2.1.2 正弦和余弦-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

　　第２课时　正弦和余弦 【边学边练】 知识点一　正弦的概念 １．如图，Ａ，Ｂ，Ｃ是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为１，则ｓｉｎ∠ＡＣＢ的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．槡 １０ ５ Ｂ． ３ ５ Ｃ．槡 ３１０ ５ Ｄ． ３ ４ 第１题图 　　　　　　　 第３题图 ２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝６，ｓｉｎＡ＝ ３ ５ ，则ＡＢ的值是 （　　） Ａ．４　 Ｂ．５　 Ｃ．８　 Ｄ．１０ 知识点二　余弦的概念 ３．（教材改编题）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１０，ＡＣ＝８，则ｃｏｓＡ＝ （　　） Ａ． ３ ５ Ｂ． ４ ５ Ｃ． ３ ４ Ｄ． ４ ３ ４．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｃｏｓＢ＝ ５ １３ ，ＢＣ＝１５，则ＡＣ＝　　　　． 【随堂小测】 １．如图，一艘海轮位于灯塔Ｐ的北偏东５５°方向，距离灯塔６海里的Ａ处，若海轮沿正 南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离ＡＢ的长是 （　　） Ａ．６海里 Ｂ．６ｃｏｓ５５°海里 Ｃ．６ｓｉｎ５５°海里 Ｄ．６ｔａｎ５５°海里 ２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝ ４ ５ ，则ｔａｎＢ＝　 （　　） Ａ． ４ ３ Ｂ． ３ ４ Ｃ． ３ ５ Ｄ． ４ ５ ５１ ３．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，设∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，则 （　　） Ａ．ｃ＝ｂ·ｓｉｎＢ Ｂ．ｂ＝ｃ·ｓｉｎＢ Ｃ．ａ＝ｂ·ｔａｎＢ Ｄ．ｂ＝ｃ·ｔａｎＢ 第３题图 　　　　　　　　　 第４题图 ４．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂Ｆ动＝Ｌ·ｃｏｓα，阻力臂Ｆ阻＝ｌ·ｃｏｓβ，如果动 力Ｆ的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化 情况是 （　　） Ａ．越来越小 Ｂ．不变 Ｃ．越来越大 Ｄ．无法确定 ５．若角α，β都是锐角，以下结论：①若α＜β，则ｓｉｎα＜ｓｉｎβ；②若 α＜β，则 ｃｏｓα＜ｃｏｓβ； ③若α＜β，则ｔａｎα＜ｔａｎβ；④若α＋β＝９０°，则ｓｉｎα＝ｃｏｓβ．其中正确的是 （　　） Ａ．①② Ｂ．①②③ Ｃ．①③④ Ｄ．①②③④ ６．ＡＥ，ＣＦ是锐角三角形ＡＢＣ的两条高，若ＡＥ∶ＣＦ＝３∶２，则ｓｉｎＡ∶ｓｉｎＣ等于　　　　． ７．如图，已知ＣＤ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边上的高线，且ＡＢ＝１０，若ＢＣ＝８，则ｃｏｓ∠ＡＣＤ＝　　　　． 　　　　　　　　 　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　第７题图　　　　　　　 第８题图 ８．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，点 Ｇ，Ｅ分别在边 ＢＣ，ＤＣ上，连接 ＡＧ，ＥＧ，ＡＥ，将△ＡＢＧ和 △ＥＣＧ分别沿ＡＧ，ＥＧ折叠，使点Ｂ，Ｃ恰好落在ＡＥ上的同一点，记为点Ｆ．若ＣＥ＝３， ＣＧ＝４，则ｓｉｎ∠ＤＡＥ＝　　　　． ９．（核心素养·推理能力）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°． 探究：（１）ｓｉｎＡ与ｃｏｓＢ有何关系？ （２）ｔａｎＡ与ｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ有何关系？ （３）ｓｉｎ２Ａ与ｃｏｓ２Ａ有何关系？ ６１ 槡２ 槡２２ ＝１ ２ ．故选Ａ． ４．Ａ　【解析】∵ｉ＝ 槡１∶３，ＢＣ＝５ｍ， ∴ ＢＣ ＡＣ ＝５ ＡＣ ＝１ 槡３ ．解得ＡＣ＝槡５３ｍ． ∴ＡＢ＝ ＢＣ２＋ＡＣ槡 ２＝ ５２＋（槡５３）槡 ２＝１０（ｍ）． 