1.3 反比例函数的应用-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

３　反比例函数的应用 【边学边练】 知识点一　反比例函数的实际应用 １．（核心素养·应用意识）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种 品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为１２０元，为寻求合适的销售价 格进行了４天的试销，试销情况如表所示： 第１天 第２天 第３天 第４天 售价ｘ／（元／双） １５０ ２００ ２５０ ３００ 销售量ｙ／双 ４０ ３０ ２４ ２０ （１）观察表中数据，ｘ，ｙ满足什么函数关系？请求出这个函数表达式； （２）若商场计划每天的销售利润为３０００元，则其单价应定为多少元？ 知识点二　反比例函数与一次函数的综合应用 ２．如图，一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，ｋ≠０）的图象与反比例函数 ｙ＝ ｍ ｘ （ｍ为常数， ｍ≠０）的图象在第二象限交于点Ａ（－４，３），与ｙ轴负半轴交于点Ｂ，且ＯＡ＝ＯＢ． （１）求反比例函数和一次函数的表达式； （２）根据图象直接写出：当ｘ＜０时，不等式ｋｘ＋ｂ≤ ｍ ｘ 的解集． 【随堂小测】 １．（易错题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 Ｉ（单位：Ａ）与电阻 Ｒ（单 位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是 （　　） Ａ．函数表达式为Ｉ＝ １３ Ｒ Ｂ．蓄电池的电压是１８Ｖ Ｃ．当Ｉ≤１０Ａ时，Ｒ≥３．６Ω Ｄ．当Ｒ＝６Ω时，Ｉ＝４Ａ ９ ２．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象与ｙ＝ ｍ ｘ （ｍ≠０）的图象 相交于点Ａ（２，３），Ｂ（－６，－１），则不等式ｋｘ＋ｂ＞ ｍ ｘ 的解集为 （　　） Ａ．ｘ＜－６ Ｂ．－６＜ｘ＜０或ｘ＞２ Ｃ．ｘ＞２ Ｄ．ｘ＜－６或０＜ｘ＜２ 第２题图 　　　　　　　 第３题图 ３．（跨学科）实验表明，当导线的长度一定时，导线的电阻与它的横截面积成反比例．一 条长为１００ｃｍ的导线的电阻Ｒ（Ω）与它的横截面积Ｓ（ｃｍ２）的函数图象如图所示， 那么其函数关系式为　　　　　　，当Ｓ＝２ｃｍ２时，Ｒ＝　　　　Ω． ４．直线ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）与双曲线ｙ＝ ６ ｘ 交于点Ａ（ｘ１，ｙ１）和点Ｂ（ｘ２，ｙ２），则３ｘ１ｙ２－９ｘ２ｙ１的值 为　　　． ５．（核心素养·创新意识）小明家饮水机中原有水的温度为２０℃，通电开机后，饮水机 自动开始加热，此过程中水温ｙ（℃）与开机时间ｘ（ｍｉｎ）满足一次函数关系；当加热 到１００℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温ｙ（℃）与开机时间ｘ（ｍｉｎ） 成反比例关系；当水温降至２０℃时，饮水机又自动开始加热，并重复上述程序（如图 所示）．