第2章 3 简单的轴对称图形-【一课通】2024-2025学年七年级上册数学随堂小练习(五四制鲁教版)

可可栽“ 8 3简单的轴对称图形 第1课时线段的轴对称性 【边学边练】 知识点一线段的轴对称性 1.线段的对称轴有 条，分别是 知识点二线段垂直平分线的性质 2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点.已知线段PA=5, 则线段PB的长度为 () A.6 B.5 C.4 D.3 第2题图 第3题图 知识点三线段垂直平分线的尺规作图 3.如图，在△ABC中，AB=AC=6,BC=4.5,分别以点A,B为圆心，4为半径画弧交于 两点，过这两点的直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长是 【随堂小测】 1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是 A.AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D.△BEC≌△DEC EG 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB,FG垂直平分AC,BC=13cm,则△AEG的周 长为 () A.6.5 cm B.13 cm C.26 cm D.15 cm 29 3.如图是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是 A.∠B=45° B.AE=BE C.AC=BC D.AB⊥CD 知 第3题图 第4题图 4.(易错题)如图，∠AOB内有一点P,P,,P2分别是点P关于OA,OB的对称点，PP 交OA于点M,交OB于点N.若△PMN的周长是5cm,则P,P2的长为 () A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm 5.(核心素养·推理能力)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于 点E.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为 D A.8 B.11 C.16 D.17 6.如图，已知直线1∥12，直线13分别与11,2交于点A,B.请用尺规作图法，在线段AB 上求作点P,使点P到(，2的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法） 7.如图，DE垂直平分△ABC的边AB,交AB于点D,交BC于点E.已知AB=I2cm,BC =14cm,AE=7cm,求AD和CE的长度 30 8 第2课时 角的轴对称性 【边学边练】 知识点一角平分线的性质 1.下列各图中，OP是∠MON的平分线，点E,F,G分别在射线OM,ON,OP上，则可以 解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是 A D 2.如图，OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,下列结论中不一定成立 的是 A.PA=PB B.P0平分∠APB C.OA =OB D.AB垂直平分OP 知识点二角平分线的尺规作图 3.如图，两条公路OA和OB相交于点O,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一 个货站P到两条公路OA,OB的距离相等，且到两工厂C,D的距离也相等，用尺规 作出货站P的位置.（要求：不写作法，保留作图痕迹） D /0 B 【随堂小测】 1.（易错题)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3,BC=5,对角线BD平分 ∠ABC,则△BCD的面积为 () A.7.5 B.8 C.15 D.无法确定 31 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC, AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于)MN的长为半径画弧，两弧交于点P, 作射线AP交边BC于点D.若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是 A.15 B.30 C.45 D.60 第2题图 第3题图 第4题图 3.（核心素养·几何直观)在正方形网格中，M,N,P,Q均是格点，∠AOB的位置如图 所示，则到∠AOB的两边距离相等的格点是 ( A.点M B.点N C.点P D.点Q 4.(核心素养·模型观念)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC,BA上分别 截取BE,BD,使BE=BD:分别以点D,E为圆心，以大于2DE的长为半径作弧，两弧 在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=I,P为AB上一动点，则GP 的最小值为 ( A.