故选Ａ． ５．３　【解析】∵△ＡＢＣ的面积为６，∴ａｂ＝１２． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝６， ∴ａ２＋ｂ２＝６２＝３６． ∴ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝ ａ ｂ ＋ｂ ａ ＝ａ ２＋ｂ２ ａｂ ＝３６ １２ ＝３． ６．槡 ３ ２ 或 槡 ２３ ３ 　【解析】①如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ａ＝９０°，ＣＥ是△ＡＢＣ的中线． 设ＡＢ＝ＥＣ＝２ａ，则ＡＥ＝ＥＢ＝ａ，ＡＣ＝槡３ａ． ∴ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ ＡＣ ＡＢ ＝槡３ ２ ． ②如图 ２，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＢＥ是△ＡＢＣ的 中线． 设ＥＢ＝ＡＣ＝２ａ，则ＡＥ＝ＥＣ＝ａ，ＡＢ＝槡３ａ． ∴ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ ＡＣ ＡＢ ＝槡２３ ３ ． 　　 　　 　　　　　图１　　　　　　　图２ ７．３　【解析】过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ交ＢＣ 的延长线于点 Ｇ，如图所示，设 ＤＥ ＝ＣＥ＝ａ． ∵△ＣＤＥ为等腰直角三角形， ∴ＣＤ＝槡２ＣＥ＝槡２ａ，∠ＤＣＥ＝４５°． 又∵四边形ＡＢＣＤ为正方形， ∴ＢＣ＝ＣＤ＝槡２ａ，∠ＢＣＤ＝９０°．∴∠ＥＣＧ＝４５°． ∴△ＣＥＧ为等腰直角三角形． ∴ＣＧ＝ＥＧ＝槡 ２ ２ ＣＥ＝槡 ２ ２ ａ． 在Ｒｔ△ＢＥＧ中，ｔａｎ∠ＥＢＧ＝ ＥＧ ＢＧ ＝１ ３ ， 即ｔａｎ∠ＦＢＣ＝ １ ３ ＝ＣＦ ＢＣ ． ∴ｔａｎ∠ＢＦＣ＝ ＢＣ ＣＦ ＝３． ８．解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝３，ＡＢ＝５， 由勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２＝ ５２－３槡 ２＝４． ∴ｔａｎＡ＝ ＢＣ ＡＣ ＝３ ４ ，ｔａｎＢ＝ ＡＣ ＢＣ ＝４ ３ ． ９．解：由题意，知ＢＣ＝５００ｍ． ∵ＡＣ２＝ＡＢ２－ＢＣ２，ＡＢ＝１０００ｍ， ∴ＡＣ＝ 槡５００３ｍ．∴ｔａｎＡ＝ ＢＣ ＡＣ ＝槡３ ３ ，即山坡的坡度 为槡 ３ ３ ． 第２课时　正弦和余弦 【边学边练】 １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｂ ４．３６　【解析】∵ｃｏｓＢ＝ ＢＣ ＡＢ ＝５ １３ ，ＢＣ＝１５，∴ＡＢ＝３９． 由勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２＝３６． 【随堂小测】 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｂ ４．Ａ　【解析】∵动力 ×动力臂 ＝阻力 ×阻力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定 值＞０．∴动力随着动力臂的增大而减小．∵杠杆向下运 动时α的度数越来越小，此时 ｃｏｓα的值越来越大，动 力臂Ｌ１＝Ｌ·ｃｏｓα，∴此时动力臂越来越大．∴此时的 动力越来越小．故选Ａ． ５．Ｃ　【解析】锐角的角度越大，正弦值就越大，①正确； 锐角的角度越大，余弦值就越小，②错误；锐角的角度 越大，正切值就越大，③正确；一个角的余弦等于它余 角的正弦，④正确．故选Ｃ． ６．２∶３　【解析】如图，由锐角三角函数的 定义可知， ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ ＣＦ ＡＣ ，ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝ ＡＥ ＡＣ ， ∴ｓｉｎ∠ＢＡＣ∶ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝ ＣＦ ＡＣ ∶ ＡＥ ＡＣ ＝ＣＦ∶ ＡＥ＝２∶３． ７． ４ ５ 　【解析】∵ＣＤ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边上的高线， ∴ＣＤ⊥ＡＢ． ∴∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝９０°． ∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ｂ＋∠Ａ＝９０°．