小专题1 反比例函数系数k的几何意义-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

小专题 １　反比例函数系数 ｋ的几何意义 一、根据ｋ的值确定图形的面积 １．反比例函数ｙ＝－ ３ ｘ （ｘ＜０）的图象如图所示，则矩形ＯＡＰＢ的面积是 （　　） Ａ．３　 Ｂ．－３ Ｃ． ３ ２ Ｄ．－ ３ ２ 第１题图 　　　　　　 第２题图 　　　　　 第３题图 ２．如图，在函数ｙ＝ ２ ｘ （ｘ＞０）的图象上任取一点Ａ，过点Ａ作 ｙ轴的垂线交函数 ｙ＝－ ８ ｘ （ｘ＜０）的图象于点Ｂ，连接ＯＡ，ＯＢ，则△ＡＯＢ的面积是 （　　） Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．１０ ３．如图，Ａ，Ｂ是函数 ｙ＝ ２ ｘ 的图象上关于原点对称的任意两点，ＢＣ∥ｘ轴，ＡＣ∥ｙ轴， △ＡＢＣ的面积记为Ｓ，则 （　　） Ａ．Ｓ＝２ Ｂ．Ｓ＝４ Ｃ．２＜Ｓ＜４ Ｄ．Ｓ＞４ 二、根据图形的面积确定ｋ的值 ４．如图，等边三角形ＯＡＢ的顶点Ｂ在ｘ轴正半轴上，Ｓ△ＡＯＢ＝ 槡４３，若反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ （ｋ≠０）图象的一支经过点Ａ，则ｋ的值是 （　　） Ａ．槡 ３３ ２ 槡 Ｂ．２３ Ｃ．槡 ３３ ４ 槡 Ｄ．４３ 　　　　　　 第４题图 　　　　　　　 第５题图 ５．如图，点Ａ，Ｃ为函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＜０）图象上的两点，过Ａ，Ｃ分别作ＡＢ⊥ｘ轴，ＣＤ⊥ｘ轴， 垂足分别为Ｂ，Ｄ，连接ＯＡ，ＡＣ，ＯＣ，线段ＯＣ交ＡＢ于点Ｅ，且点Ｅ恰好为ＯＣ的中点． 当△ＡＥＣ的面积为 ３ ４ 时，ｋ的值为 （　　） Ａ．－１ Ｂ．－２ Ｃ．－３ Ｄ．－４ ７ 三、反比例函数系数ｋ的综合应用 ６．如图，点Ａ，Ｂ在双曲线 ｙ＝ ３ ｘ （ｘ＞０）上，点 Ｃ在双曲线 ｙ＝ １ ｘ （ｘ＞０）上，若 ＡＣ∥ｙ轴， ＢＣ∥ｘ轴，且ＡＣ＝ＢＣ，则ＡＢ等于 （　　） 槡 槡 槡Ａ．２ Ｂ．２２ Ｃ．４ Ｄ．３２ 第６题图 　　　　　　　　　 第７题图 ７．函数ｙ＝ ４ ｘ 和ｙ＝ １ ｘ 在第一象限内的图象如图所示，Ｐ是反比例函数ｙ＝ ４ ｘ 的图象上的 一动点，ＰＣ⊥ｘ轴于点Ｃ，交函数ｙ＝ １ ｘ 的图象于点Ａ，ＰＤ⊥ｙ轴于点Ｄ，交函数ｙ＝ １ ｘ 的图象于点Ｂ．给出如下结论：①△ＯＤＢ与△ＯＣＡ的面积相等；②ＰＡ与ＰＢ始终相等； ③四边形ＰＡＯＢ的面积大小不会发生变化；④ＣＡ＝ １ ３ ＡＰ．其中所有正确结论的序号是 （　　） Ａ．①②③ Ｂ．②③④　 Ｃ．①③④　 Ｄ．①②④ ８．