无法确定 B C.1 D.2 5.如图.△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60.其三条角平分线交于点O,则 S△AB0S△BC0S△cM0= 6.（核心素养·推理能力)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD. (1)作∠BAC的平分线，交BC于点E:(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接DE,试说明AB⊥DE 32 8 第3课时等腰三角形的轴对称性（一） 【边学边练】 知识点一等腰三角形的性质 1.若等腰三角形的顶角为100°，则它的底角度数为 A.80° B.50 C.40 D.20° 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BC的中点为E,BD⊥AC,垂足为D.若∠EAD=21°，则 ∠ABD= AA 第2题图 第3题图 知识点二等边三角形的性质 3.如图，以点0为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A,再以点A为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B,画射线OB,则∠AOB= 【随堂小测】 1.如图，在等腰三角形ABC中，点D,E分别在腰AB,AC上，添加下列条件，不能判定 △ABE≌△ACD的是 A.AD=AE B.BE CD C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC 第1题图 第2题图 2.如图，AB∥CD,△ACE为等边三角形，∠DCE=40°，则∠EAB等于 A.40 B.30 C.20° D.15o 3.(易错题)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为20°，则该三角形的一个底 角为 A.55 B.35 C.70°或20 D.55°或35 33 4.（核心素养·推理能力)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的， 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角.这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可 在槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是 () A.60° B.65 C.75 D.80 0 D 第4题图 第5题图 5.(核心素养·几何直观)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点.若AB=AD=DC, ∠BAD=44°，则∠C的大小为 6.如图，在△ABC中，∠A=40°，点D,E分别在边AB,AC上，BD=BC=CE,连接CD, BE.若∠ABC=80°，求∠BDC,∠ABE的度数. 7.(核心素养·推理能力)如图，已知△ABC为等边三角形，点E,F分别在BC,CA上， 且BE=CF.直线BF与AE相交于点P.试说明∠BAE=∠CBF 34 >8 第4课时等腰三角形的轴对称性（二） 【边学边练】 知识点一等腰三角形的判定 1.将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm,则AC= cm. 知识点二等边三角形的判定 2.如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，BE⊥AC于点D,且DE=DB,试判断 △CEB的形状，并说明理由. 知识点三含30°角直角三角形的性质 3.（必考题)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC上一点，AD⊥AC,AD= 4cm,则BC的长为 cm. 【随堂小测】 1.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取 BE=BC,连接DE,则图中的等腰三角形共有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 35 2.如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A,B是两格点，如果C也是图 中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是 () A.6 B.8 C.9 D.10 B 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm,那么BC 4.(核心素养·模型观念)如图，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，D为OC上 一点，过点D作直线DE⊥OA,垂足为E,且直线DE交OB于点F.