2.1.1 正切-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

第二章　直角三角形的边角关系 １　锐角三角函数 第１课时　正切 【边学边练】 知识点一　正切的概念 １．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ＡＢＣ，其中 ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＣ＝２７°， ＢＣ＝４４ｃｍ，则高ＡＤ约为（参考数据：ｔａｎ２７°≈０．５１） （　　） Ａ．９．９０ｃｍ Ｂ．１１．２２ｃｍ Ｃ．１９．５８ｃｍ Ｄ．２２．４４ｃｍ 第１题图 　　　　　　　　 第２题图 ２．如图，过点Ｃ（－２，５）的直线ＡＢ分别交坐标轴于Ａ（０，２），Ｂ两点，则ｔａｎ∠ＯＡＢ的值为 （　　） Ａ． ２ ５ Ｂ． ２ ３ Ｃ． ５ ２ Ｄ． ３ ２ 知识点二　坡度与坡角 ３．如图，在坡度为１∶２．５的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是　　　　． 【随堂小测】 １．在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ＝１０ｃｍ，ｔａｎ∠ＢＡＣ＝ ３ ５ ，那么ＢＤ的值为 （　　） Ａ．３ｃｍ Ｂ．５ｃｍ Ｃ．６ｃｍ Ｄ．１０ｃｍ ２．（易错题）直角三角形纸片 ＡＢＣ的两条直角边 ＢＣ，ＡＣ的长分别为６，８，现将△ＡＢＣ 按如图方式折叠，使点Ａ与点Ｂ重合，折痕为ＤＥ，则ｔａｎ∠ＣＢＥ的值是 （　　） Ａ． ７ ２４ Ｂ． ２ ５ Ｃ． ４ ２５ Ｄ． ３ ８ ３１ 第２题图 　　　　 第３题图 　　　　 第４题图 ３．如图所示，△ＡＢＣ的顶点在正方形网格的格点上，则ｔａｎＡ的值为 （　　） Ａ． １ ２ Ｂ．槡 ２ ２ 槡 Ｃ．２ Ｄ．２２ ４．如图，某地修建一座高ＢＣ＝５ｍ的天桥，已知天桥斜面ＡＢ的坡度为 槡１∶３，则斜坡 ＡＢ的长度为 （　　） 槡 槡Ａ．１０ｍ Ｂ．１０３ｍ Ｃ．５ｍ Ｄ．５３ｍ ５．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，△ＡＢＣ的面积为 ６，斜边长为 ６，则 ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ的值 为　　　　． 第５题图 　　　　　　　　　　 第７题图 ６．（易错题）如果三角形有一边上的中线长等于这条边的长，那么称这个三角形为“好 玩三角形”．若Ｒｔ△ＡＢＣ是“好玩三角形”，且∠Ａ＝９０°，则ｔａｎ∠ＡＢＣ＝　　　　． ７．如图，在正方形ＡＢＣＤ外作等腰直角三角形ＣＤＥ，ＤＥ＝ＣＥ，连接ＢＥ交ＣＤ于点Ｆ，则 ｔａｎ∠ＢＦＣ＝　　　　． ８．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝３，ＡＢ＝５，求ｔａｎＡ，ｔａｎＢ． ９．如图，某人从山脚下的点Ａ沿着斜坡走了１０００ｍ到达山顶 Ｂ点，已知从山顶到山 脚的垂直距离为５００ｍ，求山坡的坡度． ４１ 根据图象，当ｙ１＞ｙ２时， ｘ的取值范围为ｘ＜－２或０＜ｘ＜２． ７．解：（１）将 Ａ（２，－４）代入 ｙ＝ ｋ ｘ ，得－４＝ ｋ ２ ，即 ｋ＝－８． ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ ８ ｘ ． 将Ｂ（－４，ｍ）的坐标代入ｙ＝－ ８ ｘ ，得ｍ＝－ ８ －４ ＝２， ∴Ｂ（－４，２）．将Ａ，Ｂ的坐标代入ｙ＝ａｘ＋ｂ，得 ２ａ＋ｂ＝－４， －４ａ＋ｂ＝２，{ 解得 ａ ＝－１， ｂ＝－２．{ ∴一次函数的表达式为ｙ＝－ｘ－２． （２）如图，设ＡＢ交ｘ轴于点Ｄ，连接ＣＤ，过点Ａ作ＡＥ ⊥ＣＤ交 ＣＤ的延长线于点 Ｅ，作 ＢＦ⊥ＣＤ交 ＣＤ于 点Ｆ． 令ｙ＝－ｘ－２＝０，则ｘ＝－２， ∴点Ｄ的坐标为（－２，０）． ∵过Ｏ，Ａ两点的直线与反比例函数图象交于另一点 Ｃ，∴Ａ（２，－４）关于原点对称的点Ｃ的坐标为（－２，４）， ∴点Ｃ、点Ｄ横坐标相同．