已知反比例函数ｙ＝ ｍ－７ ｘ 的图象的一支位于第一象限． （１）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求ｍ的取值范围； （２）如图，Ｏ为坐标原点，点Ａ在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 Ｂ与点 Ａ 关于ｘ轴对称，若△ＯＡＢ的面积为６，求ｍ的值． ９．（核心素养·模型观念）如图，Ｐ１是反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ （ｋ＞０）在第一象限图象上的一 点，点Ａ１的坐标为（２，０）． （１）当点Ｐ１的横坐标逐渐增大时，△Ｐ１ＯＡ１的面积将如何变化？ （２）若△Ｐ１ＯＡ１与△Ｐ２Ａ１Ａ２均为等边三角形，求此反比例函数的表达式及点Ａ２的坐标． ８ ８．ｙ＝ １２ ｘ 　【解析】由题意知阴影部分的面积等于每个小 正方形的面积，因为阴影部分的面积为 ３６，所以点 Ｐ 的横坐标３ａ＝６，即ａ＝２．所以点Ｐ的坐标为（６，２）．所 以ｋ＝６×２＝１２，即反比例函数的表达式为ｙ＝ １２ ｘ ． ９．解：（１）将点（３，１）的坐标代入ｙ＝ ｋ ｘ ，得１＝ ｋ ３ ．解得ｋ ＝３．∴该反比例函数的表达式为ｙ＝ ３ ｘ ．其图象如下图 所示． （２）将点（－５，ａ）的坐标代入ｙ＝ ３ ｘ 中，得ａ＝ ３ －５ ． 解得ａ＝－ ３ ５ ． 第２课时　反比例函数的性质 【边学边练】 １．Ｄ　【解析】∵反比例函数ｙ＝ ４ ｘ 中的ｋ＝４＞０， ∴该函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内 ｙ 的值随ｘ值的增大而减小． 又∵（１，ｙ１），（２，ｙ２），（３，ｙ３），（４，ｙ４）都位于第一象 限，且１＜２＜３＜４，ｙ１＞ｙ２＞ｙ３＞ｙ４．故选Ｄ． ２．Ａ ３．Ｂ　【解析】△ＡＯＢ的面积等于 ｜ｋ｜ ２ ＝１ ２ ． 【随堂小测】 １．Ｄ　【解析】设点Ａ的坐标为（ｘ，ｙ），由已知得 ｘｙ＝１，ｘ ＝ＡＣ，ｙ＝ １ ２ ＢＤ，四边形ＡＢＣＤ为菱形．∴Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ １ ２ · ＡＣ·ＢＤ＝ｘｙ＝１．∴四边形 ＡＢＣＤ的面积不变，为定值 １．故选Ｄ． ２．Ｄ　【解析】∵ｋ＝－２＜０，∴该反比例函数的图象在第 二、四象限，且当ｘ＞０时，ｙ的值随ｘ值的增大而增大， 故Ａ，Ｂ正确；∵－ ２ １ ＝－２，∴点（１，－２）在该反比例函 数的图象上，故Ｃ正确；点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）都在反 比例函数ｙ＝－ ２ ｘ 的图象上，若 ｘ１＜０＜ｘ２，则 ｙ１＞０＞ｙ２， 故Ｄ错误．故选Ｄ． ３．Ｃ ４．ｘ＞２或ｘ＜０ ５．