根据图中提供的信息，解答下列问题： （１）当０≤ｘ≤８时，求水温ｙ（℃）与开机时间ｘ（ｍｉｎ）之间的函数表达式； （２）求图中ｔ的值； （３）若小明上午八点将饮水机通电开机（此时饮水机中原有水的温度为２０℃）后立 即外出散步，预计上午八点半散步回到家中，回到家时，他能喝到饮水机内不低 于３０℃的水吗？请说明你的理由． ０１ 限，∴ｋ＝槡４３．故选Ｄ． ５．Ｂ　【解析】∵点 Ｅ为 ＯＣ的中点，∴△ＡＥＯ的面积＝ △ＡＥＣ的面积＝ ３ ４ ． ∵点Ａ，Ｃ为函数ｙ＝ ｋ ｘ （ｘ＜０）图象上的两点， ∴Ｓ△ＣＤＯ＝Ｓ△ＡＢＯ．∴Ｓ四边形ＣＤＢＥ＝Ｓ△ＡＥＯ＝ ３ ４ ． ∵ＥＢ∥ＣＤ，∴Ｓ△ＯＥＢ∽Ｓ△ＯＣＤ．∴ Ｓ△ＯＥＢ Ｓ△ＯＣＤ ＝（ １ ２ ）２＝ １ ４ ． ∴Ｓ△ＯＣＤ＝１，即 ｜ｋ｜ ２ ＝１．∵ｋ＜０，∴ｋ＝－２．故选Ｂ． ６．Ｂ　【解析】∵点Ｃ在双曲线ｙ＝ １ ｘ 上，∴设点Ｃ( ａ，１ａ ) ． 又∵点Ａ，Ｂ在双曲线ｙ＝ ３ ｘ （ｘ＞０）上，ＡＣ∥ｙ轴，ＢＣ∥ ｘ轴，∴点Ｂ(３ａ，１ａ ) ，Ａ( ａ，３ａ ) ．∵ＡＣ＝ＢＣ，∴ ３ａ－ １ ａ ＝３ａ－ａ．解得ａ＝１（负值已舍去）．∴点Ｃ（１，１），Ｂ（３，１）， Ａ（１，３）．∴ＡＣ＝ＢＣ＝２． ∴在Ｒｔ△ＡＣＢ中，ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝槡２２．故选Ｂ． ７．Ｃ　【解析】∵Ａ，Ｂ是反比例函数 ｙ＝ １ ｘ 的图象上的两 点，∴Ｓ△ＯＤＢ＝Ｓ△ＯＣＡ＝ １ ２ ．故①正确；仅当点 Ｐ的横、纵 坐标相等时 ＰＡ＝ＰＢ，故②错误；∵Ｐ是函数 ｙ＝ ４ ｘ 的 图象上的一动点，∴Ｓ矩形ＰＤＯＣ＝４．∴Ｓ四边形ＰＡＯＢ＝Ｓ矩形ＰＤＯＣ －Ｓ△ＯＤＢ－Ｓ△ＯＣＡ＝４－ １ ２ －１ ２ ＝３．故③正确； Ｓ△ＰＯＣ Ｓ△ＯＡＣ ＝ＰＣ ＡＣ ＝ ４，∴ＡＣ＝ １ ４ ＰＣ，ＰＡ＝ ３ ４ ＰＣ．∴ ＰＡ ＡＣ ＝３．∴ＣＡ＝ １ ３ ＡＰ．故 ④正确．综上所述，正确的结论有①③④．故选Ｃ． ８．解：（１）∵该反比例函数的图象有一支位于第一象限， ∴函数图象的另一支位于第三象限． ∴ｍ－７＞０．解得ｍ＞７． （２）设ＡＢ与ｘ轴的交点为Ｃ，如图．∵点Ｂ与点Ａ关于ｘ 轴对称，△ＯＡＢ的面积为６，∴△ＯＡＣ的面积为３． 设点Ａ( ｘ，ｍ－７ｘ ) ，则 １２·ｘ·ｍ－７ｘ＝３．解得ｍ＝１３． ９．解：（１）△Ｐ１ＯＡ１的面积将逐渐减小． （２）如图，作Ｐ１Ｃ⊥ＯＡ１，垂足为点Ｃ，作Ｐ２Ｄ⊥Ａ１Ａ２，垂 足为点 Ｄ．∵△Ｐ１ＯＡ１为等边三角形，点 Ａ１（２，０）， ∴ＯＣ＝ １ ２ ·ＯＡ１＝ １ ２ ×２＝１，Ｐ１Ｃ＝槡３．∴Ｐ１（１，槡３）．把 点Ｐ１（１，槡３）的坐标代入ｙ＝ ｋ ｘ ，得槡３＝ ｋ １ ．解得ｋ＝槡３． ∴反比例函数的表达式为ｙ＝槡 ３ ｘ （ｘ＞０）． 