∴ＣＤ∥ｙ轴． ∴Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＢＣＤ ＝１ ２ ＣＤ·ＡＥ＋ １ ２ ＣＤ·ＢＦ＝ １ ２ ＣＤ·（ＡＥ＋ＢＦ）＝ １ ２ ＣＤ· ｜ｘＡ－ｘＢ｜＝ １ ２ ×４×６＝１２． ８．解：（１）∵ＡＤ⊥ＢＥ于点Ｄ，ＡＣ＝槡２ＣＤ， ∴△ＡＤＣ是等腰直角三角形．∴ＡＤ＝ＣＤ． ∵Ａ点的横坐标为１，点Ｃ（ ７ ２ ，－ １ ２ ）， ∴ＣＤ＝ ７ ２ －１＝ ５ ２ ．∴Ａ（１， ５ ２ －１ ２ ），即Ａ（１，２）． ∵反比例函数ｙ２＝ ｍ ｘ 的图象过Ａ，Ｂ两点， ∴ｍ＝１×２＝２．∴反比例函数的表达式为ｙ２＝ ２ ｘ ． ∵ＢＥ∥ｘ轴，∴Ｂ的纵坐标为－ １ ２ ．∴Ｂ（－４，－ １ ２ ）． 把Ａ，Ｂ的坐标代入ｙ１＝ｋｘ＋ｂ，得 ｋ＋ｂ＝２， －４ｋ＋ｂ＝－ １ ２ ，{ 解得 ｋ＝ １ ２ ， ｂ＝ ３ ２ ．      ∴一次函数的表达式为ｙ１＝ １ ２ ｘ＋ ３ ２ ． （２）从图象可以看出，不等式ｋｘ＋ｂ－ ｍ ｘ ＜０的解集是ｘ＜ －４或０＜ｘ＜１． 第二章　直角三角形的边角关系 １　锐角三角函数 第１课时　正切 【边学边练】 １．Ｂ　【解析】∵等腰三角形 ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ为边 ＢＣ上的高，∴ＤＣ＝ １ ２ ＢＣ． ∵ＢＣ＝４４ｃｍ，∴ＤＣ＝ １ ２ ＢＣ＝２２ｃｍ． ∵等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＣ＝２７°， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝２７°． ∵ＡＤ为边ＢＣ上的高，∠ＡＣＢ＝２７°， ∴在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＤ＝ｔａｎ２７°×ＣＤ． ∵ｔａｎ２７°≈０．５１，ＤＣ＝２２ｃｍ， ∴ＡＤ≈０．５１×２２＝１１．２２（ｃｍ）．故选Ｂ． ２．Ｂ　【解析】根据Ａ，Ｃ两点的坐标求出直线ＡＣ的表达 式为ｙ＝－ ３ ２ ｘ＋２，再求出点 Ｂ的坐标（ ４ ３ ，０），∴ＯＢ＝ ４ ３ ，∴ｔａｎ∠ＯＡＢ＝ ＯＢ ＯＡ ＝２ ３ ．故选Ｂ． ３．７ｍ　【解析】∵ＡＣ∶ＢＣ＝１∶２．５，ＡＣ＝２ｍ，∴ＢＣ＝ ５ｍ． ∴地毯长＝ＡＣ＋ＢＣ＝７ｍ． 【随堂小测】 １．Ｃ ２．Ａ　【解析】∵直角三角形纸片 ＡＢＣ的两条直角边 ＢＣ，ＡＣ的长分别为６，８，设ＣＥ＝ｘ，则ＡＥ＝８－ｘ． 由题意，得ＢＥ＝ＡＥ＝８－ｘ．在Ｒｔ△ＢＣＥ中， ＣＥ２＋ＢＣ２＝ＢＥ２，∴ｘ２＋６２＝（８－ｘ）２． 解得ｘ＝ ７ ４ ．∴ｔａｎ∠ＣＢＥ＝ ＣＥ ＢＣ ＝ ７ ４ ６ ＝７ ２４ ． ３．Ａ　【解析】如图，取格点 Ｅ，连接 ＢＥ．由题意，得∠ＡＥＢ＝９０°．令每个 小方格的边长为 １，则 ＢＥ＝槡２，ＡＥ ＝ ２２＋２槡 ２＝槡２２．所以ｔａｎＡ＝ ＢＥ ＡＥ ＝                                                               ７４１ 槡２ 槡２２ ＝１ ２ ．故选Ａ． ４．Ａ　【解析】∵ｉ＝ 槡１∶３，ＢＣ＝５ｍ， ∴ ＢＣ ＡＣ ＝５ ＡＣ ＝１ 槡３ ．解得ＡＣ＝槡５３ｍ． ∴ＡＢ＝ ＢＣ２＋ＡＣ槡 ２＝ ５２＋（槡５３）槡 ２＝１０（ｍ）． 故选Ａ． ５．３　【解析】∵△ＡＢＣ的面积为６，∴ａｂ＝１２． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝６， ∴ａ２＋ｂ２＝６２＝３６． ∴ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝ ａ ｂ ＋ｂ ａ ＝ａ ２＋ｂ２ ａｂ ＝３６ １２ ＝３． ６．槡 ３ ２ 或 槡 ２３ ３ 　【解析】①如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ａ＝９０°，ＣＥ是△ＡＢＣ的中线． 