６　【解析】如图，过点Ａ作ＡＥ⊥ｘ轴于点Ｅ， 易得△ＢＯＣ≌△ＡＥＤ． ∴Ｓ矩形ＡＢＯＥ＝Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝６，∴｜ｋ｜＝６． ∵反比例函数的图象位于第一、三象限，∴ｋ＞０．∴ｋ ＝６． ６．６　【解析】∵Ｄ为 ＡＣ的中点，△ＡＯＤ的面积为 ３， ∴△ＡＯＣ的面积为６．∴ｋ＝１２＝２ｍ．解得ｍ＝６． ７．解：（１）∵该反比例函数的图象在每一象限内 ｙ的值 随ｘ值的增大而减小，∴该反比例函数的图象在第 一、三象限．∴２ｋ＋１＞０，即ｋ＞－ １ ２ ． （２）∵该反比例函数的图象经过点 Ａ（２，－１），∴把点 （２，－１）的坐标代入 ｙ＝ ２ｋ＋１ ｘ ，得－１＝ ２ｋ＋１ ２ ．解得 ｋ＝－ ３ ２ ．如图，∵ＡＢ＝１，ＯＢ＝２，∴Ｓ△ＡＯＢ＝ １ ２ ×ＡＢ×ＯＢ＝ １ ２ ×１×２＝１． 小专题１　反比例函数系数 ｋ的几何意义 １．Ａ ２．Ｂ　【解析】Ｓ△ＡＯＢ＝ ｜ｋ１｜ ２ ＋ ｜ｋ２｜ ２ ＝２ ２ ＋８ ２ ＝１＋４＝５．故 选Ｂ． ３．Ｂ　【解析】设点Ａ的坐标为（ｘ，ｙ），则ｘｙ＝２．∵Ａ，Ｂ是 关于原点对称的任意两点，得点Ｂ的坐标为（－ｘ，－ｙ）． 又∵ＢＣ∥ｘ轴，ＡＣ∥ｙ轴，∴点 Ｃ的坐标为（ｘ，－ｙ）． ∴ＡＣ＝２ｙ，ＢＣ＝２ｘ．∴△ＡＢＣ的面积Ｓ＝ １ ２ ×２ｘ×２ｙ＝２ｘｙ ＝４．故选Ｂ． ４．Ｄ　【解析】∵｜ｋ｜＝Ｓ△ＯＡＢ＝ 槡４３，图象位于第一、三象                                                               ４４１ 限，∴ｋ＝槡４３．故选Ｄ． ５．Ｂ　【解析】∵点 Ｅ为 ＯＣ的中点，∴△ＡＥＯ的面积＝ △ＡＥＣ的面积＝ ３ ４ ． ∵点Ａ，Ｃ为函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＜０）图象上的两点， ∴Ｓ△ＣＤＯ＝Ｓ△ＡＢＯ．∴Ｓ四边形ＣＤＢＥ＝Ｓ△ＡＥＯ＝ ３ ４ ． ∵ＥＢ∥ＣＤ，∴Ｓ△ＯＥＢ∽Ｓ△ＯＣＤ．∴ Ｓ△ＯＥＢ Ｓ△ＯＣＤ ＝（ １ ２ ）２＝ １ ４ ． ∴Ｓ△ＯＣＤ＝１，即 ｜ｋ｜ ２ ＝１．∵ｋ＜０，∴ｋ＝－２．故选Ｂ． ６．Ｂ　【解析】∵点Ｃ在双曲线ｙ＝ １ ｘ 上，∴设点Ｃ( ａ，１ａ ) ． 又∵点Ａ，Ｂ在双曲线ｙ＝ ３ ｘ （ｘ＞０）上，ＡＣ∥ｙ轴，ＢＣ∥ ｘ轴，∴点Ｂ(３ａ，１ａ ) ，Ａ( ａ，３ａ ) ．∵ＡＣ＝ＢＣ，∴ ３ａ－ １ ａ ＝３ａ－ａ．解得ａ＝１（负值已舍去）．∴点Ｃ（１，１），Ｂ（３，１）， Ａ（１，３）．∴ＡＣ＝ＢＣ＝２． ∴在Ｒｔ△ＡＣＢ中，ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝槡２２．故选Ｂ． ７．Ｃ　【解析】∵Ａ，Ｂ是反比例函数 ｙ＝ １ ｘ 的图象上的两 点，∴Ｓ△ＯＤＢ＝Ｓ△ＯＣＡ＝ １ ２ ．