若DE=2,则DF 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠BAC的平分线分别交BC,CD 于点E,F.试说明△CEF是等腰三角形. 6.如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠A=36° (1)在AC上作一点D,使AD=BD:(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和 说明) (2)试说明△BCD是等腰三角形 36(3)如图3，△DEF即为所求.（答案不唯一） 所以∠APO=∠BPO,OA=OB. P 所以PO平分∠APB. 故A,B,C正确，不符合题意： 图为PA=PB,OA=OB, 所以OP垂直平分AB,但AB不一定垂直平分OP,故 D错误，符合题意.故选D. 图 图2 图3 3.解：如图所示，点P即为所求作 3简单的轴对称图形 第1课时线段的轴对称性 【边学边练】 1.两线段所在的直线及线段的垂直平分线 2.B 3.10.5【解析】由题意可知过这两点的直线是AB边 【随堂小测】 的垂直平分线，所以BD=AD. 1.A 所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC= 2.B【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E.由题意， AC+BC=6+4.5=10.5. 得AP是∠BAC的平分线. 【随堂小测】 又国为∠C=90°，所以DE=CD=4, 1.C2.B3.A 所以△MBD的面积=】AB·DB=2×15x4=30 4.B【解析】因为点P与点P,关于OA对称， 故选B. 所以OA为线段PP,的垂直平分线。 所以MP=MP 同理，NP=NP2 因为△PMN的周长为5cm. 所以PP2=MP,+MN+NP3=MP+MN+NP=5Cm 3.A【解析】由图可知，点M在∠AOB的平分线上，点 故选B. P,Q,N不在∠AOB的平分线上，所以点M到∠AOB 5.B【解析】因为DE垂直平分AB, 的两边的距离相等，故选A, 所以AE=BE 所以△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE= AC+BC=5+6=1L.故选B. 6.解：如图，作出线段AB的垂直平分线，点P即为所 求作 4.C 【解析】如图，过，点G作GH⊥AB于点. 11 7.解：因为DE是AB的垂直平分线， 由作图可知，GB平分∠ABC 所以AD=2AB=6em,BE=AB=7m 图为GH⊥BA,GC⊥BC,所以GH=GC=L. 根据垂线段最短可知，GP的最小值为L.故选C 所以EC=BC-BE=14-7=7(m) 5.4:5:6【解析】由角平分线的性质可得△AB0, 所以AD=6cm,CE=7cm. △BC0O,△C4O的高都相等，故面积比等于底的比，即 第2课时角的轴对称性 4:5:6. 【边学边练】 6.解：(1)如图，AE即为∠BAC的平分线. 1.D 2.D【解析】因为OP平分∠AOB,PA⊥OA.PB⊥OB. 所以∠AOP=∠BOP,∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB. 所以△OPA兰△OPB(AAS). 101 (2)如图，连接DE. 7.解：因为△ABC是等边三角形， 由(I)知∠CAE=∠DAE. 所以∠ABC=∠C,AB=BC. 在△MCE和△ADE中， AB=BC. AC=AD, 在△ABE和△BCF中， ∠ABE=∠C, ∠CAE=∠DAE. BE =CF. AE=AE. 所以△ABE≌△BCF(SAS).所以∠BAE=∠CBF 所以△ACE≌△ADE(SAS). 第4课时 等腰三角形的轴对称性（二）】 所以∠ACE=∠ADE. 【边学边练】 又因为∠ACB=90°」 1.6 所以∠ADE=90°.所以AB⊥DE 2.解：△CEB是等边三角形.理由如下： 第3课时 等腰三角形的轴对称性（一）】 因为AB=BC,∠ABC=120°，BE⊥AC, 【边学边练】 所以∠CBE=∠ABE=60. 1.C 又因为DE=DB,BE⊥AC,所以CB=CE. 2.48°3.60 所以△CEB是等边三角形 【随堂小测】 3.12【解析】因为AB=AC,∠BAC=120°， 1.B 所以∠B=∠C=30. 2.C【解析】因为△ACE为等边三角形， 因为AD⊥AC,所以∠DAC=90° 所以∠ECA=∠EAC=60° 所以∠BAD=∠B=30°.所以BD=AD=4Cm 图为AB∥CD,所以∠DCA+∠BAC=180 所以CD=2AD=8cm. 所以∠DCE+∠ECM+∠EAC+∠EAB=180° 所以BC=BD+CD=12cm 因为∠DCE=40°， 【随堂小测】 所以40°+60°+60°+∠EAB=180° L.D【解析】利用等角对等边进行判定，共5个，分别是 解得∠EAB=20.故选C △ADE,△BDE,△BCD,△ABD,△ABC.