4.4.2对数函数的图象和性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.2 对数函数的图象和性质 温故知新 1.对数函数的概念？ 2.反函数 一般地，我们把函数 y＝logax (a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,＋∞). 同底的指、对数函数互为反函数. 一一对应的函数具有反函数. 【问题1】两个函数互为反函数有哪些性质呢？我们可以试着利用对数函数与指数函数的关系，借助指数函数y=2x和对数函数y=log2x的图象和性质来研究反函数的一些性质. 在同一直角坐标系中，画出指数函数y=2x和对数函数y=log2x的图象. x y -1 0.5 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 ... ... x y 0.5 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 16 4 ... ... 【问题2】从对称的角度来看，你能看出函数 y=log2x和y=2x 的图象有什么关系吗？怎么来解释这个问题？ 函数y=log2x和y=2x 的图象关于直线y=x对称。 设P(a,b)是y=log2x图象上的任意一点，则有b=log2a，由指数和对数的关系得a=2b，即点Q(b,a)在函数y=2x的图象上。 ∵P(a,b), Q(b,a)两点关于直线y=x对称 ∴函数y=log2x和y=2x 的图象关于直线y=x对称 互为反函数的两函数图象关于直线y=x对称。 4 互为反函数的两函数图象关于直线y=x对称。 【问题3】互为反函数的两函数的定义域和值域有何关系？ 相反 x y O 结论： 对于函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称。 在第一象限，逆时针看，底数变小！ 【总结】 第一象限逆时针： 幂函数的指数、指数函数的底数变大； 对数函数的底数变小. 【练1】如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则 A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 √ 【思考】观察函数图象，你能得到关于对数函数的哪些性质？ 定义域 值域 定点 渐近线 奇偶性 单调性 a>1,0<a<1的对数函数草图分别如何？ 对数函数的图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 x y O 定义域：(0, +∞)； 值域：R； 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0. 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数 x y O 1 1 渐近线：y轴 同正异负 总结：求对数函数（对数型函数）的定点坐标方法是？ 令真数为1，求出x值即为定点的横坐标，求出y值即为定点的纵坐标. 定点问题 【变式3】若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝______，c＝_____. －2 2 比大小 【方法提炼】 1.同底对数利用对数函数单调性进行比较； 2. 同真数对数利用对数函数图象进行比较； 3.底数、真数都不同，搭桥或借用中间量（0或1）进行估值比较； 4.含参对数比大小：分类讨论 解对数不等式 图象变换 【例4】已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象. 【变式1】f(x)＝log5|x+1|，试画出函数f(x)的图象. 【变式2】f(x)＝|log5(x+1)|，写出其单调区间和值域. 定义域、值域问题 【例5】已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)． （1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围. （2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 16 综合应用：奇偶性 综合应用：单调性 图象应用 x∈(0, 1)时，y>0 x∈(1, +∞)时，y<0. x∈(0, 1)时，y<0； x∈(1, +∞)时，y>0. $$