第3章 1 探索勾股定理-【一课通】2024-2025学年七年级上册数学随堂小练习(五四制鲁教版)

8 第三章 勾股定理 1探索勾股定理 第1课时探索勾股定理 【边学边练】 知识点勾股定理 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果a=5,b=12,则c= 2.如果梯子的底端离建筑物6m,那么10m长的梯子可以达到该建筑物的高度是 m. 【随堂小测】 1.(教材改编题)下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的， 每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积.其中S的值恰好等于10的是 B D 2.(易错题)一直角三角形的三边分别为2,3，x,那么以x为边长的正方形的面积为 A.13 B.5 C.13或5 D.4 3.如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B,然后把中点C向上拉升 3cm至D点，则橡皮筋被拉长了 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm A 第3题图 第4题图 4.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中 阴影部分的面积为 41 5.(核心素养·几何直观)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所 示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD 777777777777777777777 第5题图 第6题图 6.《九章算术》勾股卷有一题目：“今有垣高一丈.依木于垣，上于垣齐.引木却行四尺， 其木至地，问木长几何？”意思是一道墙高一丈，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙 头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺 时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长 尺.(1丈=10尺) 7.(核心素养·模型观念)七年级十一班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量 如图的风筝的高度CE,测得如下数据： ①测得BD的长度为8m;(注：BD⊥CE) ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17m; ③牵线放风筝的松松身高1.6m. (1)求风筝的高度CE: (2)若松松同学想风筝沿CD方向下降9m,则他应该往回收线多少米？ 42 8 第2课时 验证勾股定理 【边学边练】 知识点勾股定理的验证 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如 图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB'CD'的位置，连接CC'.设AB=a,BC=b, AC=c,请利用四边形BCC'D'的面积验证勾股定理a2+b2=c2. a B 【随堂小测】 1.历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三 角形的边AE和EB在一条直线上.验证中用到的面积相等的关系是 () A.S△Fn1=SACER B.S△BM+S△cEB=SACDE C.S四边形CDAB=S四边形CDFB D.SAEDA+SACDE+S△CBB=S四边形ABCD b E 图1 图2 第1题图 第2题图 2.(传统文化)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中 早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正 方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定 能求出 A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 43 3.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正 方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNPQ的面积分别为S1,S2,S,若S,+S2+S3= 60,则S2的值是 A.12 B.15 C.20 D.25 ☒ 图1 图2 第3题图 第4题图 4.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围 成的.在Rt△ABC中，若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直 角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图2 中的实线)是 5.（核心素养·运算能力)某一年在北京召开了国际数学家大会，会标取材于我国古 代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角 三角形的较短直角边为a,较长直角边为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2 的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 图1 图2 6.小颖用四块完全一样的长方形方砖恰好拼成如图1所示图案.如图2，连接对角线 后，她发现该图案中可以用“面积法”采用不同方案去验证勾股定理.设AE=a,DE =b,AD=c,请你找到其中一种方案证明a2+b2=c2. 图1 图2 44综上可知，∠B的度数为65°或25.故选C 故这个等腰三角形各内角的度数是150°，15°，15°或 D 30°，75°，75 图1 图2 8.A【解析】①当△ABC为锐角三角形时，如图1， 因为DE垂直平分AB,所以AE=BE. 