设ＡＢ＝ＥＣ＝２ａ，则ＡＥ＝ＥＢ＝ａ，ＡＣ＝槡３ａ． ∴ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ ＡＣ ＡＢ ＝槡３ ２ ． ②如图 ２，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＢＥ是△ＡＢＣ的 中线． 设ＥＢ＝ＡＣ＝２ａ，则ＡＥ＝ＥＣ＝ａ，ＡＢ＝槡３ａ． ∴ｔａｎ∠ＡＢＣ＝ ＡＣ ＡＢ ＝槡２３ ３ ． 　　 　　 　　　　　图１　　　　　　　图２ ７．３　【解析】过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ交ＢＣ 的延长线于点 Ｇ，如图所示，设 ＤＥ ＝ＣＥ＝ａ． ∵△ＣＤＥ为等腰直角三角形， ∴ＣＤ＝槡２ＣＥ＝槡２ａ，∠ＤＣＥ＝４５°． 又∵四边形ＡＢＣＤ为正方形， ∴ＢＣ＝ＣＤ＝槡２ａ，∠ＢＣＤ＝９０°．∴∠ＥＣＧ＝４５°． ∴△ＣＥＧ为等腰直角三角形． ∴ＣＧ＝ＥＧ＝槡 ２ ２ ＣＥ＝槡 ２ ２ ａ． 在Ｒｔ△ＢＥＧ中，ｔａｎ∠ＥＢＧ＝ ＥＧ ＢＧ ＝１ ３ ， 即ｔａｎ∠ＦＢＣ＝ １ ３ ＝ＣＦ ＢＣ ． ∴ｔａｎ∠ＢＦＣ＝ ＢＣ ＣＦ ＝３． ８．解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝３，ＡＢ＝５， 由勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２＝ ５２－３槡 ２＝４． ∴ｔａｎＡ＝ ＢＣ ＡＣ ＝３ ４ ，ｔａｎＢ＝ ＡＣ ＢＣ ＝４ ３ ． ９．解：由题意，知ＢＣ＝５００ｍ． ∵ＡＣ２＝ＡＢ２－ＢＣ２，ＡＢ＝１０００ｍ， ∴ＡＣ＝ 槡５００３ｍ．∴ｔａｎＡ＝ ＢＣ ＡＣ ＝槡３ ３ ，即山坡的坡度 为槡 ３ ３ ． 第２课时　正弦和余弦 【边学边练】 １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｂ ４．３６　【解析】∵ｃｏｓＢ＝ ＢＣ ＡＢ ＝５ １３ ，ＢＣ＝１５，∴ＡＢ＝３９． 由勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２＝３６． 【随堂小测】 １．Ｂ　２．Ｂ　３．Ｂ ４．Ａ　【解析】∵动力 ×动力臂 ＝阻力 ×阻力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定 值＞０．∴动力随着动力臂的增大而减小．∵杠杆向下运 动时α的度数越来越小，此时 ｃｏｓα的值越来越大，动 力臂Ｌ１＝Ｌ·ｃｏｓα，∴此时动力臂越来越大．∴此时的 动力越来越小．故选Ａ． ５．Ｃ　【解析】锐角的角度越大，正弦值就越大，①正确； 锐角的角度越大，余弦值就越小，②错误；锐角的角度 越大，正切值就越大，③正确；一个角的余弦等于它余 角的正弦，④正确．故选Ｃ． ６．２∶３　【解析】如图，由锐角三角函数的 定义可知， ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ ＣＦ ＡＣ ，ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝ ＡＥ ＡＣ ， ∴ｓｉｎ∠ＢＡＣ∶ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝ ＣＦ ＡＣ ∶ ＡＥ ＡＣ ＝ＣＦ∶ ＡＥ＝２∶３． ７． ４ ５ 　【解析】∵ＣＤ是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边上的高线， ∴ＣＤ⊥ＡＢ． ∴∠Ａ＋∠ＡＣＤ＝９０°． ∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ｂ＋∠Ａ＝９０°．∴∠ＡＣＤ＝∠Ｂ． ∴ｃｏｓ∠ＡＣＤ＝ｃｏｓＢ＝ ＢＣ ＡＢ ＝８ １０ ＝４ ５ ．                                                               ８４１