小专题2 一次函数与反比例函数的综合题-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

小专题 ２　一次函数与反比例函数的综合题 一、确定反比例函数与一次函数的图象 １．在同一直角坐标系中，函数ｙ＝ｋｘ＋１与ｙ＝－ ｋ ｘ （ｋ为常数且ｋ≠０）的图象大致是 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２．（易错题）已知一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ与反比例函数ｙ＝ ａ－ｂ ｘ ，其中ａｂ＜０，ａ，ｂ为常数，它们 在同一直角坐标系中的图象可以是 （　　） Ａ． 　 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３．一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ和反比例函数ｙ＝ ｂ ｘ 在同一直角坐标系内的大致图象如图所示，则 ａ　　　　０，ｂ　　　　０． 第３题图 　　　 第４题图 ４．函数ｙ１＝ｘ与ｙ２＝ ４ ｘ 的图象如图所示，下列关于函数ｙ＝ｙ１＋ｙ２的结论：①函数的图象 关于原点中心对称；②当 ｘ＜２时，ｙ随 ｘ的增大而减小；③当ｘ＞０时，函数图象的最 低点的坐标是（２，４）．其中所有正确结论的序号是　　　　． 二、确定自变量的取值范围 ５．（核心素养·几何直观）如图，一次函数ｙ＝ｘ＋ｍ的图象与反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象交 于Ａ，Ｂ这两点，且与ｘ轴交于点Ｃ，点Ａ的坐标为（２，１）． （１）求ｍ及ｋ的值； （２）求点 Ｃ的坐标，并结合图象写出不等式组０＜ｘ＋ｍ≤ ｋ ｘ 的解集． １１ ６．如图，正比例函数ｙ１＝－３ｘ的图象与反比例函数ｙ２＝ ｋ ｘ 的图象交于Ａ，Ｂ这两点．点Ｃ 在ｘ轴的负半轴上，ＡＣ＝ＡＯ，△ＡＣＯ的面积为１２． （１）求ｋ的值； （２）根据图象，写出当ｙ１＞ｙ２时，ｘ的取值范围． 三、确定一次函数与反比例函数的表达式 ７．如图，在直角坐标系ｘＯｙ中，一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ的图象与反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ 的图象都 经过Ａ（２，－４）、Ｂ（－４，ｍ）两点． （１）求反比例函数和一次函数的表达式； （２）过Ｏ，Ａ两点的直线与反比例函数图象交于另一点Ｃ，连接ＢＣ，求△ＡＢＣ的面积． ８．如图，在直角坐标系中，一次函数 ｙ１＝ｋｘ＋ｂ的图象与反比例函数 ｙ２＝ ｍ ｘ 的图象交于 Ａ，Ｂ两点，且点Ａ的横坐标为１，过点Ｂ作ＢＥ∥ｘ轴，过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＥ于点Ｄ，点Ｃ （ ７ ２ ，－ １ ２ ）是直线ＢＥ上一点，且ＡＣ＝槡２ＣＤ． （１）求一次函数与反比例函数的表达式； （２）根据图象，请直接写出不等式 ｋｘ＋ｂ－ ｍ ｘ ＜０ 的解集． ２１ ∴一次函数的表达式ｙ＝－２ｘ－５． （２）当ｘ＜０时，不等式ｋｘ＋ｂ≤ ｍ ｘ 的解集为－４≤ｘ＜０． 【随堂小测】 １．Ｃ　【解析】函数表达式为Ｉ＝ ３６ Ｒ ，故Ａ错误；蓄电池的 电压是３６Ｖ，故Ｂ错误；当Ｉ＝１０Ａ时，Ｒ＝３．６Ω，根据 反比例函数图象在第一象限Ｉ随 Ｒ的增大而减小，知 当Ｉ≤１０Ａ时，Ｒ≥３．６Ω．故Ｃ正确；当Ｒ＝６Ω时，Ｉ＝６ Ａ，故Ｄ错误．故选Ｃ． ２．Ｂ ３．Ｒ＝ ２９ Ｓ 　１４．５　【解析】设反比例函数表达式为Ｒ＝ ｋ Ｓ ． 将（１，２９）代入，得ｋ＝２９，则其函数关系式为Ｒ＝ ２９ Ｓ ．当 Ｓ＝２ｃｍ２时，Ｒ＝ ２９ ２ ＝１４．５（Ω）． ４．