ≥0 4.62.5°【解析】如图，作CD⊥AB于点D,则有BD= 2 2 ·AB=10(mm) .I cosa-2 1=cosa- 2· 在R△BCD中，am∠ABC=192=L92 10 .'cosa- 2≥0 .∠ABC=62.5°. eosa 2,600≥cw30 锐角a越大，余孩值却越减小∴.α≤30° 又a是锐角，.>0..0°<a≤30°. &6@ 5.75.3°6.3849'7.27.8 4 【解析】sinl5°=sin(45°-30)=sin45°· 8解：如图，作CE⊥BD于点E,AF⊥CE与点F, cos30-eos450·im30°=2x5.V2x1.6.2 2 22 244 -6-2 4 解：0①原式=5x2+25x52x B H ED 22 2 则∠CAF=118°-90°=28°.∴.CF=AC·sin28°≈9×0.47 1 =2+3-2 =4.23(m),EF=AH=3.4m. CE=CF+EF=3.4+4.23=7.63≈7.6(m) 3 答：操作平台C离地面的高度约为7.6m. 4 解直角三角形 (2)原式=1x 4x *v6x 12, 第1课时 已知两边解直角三角形 【边学边练】 2 L.解：在△ABC中，由tanB= b35=5 =2. a3-1 得∠B=60°.∴.∠A=90°-∠B=30°. (3)原式=3-1+1-4-3x 3 +2=√/5-2-√3=-2. 由in4=a,得c=a=尽-1 3用计算器求锐角的三角函数值 sin sin30=2/3-2 【边学边练】 2.解：在Rt△ABC中，由sinB= b5-2 1.B 6522 2.解：(1)sin47°=0.7314： 得∠B=45 (2)sinl230'≈0.2164： c0sB=cs45°=a=u=V2 (3)c0s2518'=0.9041: c522' (4)tan4459'59°=1.0000： (5)sinl8°+cos55°-tan59°=-0.7817. a=5 23 3.A 【随堂小测】 4.(1)15°49'(2)20°0°(3)400'(4)350 1.B2.D 【随堂小测】 3A【解析小：在R△ABC中，∠C=90°，nA= 1.D【解析】小：已知sin4=0.9816,运用科学计算器求 3” 锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是2ndF,sin, .设BC=4a,AC=3a, 0.9816,∴.按下的第一个键是2ndF.故选D. ∴AB=√AC+BC=√(3a)+(4a)=5a. 150