∴∠ＡＣＤ＝∠Ｂ． ∴ｃｏｓ∠ＡＣＤ＝ｃｏｓＢ＝ ＢＣ ＡＢ ＝８ １０ ＝４ ５ ．                                                               ８４１ ８． ７ ２５ 　【解析】∵ＧＣ＝４，ＣＥ＝３，∠Ｃ＝９０°， ∴ＧＥ＝ ＧＣ２＋ＣＥ槡 ２＝ ４２＋３槡 ２＝５． 根据折叠的性质可得 ＢＧ＝ＧＦ，ＧＦ＝ＧＣ＝４，ＣＥ＝ＥＦ＝ ３，∠ＡＧＢ＝∠ＡＧＦ，∠ＥＧＣ＝∠ＥＧＦ，∠ＧＦＥ＝∠Ｃ＝ ９０°，∴ＢＧ＝ＧＦ＝ＧＣ＝４．∴ＢＣ＝ＡＤ＝８．∵∠ＡＧＢ＋∠ＡＧＦ ＋∠ＥＧＣ＋∠ＥＧＦ＝１８０°，∴∠ＡＧＥ＝９０°． ∴Ｒｔ△ＥＧＦ∽Ｒｔ△ＥＡＧ．∴ ＥＧ ＥＡ ＝ＥＦ ＥＧ ，即 ５ ＥＡ ＝３ ５ ． ∴ＥＡ＝ ２５ ３ ．∴ＤＥ＝ ＡＥ２－ＡＤ槡 ２ ＝ （ ２５ ３ ）２－８槡 ２ ＝７ ３ ． ∴ｓｉｎ∠ＤＡＥ＝ ＤＥ ＡＥ ＝ ７ ３ ２５ ３ ＝７ ２５ ． ９．解：设Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ所对的边分别为 ａ， ｂ，ｃ． （１）ｓｉｎＡ＝ｃｏｓＢ．理由如下： ∵在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｓｉｎＡ＝ ａ ｃ ，ｃｏｓＢ＝ ａ ｃ ， ∴ｓｉｎＡ＝ｃｏｓＢ． （２）ｔａｎＡ＝ ｓｉｎＡ ｃｏｓＡ ．理由如下： ∵在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｓｉｎＡ＝ ａ ｃ ，ｃｏｓＡ＝ ｂ ｃ ，ｔａｎＡ＝ ａ ｂ ， ∴ ｓｉｎＡ ｃｏｓＡ ＝ａ ｂ ＝ｔａｎＡ． （３）ｓｉｎ２Ａ＋ｃｏｓ２Ａ＝１．理由如下： ∵在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｓｉｎＡ＝ ａ ｃ ，ｃｏｓＡ＝ ｂ ｃ ，ａ２＋ｂ２＝ｃ２， ∴ｓｉｎ２Ａ＋ｃｏｓ２Ａ＝ ａ２＋ｂ２ ｃ２ ＝１． ２　３０°，４５°，６０°角的三角函数值 【边学边练】 １．Ｃ　【解析】ｃｏｓ２４５°＋ｔａｎ６０°·ｃｏｓ３０°＝( 槡２２ ) ２ ＋槡３× 槡３ ２ ＝２．故选Ｃ． ２． １ ２ 　【解析】由题意知经过点的坐标为 ( １，１２ ) ． ∴ｋ＝ １ ２ ． ３．Ｄ　【解析】∵α为锐角，ｓｉｎ（α－２０°）＝槡 ３ ２ ， ∴α－２０°＝６０°．∴α＝８０°．故选Ｄ． ４．Ｂ　【解析】如图． ∵∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝槡２，ＢＣ＝１， ∴ｓｉｎＡ＝ ＢＣ ＡＢ ＝１ 槡２ ＝槡２ ２ ，∴∠Ａ＝４５°．故选Ｂ． 【随堂小测】 １．Ｃ　【解析】∵ｓｉｎ６０°＝槡 ３ ２ ，ｃｏｓ３０°＝槡 ３ ２ ， ∴点 槡３ ２ ，槡 ３ ２( )关于ｙ轴对称的点的坐标是 －槡３２，槡３２( )． 故选Ｃ． ２．Ａ　【解析】如图，∵ＣＤ是斜边ＡＢ上的 中线，ＡＣ⊥ＢＣ，∠Ａ＝３０°，∴ＤＢ＝ＤＡ，ＢＣ ＝１ ２ ＡＢ，∠Ｂ＝６０°．∴ＢＣ＝ＤＢ． ∴△ＢＤＣ是等边三角形． ∴∠ＣＤＢ＝６０°． ∴ｔａｎ∠ＣＤＢ＝ｔａｎ６０°＝槡３．故选Ａ． ３．Ａ　【解析】∵（槡３ｔａｎＡ－３） ２＋｜２ｃｏｓＢ－槡３｜＝０， 槡∴ ３ｔａｎＡ－３＝０，２ｃｏｓＢ－槡３＝０，解得ｔａｎＡ＝槡３，ｃｏｓＢ ＝槡３ ２ ． ∴∠Ａ＝６０°，∠Ｂ＝３０°． ∴∠Ｃ＝９０°．∴△ＡＢＣ是含有６０°角的直角三角形． 故选Ａ． ４．Ｂ　【解析】２ｓｉｎ６０°－ １－２ｔａｎ６０°＋ｔａｎ２槡 ６０°＝２ｓｉｎ６０°－ （１－ｔａｎ６０°）槡 ２＝２×槡 ３ ２ －｜１－槡３｜＝槡３－（槡３－１）＝１．故 选Ｂ． ５． １ ２ 　【解析】由已知得 α＝６０°，所以 α ２ ＝３０°，ｓｉｎα ２ ＝１ ２ ． ６．＞　【解析】由正方形网格图可知，ｔａｎα＝ １ ３ ， ｔａｎβ＝ １ ２ ，则ｔａｎα＋ｔａｎβ＝ １ ２ ＋１ ３ ＝５ ６ ． 由图可知ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°． ∴α＋β＝４５°． ∴ｔａｎ（α＋β）＝１． ∵１＞ ５ ６ ，∴ｔａｎ（α＋β）＞ｔａｎα＋ｔａｎβ．                                                               ９４１