第4章 小专题4 整式中的规律探究-【一课通】2024-2025学年七年级上册数学随堂小练习(人教版2024)

8 小专题4整式中的规律探究 1.下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方 形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，第 ④个图中有9张黑色正方形纸片…，按此规律排列下去，则第⑨个图中黑色正方 形纸片的张数为 88888888 ① ② A.15 B.17 C.19 D.21 2.如图是用一些火柴棒摆成的图案，摆第1个图案需要5根火柴棒，摆第2个图案需 要9根火柴棒…按这种方式摆下去，摆第2023个图案需要火柴棒 ( ☆☆☆☆ 第1个 第2个第3个 A.8092根 B.8097根 C.10110根 D.10115根 3.观察以下等式： 第1个等式：23-3×1×2=13+1；第2个等式：33-3×2×3=23+1； 第3个等式：43-3×3×4=33+1：第4个等式：53-3×4×5=4+1： 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）. 4.【观察思考】 如图，这是由正方形和等边三角形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正方 形：第2个图案有6个正方形：第3个图案有8个正方形；… 公粥 8… 第1个图案 第2个图案第3个图案 依此规律，请解答下面的问题.三 59 【规律发现】 (1)第5个图案有正方形 个； (2)第n个图案有正方形 个： 【规律应用】 (3)结合图案中正方形的排列方式，现有4050个正方形，若干个三角形（足够多）. 依此规律，是否可以组成第n个图案（正方形一次性用完），若存在，请求出n的 值：若不存在，请说明理由 5.在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》(1261年)一书中， 用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三 角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪(1050年左 右)也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.此图揭 示了(a+b)"(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律： 11 …(a+b)'=a+b 121 …(a+b2=a2+2ab+ 1331…(a+b-23+3a2b+3ab+b 14（)()1…(a+b=a+4ab+6a2b2… (1)补充完整(a+b)4的展开式，(a+b)4= (2)(a+b)的展开式中共有 项，所有项的系数和为 (3)利用上面的规律计算：2-5×2+10×2-10×22+5×2-1： (4)今天是星期五，过了6天后是星期几？（直接写答案） 鲁人泰斗 60m+x=28.n+x=18,两式相减,得m-n=10.故 (2)因为m,n互为倒数,所以mn=1.所以原式=2- 选D. n-5=0.所以n=-3.所以m=- 4.-a+b-c 5.0 分别为--3. 6.-7x+6x+2 【解析】根据题意,得A=(-2x*+$$ 小专题3 3-4)-$5$-3x-6)=-2$}+3-4-5$+3+ 整式的化简求值 6=-7+6x+2 1.解:原式=3xy+xy+xy-4xy+2x2y=3x$ 7.解:(1)依据题意.得(9a+6b-1)-2(2a+b+a+b)= $当x=-1.= 时,原=3$t(-1)t2 =3$ =6 $$ 9$+6b-1-(6a+4b) =3a+2b-1. 2.解:原式$=6a^*$b-2 ab$}+2ab^$}-3a^’b=3^$$$$$ 答:裁下的错条的长为(3a+2b-1)cm ($2)由题意,得3a+2b-1=30.所以3a+2b=31.所$ 以2(2a+b+a+b)=2(3a+2b)=62(cm). 答:长方形错框的周长是62cm 3.解:(1)原式=5ab}-(4ab-3ab+5ab}+ab)+2^b= 第3课时 整式的加减 $$$}-4a}b+3ab-5ab}-ab+2a?}b=2ab-2 a^}$$$$ 【边学边练】 (2)因为(a-6) +{4}-0. 1.D 2.解:(1)原式=(2x+4x)+(-3x+3x)-5= 62-5. (2)原式=7ab-2a}+ab+2ab+2a^}=10a b$ 所以原式=2ab-2a^{b=2x6x(-4)-2x6x 3.解:原式=-6xy-4xy+5xy+5xy-xy=-y 当$x=2024,y=2时,原式=-2024x2=-4048$$ (-){-~3+18-15. 4.解:(1)(30+a)(30-a) 4.解:原式$=2a^{}b+2ab^$} -2a^{$b+2ab+2-2 a b^$}+2= (2)则3小时两船相距的路程为3[(30+a)+(30- $ab+4.因为la+21+(b-2)=0.la+21=0.(b- a)]=180千米 $ ) >0.a+2=0.b-2=0. 答:3小时后两船相距180千米 所以a=-2.b=2. 【随堂小测】 所以原式=2ix(-2)x2+4=-8+4=-4. 1.A 2.A 3.B 4.A $.解:原式=-4+2xy-2+3x-4xv+2 5.D 【解析】因为a-3b=3,所以(a+2b)-(2a-b)= --2-2xry. $+$ b-2a+b=3b-a=-(a-3b)=-3.