设Ａ１Ｄ＝ａ，则Ａ１Ｐ２＝２ａ，ＯＤ＝２＋ａ．∴Ｐ２Ｄ＝槡３ａ． ∴点Ｐ２（２＋ａ，槡３ａ），Ａ２（２ａ＋２，０）． 把点Ｐ２（２＋ａ，槡３ａ）代入ｙ＝ 槡３ ｘ ，得（２＋ａ）·槡３ａ＝槡３． 解得ａ＝－ 槡１±２．∵ａ＞０，∴ａ＝－１＋槡２． ∴Ａ１Ａ２＝槡２２－２，点Ａ２的坐标为（槡２２，０）． ３　反比例函数的应用 【边学边练】 １．解：（１）由表中数据，得ｘｙ＝６０００． ∴ｙ＝ ６０００ ｘ ．∴ｙ是ｘ的反比例函数． 它的函数表达式为ｙ＝ ６０００ ｘ （ｘ＞１２０）． （２）由题意，得（ｘ－１２０）ｙ＝３０００． 把ｙ＝ ６０００ ｘ 代入上式，得（ｘ－１２０）· ６０００ ｘ ＝３０００． 解得ｘ＝２４０．经检验，ｘ＝２４０是原方程的解． ∴若商场计划每天的销售利润为３０００元，则其单价 应定为２４０元． ２．解：（１）把点Ａ（－４，３）代入函数ｙ＝ ｍ ｘ （ｍ为常数，ｍ≠ ０），得ｍ＝－４×３＝－１２， ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－ １２ ｘ ． ∵ＯＡ＝ （－３）２＋４槡 ２＝５，ＯＡ＝ＯＢ， ∴ＯＢ＝５． ∴点Ｂ的坐标为（０，－５）， 把点Ｂ（０，－５），Ａ（－４，３）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ｂ＝－５ －４ｋ＋ｂ＝３{ ，解得 ｋ ＝－２， ｂ＝－５{ ，                                                               ５４１ ∴一次函数的表达式ｙ＝－２ｘ－５． （２）当ｘ＜０时，不等式ｋｘ＋ｂ≤ ｍ ｘ 的解集为－４≤ｘ＜０． 【随堂小测】 １．Ｃ　【解析】函数表达式为Ｉ＝ ３６ Ｒ ，故Ａ错误；蓄电池的 电压是３６Ｖ，故Ｂ错误；当Ｉ＝１０Ａ时，Ｒ＝３．６Ω，根据 反比例函数图象在第一象限Ｉ随 Ｒ的增大而减小，知 当Ｉ≤１０Ａ时，Ｒ≥３．６Ω．故Ｃ正确；当Ｒ＝６Ω时，Ｉ＝６ Ａ，故Ｄ错误．故选Ｃ． ２．Ｂ ３．Ｒ＝ ２９ Ｓ 　１４．５　【解析】设反比例函数表达式为Ｒ＝ ｋ Ｓ ． 将（１，２９）代入，得ｋ＝２９，则其函数关系式为Ｒ＝ ２９ Ｓ ．当 Ｓ＝２ｃｍ２时，Ｒ＝ ２９ ２ ＝１４．５（Ω）． ４．３６　【解析】由题意可知点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）关于原 点对称，∴ｘ１＝－ｘ２，ｙ１＝－ｙ２．把点 Ａ（ｘ１，ｙ１）代入 ｙ＝ ６ ｘ 中，得ｘ１ｙ１＝６．同理，得ｘ２ｙ２＝６．∴３ｘ１ｙ２－９ｘ２ｙ１＝－３ｘ１ｙ１ ＋９ｘ１ｙ１＝６ｘ１ｙ１＝３６． ５．