图2 所以∠BAC=∠ABE. 4利用轴对称进行设计 因为∠AEB=70°， 【边学边练】 所以LBAC=∠ABE=2×(180°-LAEB)=5, 1.A2.A ②当△ABC为纯角三角形时，如图2. 【随堂小测】 因为DE垂直平分AB,所以AE=BE 1.C 所以∠BAE=∠ABE. 2.C【解析】轴对称图形如图所示： 因为∠AEB=70°， 所以LB4E=行×(180P-LAB)=50 所以∠BAC=180°-∠BAE=125 综上，∠BAC的度效为55°或125°.故逸A. 故符合选取条件的空白小等边三角形有4个，故 选C 3.D 4.D【解析】严格按照图中的顺序向上对折，向右对 折，从右下角剪去一个四分之一圆，从左上角和左下 图1 图2 角各剪去一个直角三角形，展开得到D中的图案，故 9.解：根据题意，分两种情况： 选D ①当△ABC为锐角三角形时，如图1.因为AB=AC, 5.D ∠ABD=20°.BD⊥AC. 6.5 如图所示 所以∠A=90°-∠ABD=90°-20°=70° 所以∠ABC=∠C=(180°-70)÷2=55 ②当△ABC为纯角三角形时，如图2. 图区母田 因为AB=AC,∠ABD=20°，BD⊥AC, 所以∠DAB=70°.所以∠BAC=180°-∠DAB=110°. 7.解：如图所示.（答案不唯一） 所以∠ABC=∠C=(180°-110)÷2=35°. 所以底角的度数为55°或35. 第三章勾股定理 1探索勾股定理 图1 图2 第1课时探索勾股定理 10.解：①当△ABC是锐角三角形时.如图1. 【边学边练】 在△4GD中，D=4C, 1.132.8 所以∠A=30°，∠B=∠ACB=75 【随堂小测】 ②当△ABC是钝角三角形时，如图2， 1.D【解析】A,由勾股定理，得S=5+15=20,故本选 项不符合题意：B.由勾股定理，得S=8+6=14,故本 在R△ABD中，BD=2AB, 选项不符合题意：C.由勾股定理，得S=8-6=2,故 所以∠DAB=30°.所以∠BAC=150 本选项不符合题意；D.由勾股定理，得S=15-5= 所以∠ABC=∠ACB=15°， 10,故本选项符合题意.故选D. 104 2.C【解析】当2和3都是直角边时，则x2=4+9=2.C【解析】设直角三角形的斜边长为c,较长直角边 13:当3是斜边时，则x2-9-4-5.故选C 长为b,较短直角边长为a. 3.A 由勾股定理，得c2=a2+b, 4号 阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab= a(a+b-c),较小两个正方形重叠部分的长=a,宽= 5.20【解析】因为AC⊥BD. a-(c-b),则较小两个正方形重叠部分的面积= 所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90° a(a+b-c),所以知道图中阴影部分的面积，则一定 由勾股定理，得AB+CD2=A0+B0+C02+D0, 能求出较小两个正方形重叠部分的面积.故选C AD3+BC=A0+D03+B0+C0, 3.C【解析】设每个小直角三角形的面积为m, 所以AB+CD2=AD32+BC2 则S,=4m+S2,S=S2-4m 因为AD=2.BC=4. 因为S1+S,+S=60, 所以AB2+CD=22+42=20. 所以4m+S2+S2+S2-4m=60,即3S=60. 6.14.5【解析】如图，设木杆AB长 解得S2=20.故选C 为x尺，则木杆底端B离墙的距离 4.76 即BC的长有(x-4)尺 5.27【解析】由题意，得题图1中a2+2-15,(b-a)月 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 =3. AC +BC =AB, 题图2中大正方形的面积为(a+b) 即102+(x-4)2=x2.解得x=14.5. 因为(b-a)2=3,即a2-2ab+b=3, 7.解：(1)在R△CDB中，由勾股定理， 所以15-2ab=3.所以2ab=12. 得CD=BC2-BD2=172-82=225. 所以(a+b)2=a2+2ab+b2=15+12=27. 所以CD=15m. 6.解：因为AE=a,DE=b,AD=c, 所以CE=CD+DE=15+L.6= 16.6(m) 所以SE方形F=Ef=(a+b)入，SE方带EeM=4SaAD+ 所以风筝的高度CE为16.6m. S运ew=4x2b+2=2ab+ (2)如图.设风筝下降至点M处. 77777777777 因为(a+b)2=2ab+e2,所以a2+62=c2 由题意，得CM=9m.所以DM=GD-CM=6m 2 一定是直角三角形吗 所以BM=BD+Dr2=82+62=100. 【边学边练】 所以BM=I0m 所以BC-BM=7m. 1.C2.合格 所以他应该往回收线7m, 3D【解标1A(+(兮)一(，不能构成直 第2课时验证勾股定理 角三角形，故不符合题意： 【边学边练】 B.4+52+6,不能构成直角三角形，故不符合题意： 解：因为四边形BCCD'为直角梯形， C.0.32+0.4=0.5,能构成直角三角形，但不是整 所以ew=支(Bc+Cp)·D.a± 数，故不符合题意； 2 D.92+402=412,能构成直角三角形，且9,40,41是 因为Rt△ABC≌Rt△AB'C, 正整数，故符合题意.故选D. 所以∠BAC=∠B'AC, 【随堂小测】 所以∠CAC”=∠CAB'+∠B'AC=∠CAB'+∠BAC 1.C【解析】A.由a2+b2-c2=0可得a2+b2=c2,故 =90° △ABC是直角三角形： 所以S棉形CD=S△c+SaCc+Sap B.设a=3m,b=4m,c=5m,(3m)2+(4m)2= =w++w20 (5m),故△ABC是直角三角形： 2 C.因为∠A:∠B:∠C=3:4:5,所以∠C=180°× 因为a+b)_c+2b,所以02+B=2 5 4 2 2 3+4+5=75°，∠B=180°×3+4+5=60°，∠A= 【随堂小测】 3 1.D【解析】从整体看，可按梯形的面积公式计算梯形 180°×3+4+5=45°，故△ABC不是直角三角形： 的面积：从部分看，直角梯形的而积等于三个直角三 D.因为∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°，所 角形的而积和.故选D. 以∠C=90°.故△ABC是直角三角形.故选C. 105