３６　【解析】由题意可知点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）关于原 点对称，∴ｘ１＝－ｘ２，ｙ１＝－ｙ２．把点 Ａ（ｘ１，ｙ１）代入 ｙ＝ ６ ｘ 中，得ｘ１ｙ１＝６．同理，得ｘ２ｙ２＝６．∴３ｘ１ｙ２－９ｘ２ｙ１＝－３ｘ１ｙ１ ＋９ｘ１ｙ１＝６ｘ１ｙ１＝３６． ５．解：（１）当０≤ｘ≤８时，设水温ｙ（℃）与开机时间ｘ（ｍｉｎ） 之间的函数表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），将（０，２０）， （８，１００）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ｂ＝２０， ８ｋ＋ｂ＝１００，{ 解得 ｋ ＝１０， ｂ＝２０，{ ∴当 ０≤ｘ≤８时，水温ｙ（℃）与开机时间 ｘ（ｍｉｎ）之间的函 数表达式为ｙ＝１０ｘ＋２０． （２）当８≤ｘ≤ｔ时，设水温 ｙ（℃）与开机时间 ｘ（ｍｉｎ） 之间的函数表达式为ｙ＝ ｍ ｘ （ｍ≠０）． 将（８，１００）代入ｙ＝ ｍ ｘ 中，得１００＝ ｍ ８ ， 解得ｍ＝８００．当 ８≤ｘ≤ｔ时，水温 ｙ（℃）与开机时间 ｘ（ｍｉｎ）之间的函数表达式为ｙ＝ ８００ ｘ ． 当ｙ＝ ８００ ｘ ＝２０时，ｘ＝４０， ∴图中ｔ的值为４０． （３）不能．理由如下： ∵当ｘ＝３０时，ｙ＝ ８００ ｘ ＝８０ ３ ＜３０， ∴小明上午八点半散步回到家中时不能喝到饮水机 内不低于３０℃的水． 小专题２　一次函数与反比例 函数的综合题 １．Ａ ２．Ｃ　【解析】当ａ＜０，ｂ＞０时，ａ－ｂ＜０．此时反比例函数的 图象在第二、四象限，一次函数的图象在第一、二、四 象限，Ａ，Ｄ选项不正确；当ａ＞０，ｂ＜０时，ａ－ｂ＞０．此时反 比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象在 第一、三、四象限．故选Ｃ． ３．＜　＞ ４．①③　【解析】①由图象可以看出函数图象上的每 一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在 每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不 同的，故错误；③当 ｘ＞０时，ｙ＝ｙ１＋ｙ２＝ｘ＋ ４ ｘ ＝( 槡ｘ－ ２ 槡ｘ ) ２＋４，当ｘ＝２时，函数取最小值 ｙ＝４，即图象最低 点是（２，４），故正确．综上所述，正确的有①③． ５．解：（１）∵点 Ａ（２，１）在一次函数 ｙ＝ｘ＋ｍ的图象上， ∴２＋ｍ＝１．解得ｍ＝－１． ∵点Ａ（２，１）在反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象上， ∴ ｋ ２ ＝１．解得ｋ＝２． （２）由（１）得一次函数的表达式为ｙ＝ｘ－１． ∴当ｙ＝０时，ｘ＝１．∴点Ｃ的坐标是（１，０）． 由图象可知不等式组０＜ｘ＋ｍ≤ ｋ ｘ 的解集为１＜ｘ≤２． ６．解：（１）如图，过点 Ａ作 ＡＤ⊥ＯＣ， 垂足为点Ｄ． ∵ＡＣ＝ＡＯ，ＡＤ⊥ＣＯ， ∴ＣＤ＝ＤＯ＝ １ ２ ＣＯ． ∴Ｓ△ＡＤＯ＝Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ Ｓ△ＡＣＯ＝ １ ２ × １２＝６． 设点Ａ（ｘ，ｙ），则－ １ ２ ｘｙ＝６．∴ｘｙ＝－１２． ∴ｋ＝ｘｙ＝－１２． （２）由（１），得ｙ２＝－ １２ ｘ ．联立 ｙ＝－ １２ ｘ ， ｙ＝－３ｘ．{ 解得 ｘ＝２， ｙ＝－６，{ 或 ｘ＝－２，ｙ＝６．{ 由图象可知Ａ点在第二象限，Ｂ点在第四象限． ∴Ａ（－２，６），Ｂ（２，－６）．                                                               ６４１ 根据图象，当ｙ１＞ｙ２时， ｘ的取值范围为ｘ＜－２或０＜ｘ＜２． ７．解：（１）将 Ａ（２，－４）代入 ｙ＝ ｋ ｘ ，得－４＝ ｋ ２ ，即 ｋ＝－８． ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ ８ ｘ ． 将Ｂ（－４，ｍ）的坐标代入ｙ＝－ ８ ｘ ，得ｍ＝－ ８ －４ ＝２， ∴Ｂ（－４，２）．将Ａ，Ｂ的坐标代入ｙ＝ａｘ＋ｂ，得 ２ａ＋ｂ＝－４， －４ａ＋ｂ＝２，{ 解得 ａ ＝－１， ｂ＝－２．{ ∴一次函数的表达式为ｙ＝－ｘ－２． （２）如图，设ＡＢ交ｘ轴于点Ｄ，连接ＣＤ，过点Ａ作ＡＥ ⊥ＣＤ交 ＣＤ的延长线于点 Ｅ，作 ＢＦ⊥ＣＤ交 ＣＤ于 点Ｆ． 令ｙ＝－ｘ－２＝０，则ｘ＝－２， ∴点Ｄ的坐标为（－２，０）． ∵过Ｏ，Ａ两点的直线与反比例函数图象交于另一点 Ｃ，∴Ａ（２，－４）关于原点对称的点Ｃ的坐标为（－２，４）， ∴点Ｃ、点Ｄ横坐标相同．∴ＣＤ∥ｙ轴． ∴Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＢＣＤ ＝１ ２ ＣＤ·ＡＥ＋ １ ２ ＣＤ·ＢＦ＝ １ ２ ＣＤ·（ＡＥ＋ＢＦ）＝ １ ２ ＣＤ· ｜ｘＡ－ｘＢ｜＝ １ ２ ×４×６＝１２． ８．解：（１）∵ＡＤ⊥ＢＥ于点Ｄ，ＡＣ＝槡２ＣＤ， ∴△ＡＤＣ是等腰直角三角形．∴ＡＤ＝ＣＤ． ∵Ａ点的横坐标为１，点Ｃ（ ７ ２ ，－ １ ２ ）， ∴ＣＤ＝ ７ ２ －１＝ ５ ２ ．∴Ａ（１， ５ ２ －１ ２ ），即Ａ（１，２）． ∵反比例函数ｙ２＝ ｍ ｘ 的图象过Ａ，Ｂ两点， ∴ｍ＝１×２＝２．∴反比例函数的表达式为ｙ２＝ ２ ｘ ． ∵ＢＥ∥ｘ轴，∴Ｂ的纵坐标为－ １ ２ ．∴Ｂ（－４，－ １ ２ ）． 把Ａ，Ｂ的坐标代入ｙ１＝ｋｘ＋ｂ，得 ｋ＋ｂ＝２， －４ｋ＋ｂ＝－ １ ２ ，{ 解得 ｋ＝ １ ２ ， ｂ＝ ３ ２ ．      ∴一次函数的表达式为ｙ１＝ １ ２ ｘ＋ ３ ２ ． （２）从图象可以看出，不等式ｋｘ＋ｂ－ ｍ ｘ ＜０的解集是ｘ＜ －４或０＜ｘ＜１． 第二章　直角三角形的边角关系 １　锐角三角函数 第１课时　正切 【边学边练】 １．Ｂ　【解析】∵等腰三角形 ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ为边 ＢＣ上的高，∴ＤＣ＝ １ ２ ＢＣ． ∵ＢＣ＝４４ｃｍ，∴ＤＣ＝ １ ２ ＢＣ＝２２ｃｍ． ∵等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＣ＝２７°， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝２７°． ∵ＡＤ为边ＢＣ上的高，∠ＡＣＢ＝２７°， ∴在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＤ＝ｔａｎ２７°×ＣＤ． ∵ｔａｎ２７°≈０．５１，ＤＣ＝２２ｃｍ， ∴ＡＤ≈０．５１×２２＝１１．２２（ｃｍ）．故选Ｂ． ２．Ｂ　【解析】根据Ａ，Ｃ两点的坐标求出直线ＡＣ的表达 式为ｙ＝－ ３ ２ ｘ＋２，再求出点 Ｂ的坐标（ ４ ３ ，０），∴ＯＢ＝ ４ ３ ，∴ｔａｎ∠ＯＡＢ＝ ＯＢ ＯＡ ＝２ ３ ．故选Ｂ． ３．７ｍ　【解析】∵ＡＣ∶ＢＣ＝１∶２．５，ＡＣ＝２ｍ，∴ＢＣ＝ ５ｍ． ∴地毯长＝ＡＣ＋ＢＣ＝７ｍ． 【随堂小测】 １．Ｃ ２．Ａ　【解析】∵直角三角形纸片 ＡＢＣ的两条直角边 ＢＣ，ＡＣ的长分别为６，８，设ＣＥ＝ｘ，则ＡＥ＝８－ｘ． 由题意，得ＢＥ＝ＡＥ＝８－ｘ．在Ｒｔ△ＢＣＥ中， ＣＥ２＋ＢＣ２＝ＢＥ２，∴ｘ２＋６２＝（８－ｘ）２． 解得ｘ＝ ７ ４ ．∴ｔａｎ∠ＣＢＥ＝ ＣＥ ＢＣ ＝ ７ ４ ６ ＝７ ２４ ． ３．Ａ　【解析】如图，取格点 Ｅ，连接 ＢＥ．由题意，得∠ＡＥＢ＝９０°．令每个 小方格的边长为 １，则 ＢＥ＝槡２，ＡＥ ＝ ２２＋２槡 ２＝槡２２．所以ｔａｎＡ＝ ＢＥ ＡＥ ＝                                                               ７４１