解：（１）当０≤ｘ≤８时，设水温ｙ（℃）与开机时间ｘ（ｍｉｎ） 之间的函数表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），将（０，２０）， （８，１００）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ｂ＝２０， ８ｋ＋ｂ＝１００，{ 解得 ｋ ＝１０， ｂ＝２０，{ ∴当 ０≤ｘ≤８时，水温ｙ（℃）与开机时间 ｘ（ｍｉｎ）之间的函 数表达式为ｙ＝１０ｘ＋２０． （２）当８≤ｘ≤ｔ时，设水温 ｙ（℃）与开机时间 ｘ（ｍｉｎ） 之间的函数表达式为ｙ＝ ｍ ｘ （ｍ≠０）． 将（８，１００）代入ｙ＝ ｍ ｘ 中，得１００＝ ｍ ８ ， 解得ｍ＝８００．当 ８≤ｘ≤ｔ时，水温 ｙ（℃）与开机时间 ｘ（ｍｉｎ）之间的函数表达式为ｙ＝ ８００ ｘ ． 当ｙ＝ ８００ ｘ ＝２０时，ｘ＝４０， ∴图中ｔ的值为４０． （３）不能．理由如下： ∵当ｘ＝３０时，ｙ＝ ８００ ｘ ＝８０ ３ ＜３０， ∴小明上午八点半散步回到家中时不能喝到饮水机 内不低于３０℃的水． 小专题２　一次函数与反比例 函数的综合题 １．Ａ ２．Ｃ　【解析】当ａ＜０，ｂ＞０时，ａ－ｂ＜０．此时反比例函数的 图象在第二、四象限，一次函数的图象在第一、二、四 象限，Ａ，Ｄ选项不正确；当ａ＞０，ｂ＜０时，ａ－ｂ＞０．此时反 比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象在 第一、三、四象限．故选Ｃ． ３．＜　＞ ４．①③　【解析】①由图象可以看出函数图象上的每 一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；②在 每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不 同的，故错误；③当 ｘ＞０时，ｙ＝ｙ１＋ｙ２＝ｘ＋ ４ ｘ ＝( 槡ｘ－ ２ 槡ｘ ) ２＋４，当ｘ＝２时，函数取最小值 ｙ＝４，即图象最低 点是（２，４），故正确．综上所述，正确的有①③． ５．解：（１）∵点 Ａ（２，１）在一次函数 ｙ＝ｘ＋ｍ的图象上， ∴２＋ｍ＝１．解得ｍ＝－１． ∵点Ａ（２，１）在反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ 的图象上， ∴ ｋ ２ ＝１．解得ｋ＝２． （２）由（１）得一次函数的表达式为ｙ＝ｘ－１． ∴当ｙ＝０时，ｘ＝１．∴点Ｃ的坐标是（１，０）． 由图象可知不等式组０＜ｘ＋ｍ≤ ｋ ｘ 的解集为１＜ｘ≤２． ６．解：（１）如图，过点 Ａ作 ＡＤ⊥ＯＣ， 垂足为点Ｄ． ∵ＡＣ＝ＡＯ，ＡＤ⊥ＣＯ， ∴ＣＤ＝ＤＯ＝ １ ２ ＣＯ． ∴Ｓ△ＡＤＯ＝Ｓ△ＡＣＤ＝ １ ２ Ｓ△ＡＣＯ＝ １ ２ × １２＝６． 设点Ａ（ｘ，ｙ），则－ １ ２ ｘｙ＝６．∴ｘｙ＝－１２． ∴ｋ＝ｘｙ＝－１２． （２）由（１），得ｙ２＝－ １２ ｘ ．联立 ｙ＝－ １２ ｘ ， ｙ＝－３ｘ．{ 解得 ｘ＝２， ｙ＝－６，{ 或 ｘ＝－２，ｙ＝６．{ 由图象可知Ａ点在第二象限，Ｂ点在第四象限． ∴Ａ（－２，６），Ｂ（２，－６）．                                                               ６４１