故①正确；仅当点 Ｐ的横、纵 坐标相等时 ＰＡ＝ＰＢ，故②错误；∵Ｐ是函数 ｙ＝ ４ ｘ 的 图象上的一动点，∴Ｓ矩形ＰＤＯＣ＝４．∴Ｓ四边形ＰＡＯＢ＝Ｓ矩形ＰＤＯＣ －Ｓ△ＯＤＢ－Ｓ△ＯＣＡ＝４－ １ ２ －１ ２ ＝３．故③正确； Ｓ△ＰＯＣ Ｓ△ＯＡＣ ＝ＰＣ ＡＣ ＝ ４，∴ＡＣ＝ １ ４ ＰＣ，ＰＡ＝ ３ ４ ＰＣ．∴ ＰＡ ＡＣ ＝３．∴ＣＡ＝ １ ３ ＡＰ．故 ④正确．综上所述，正确的结论有①③④．故选Ｃ． ８．解：（１）∵该反比例函数的图象有一支位于第一象限， ∴函数图象的另一支位于第三象限． ∴ｍ－７＞０．解得ｍ＞７． （２）设ＡＢ与ｘ轴的交点为Ｃ，如图．∵点Ｂ与点Ａ关于ｘ 轴对称，△ＯＡＢ的面积为６，∴△ＯＡＣ的面积为３． 设点Ａ( ｘ，ｍ－７ｘ ) ，则 １２·ｘ·ｍ－７ｘ＝３．解得ｍ＝１３． ９．解：（１）△Ｐ１ＯＡ１的面积将逐渐减小． （２）如图，作Ｐ１Ｃ⊥ＯＡ１，垂足为点Ｃ，作Ｐ２Ｄ⊥Ａ１Ａ２，垂 足为点 Ｄ．∵△Ｐ１ＯＡ１为等边三角形，点 Ａ１（２，０）， ∴ＯＣ＝ １ ２ ·ＯＡ１＝ １ ２ ×２＝１，Ｐ１Ｃ＝槡３．∴Ｐ１（１，槡３）．把 点Ｐ１（１，槡３）的坐标代入ｙ＝ ｋ ｘ ，得槡３＝ ｋ １ ．解得ｋ＝槡３． ∴反比例函数的表达式为ｙ＝槡 ３ ｘ （ｘ＞０）． 设Ａ１Ｄ＝ａ，则Ａ１Ｐ２＝２ａ，ＯＤ＝２＋ａ．∴Ｐ２Ｄ＝槡３ａ． ∴点Ｐ２（２＋ａ，槡３ａ），Ａ２（２ａ＋２，０）． 把点Ｐ２（２＋ａ，槡３ａ）代入ｙ＝ 槡３ ｘ ，得（２＋ａ）·槡３ａ＝槡３． 解得ａ＝－ 槡１±２．∵ａ＞０，∴ａ＝－１＋槡２． ∴Ａ１Ａ２＝槡２２－２，点Ａ２的坐标为（槡２２，０）． ３　反比例函数的应用 【边学边练】 １．解：（１）由表中数据，得ｘｙ＝６０００． ∴ｙ＝ ６０００ ｘ ．∴ｙ是ｘ的反比例函数． 它的函数表达式为ｙ＝ ６０００ ｘ （ｘ＞１２０）． （２）由题意，得（ｘ－１２０）ｙ＝３０００． 把ｙ＝ ６０００ ｘ 代入上式，得（ｘ－１２０）· ６０００ ｘ ＝３０００． 解得ｘ＝２４０．经检验，ｘ＝２４０是原方程的解． ∴若商场计划每天的销售利润为３０００元，则其单价 应定为２４０元． ２．解：（１）把点Ａ（－４，３）代入函数ｙ＝ ｍ ｘ （ｍ为常数，ｍ≠ ０），得ｍ＝－４×３＝－１２， ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ １２ ｘ ． ∵ＯＡ＝ （－３）２＋４槡 ２＝５，ＯＡ＝ＯＢ， ∴ＯＢ＝５． ∴点Ｂ的坐标为（０，－５）， 把点Ｂ（０，－５），Ａ（－４，３）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ｂ＝－５ －４ｋ＋ｂ＝３{ ，解得 ｋ ＝－２， ｂ＝－５{ ，                                                               ５４１