故选 $ 6.5 【解析】因为x-y=3,m+n=2,所以原式=x+ 当x=3.y=-1时. 原式=-3-2x3x(-1)=-3. m-y+n=(x-y)+(m+n)=3+2=5 6.解:原式=3x}+3xy-3x$+y-2xy+y=xy+2y 7.解:(1)-(a-b) (2)因为3x-6y-21-3(-2v)-21,又因为- 因为1v-31+(x+1)=0. 所以x+1=0.v-3=0 $=4.所以原式=3x4-21=12-21=-9 解得x=-1.y=3. (3)因为(a-3c)+(5b-d)-(5b-3c)=a-3+ 则原式=(-1)x3+2x3 $ $-d-5b+3c=(a-5b) +(5b-3c) +(3c-). =-3+6 所以当a-55b=3.5 b-3c=-$.3c-$d= $0时,原$= =3. 3+(-5)+10=8. 7.解:该整式为(2bc+7ab-2ac)-(ab-5bc+4ac) 小专题4 整式中的规律探究 $b +7ab-2ac-ab+5bc-4ac=7be +6ab-6ac. 1.C 【解析】观察图形可知:第①个图中有3张黑色正 故正确答案为(7bc+6ab-6ac)-(ab-5bc+4ac)= 方形纸片;第②个图中有5张黑色正方形纸片,即 7$c+6ab-6ac-ab+5bc-4ac=12bc+5ab-10ac. 5=3+2x1;第③个图中有7张黑色正方形纸片,即 8.解:(1)原式=6mn+2m-2(-2m-n)-4mn-5m- 7=3+2x2;第④个图中有9张黑色正方形纸片,即 3n=2mn-n-5. 1_ 116 2.B 【解析】由摆第1个图案需要5根火染棒,摆第 5.1.2 等式的性质 2个图案需要9根火柴棒......,得摆第n个图案需要 【边学边练】 (1+4n)根火柴棒,故摆第2024个图案需要火柴棒 1.D2.C 1+4x2024=8097根.故选B. 3.解:(1)两边都加6.得2x=-25. 3.解:(1)因为第1个等式;2 -3x1x2=1+1;第2 两边都除以2.得x=-12.5. 个等式;3-3$2x3=2*+1;第3个等式;4-3x$$ (2)根据等式性质1,方程两边都减去2 3$$4=3+1;第4个等式;5-3×4x5=4^+1;所以$ 第5个等式:6-3x5×6=5+1. (2)猜想的第n个等式为(n+1)-3x(n+1)xn- 根据等式性质2,方程两边都乘以-4. 1=n. 得x=-4. 4.解:(1)由所给图形可知,第1个图案中正方形的个数 为4=1x2+2;第2个图案中正方形的个数为6=2x 2+2;第3个图案中正方形的个数为8=3x2+2:.·.所 3,右边是3. 以第n个图案中正方形的个数为(2n+2)个,当n=5 所以方程的左右两边相等,故x=-4是方程的解 时,2n+2=2x5+2=12(个).即第5个图案中正方 【随堂小测】 形的个数为12个. 1.B 2.D (2)(2n+2) 3.3 【解析$5a+8b=3+10,5a+8$-3=3b-3 $$$$ (3)存在.令2n+2=4050.解得n=2024 $05$+5b=l10,5(a+b)=10,a+b=2.所以a+b+1= 所以可以组成第n个图案,n的值为2024 2+1=3. 5.解:(1)a+4ab+6a*6+4ab+b{ 4.①② 5.3a+5=4a 6.7.5 (2)由题意得,利用“杨辉三角”或“贾宪三角”,如图 7.解:-1-+1. 所示,a+b共2项,所有项系数的和为1+1=2=2; (a+b)共3项,所有项系数的和为1+2+1=4=2^}; 等式两边同时乘2.得a-2=b+2.等式两边同时加 (a+b)共4项,所有项系数的和为143+3+1= 2.得a-2+2=b+2+2.即a=b+4 8=2....,故(a+b)“共(a+1)项,所有项系数的和 8.解:(1)两边都减5.得-x=-7. 为2”,故(a+b)共8项,所有项系数的和为2. 两边都除以-1.得x=7. (3)由题意可知2-5x2*+10x2-10x2}+5x (2)两边都加(2x+6).得5x=-25. $ -1=2+5x(-1)2+10x(-1)t2+10$ 两边都除以5.得x=-5. (-1)x2+5x(-1)x2+(-1). 9.解:小明的说法错误,小刚的说法正确.理由如下:当 故可取a =2.b=-1.即原式=[2+(-1)]=1 m-3=0时,x为任意数,当n-3z0时,x=5. (4)星期六 5.2 解一元一次方程 第五章 一元一次方程 第1课时 解一元一次方程-合并同类项 5.1 从算式到方程 【边学边练】 1.D 5.1.1方程 2.x=-6 【边学边练】 3.D 1.B 2. B 3.D 4.D 5. B 4.解:(1)2x-4x-3x=5.-5x=5.x=-1 【随堂小测】 ($2) 11t-7=12xi(-4)4x=-48,x=-12 1.B 2.C 3. B 4.A 5.A 6. D 7. D 【随堂小测】 8.3 9.解:把x=3代入方程,左边4x+5-4x3+5=17. 1.A 2.B 3.D 4.-2025 5.133 右边8x-3=8x3-3-21. 8 因为左边;右边,所以x=3不是方程的解 6.3x+x+4x=10 7.3 把x=2代入方程,左边4x+5=4x2+5=13 8.解:(1)原方程合并同类项,得x=11 右边8x-3-8x2-3=13 鱼人 (2)原方程合并同类项,得-6x=4 因为左边=右边. ]系数化为1.得x=- 所以x=2是方程的解 117