故选D. 3.D 2.D【解析】如图，分情况讨论： 4.D【解析】因为OC=CD=DE, 所以∠O=∠ODC,∠DE=∠DEC 因为∠DCE+∠OCD=180°， ∠0+∠ODC+∠0CD=180°， 所以∠DCE=∠0+∠ODC=2∠O. 同理可得∠BDE=∠0+∠DEC=3∠0=75. ①AB为等腰三角形ABC的底边时，符合条件的点C 所以∠0=25°. 有6个；②AB为等腰三角形ABC其中的一条腰时，符 所以∠DCE=∠DEC=50 合条件的点C有4个.故选D. 所以∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=80°.故选D. 3.12cm【解析】固为∠ACB=30°，∠BAC=90°，所以 5.34°【解析】图为AB=AD,所以∠B=∠ADB. ∠ABC=60°.因为AD是高，所以∠BAD=30°，因为 因为∠BAD=44°， BD=3cm,所以AB=6cm.所以BC=12cm 所以∠ADB=号x(180-∠BAD)=180°24 4.4【解析】如图，过点D作DM⊥OB,垂足为M =68 因为OC是∠AOB的平分线，DE⊥OA,所以DM=DE 所以∠ADC=180°-∠ADB=112 =2. 图为AD=DC,∠C+∠DAC+∠ADC=180°， 在R△OEF中，∠OEF=90°，∠EOF=60°，所以 所以∠C=∠D4C=x(180-LA0)=4 ∠0FE=30°，即∠DFM=30°. 所以DF=2DM=4. 6.解：因为∠ABC=80°，BD=BC 所以LBDC=LBCD=号×(I80°-∠ABC)=50 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=I80°， 因为∠A=40°， B 所以∠ACB=180°-∠A-∠ABC=60°. 5.解：因为∠ACB=90°， 因为CE=BC,所以∠EBC=60 所以∠B+∠BAC=90°， 所以∠ABE=∠ABC-∠EBC=20 因为CD⊥AB,所以∠CAD+∠ACD=90° 102 所以∠ACD=∠B. 故三角形三个内角的度数分别为30°，30°，120°； 因为AE是∠BAC的平分线， ②当较大角为底角时，设较小角为x,则x+4x+4x= 所以∠CAE=∠BAE 180°.解得x=20°.则4x=80°. 因为∠BAE+∠B+∠AEB=180° 故三角形三个内角的度数分别为20°，80°.80° ∠CAE+∠ACD+∠AFC=18O°， 综上所述，三角形三个内角的度数分别为30°，30°， 所以∠AEB=∠AFC.因为∠CFE=180°-∠AFC, 120°或20°，80°，80 ∠CEF=180°-∠AEB,所以∠CFE=∠CEF. 5.解：根据题意，分两种情况： 所以CF=CE.所以△CEF是等腰三角形. 6.解：(1)如图，点D即为所作 ①若12是腰长加腰长的一半，则胶长为12×子=8， 底边长为6-8×号=2。 此时三角形的三边长为8,8,2，能组成三角形： ②若6是腰长加腰长的一半，则腰长为6×子号=4，底 (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C= 2×(180° 边长为12-号×4=10. 36)=72 此时三角形的三边长为4,4,10，不能组成三角形 因为DA=DB,所以∠ABD=∠A=36 故该等腰三角形的腰长和底边长分别为8,2. 所以∠BDC=180°-∠ADB=180°-(180°-∠A- 6.解：如图，等腰三角形ABC,AB=AC,CD为AB边上的 ∠ABD)=∠A+∠ABD=36°+36°=72 中线 所以∠BDC=∠C. 所以△BCD是等腰三角形 小专题2等腰三角形的分类讨论问题 1.8或2【解析】当腰长为8时，底长为18-8×2=2， 2+8>8,能构成三角形： 设等腰三角形的腰长是xcm. 当底长为8时，腰长为(18-8)÷2-5,5+5>8，能构 成三角形.故底边长是8或2 ①当A+AC与BC+BD的差是3m时，即+x 2.解：因为等腰三角形一边长为12m,且腰长是底边 长的子， (宁+6)=3解得=9 9cm,9cm.6cm能够组成三角形； ①如果腰长为12em,则底边为12÷}=16(cm), ②当BC+BD与AD+AC的差是3em时，即6+ 2 等腰三角形的三边为12cm,I2cm,I6cm,能构成三 角形，所以三角形的周长=12+12+16=40(cm). 1 2*+x=3.解得x=3 ②如果底边长为12cm,则腰长为12×子=9(cm), 3cm,3cm,6cm不能组成三角形 等腰三角形的三边为12cm,9cm,9cm,能构成三角 所以这个等腰三角形的腰长是9©m. 形，所以三角形的周长=9+9+12=30(cm). 7.C【解析】①当△ABC为锐角三角形时，如图1，设 3.B【解析】当∠B是顶角时， AB的垂直平分线交线段AC于点D,交AB于点E. 因为△ABC是等腰三角形，所以∠C=∠A=70 因为∠ADE=40°，DE⊥AB, 所以∠B=180°-∠A-∠C=40° 所以∠A=90°-40°=50°. 当∠B是底角时，若∠A也是底角， 图为AB=AC,所以∠B=号×(180-LA)=650 所以∠B=∠A=70°. 当∠B是底角时，若∠A是顶角， 2当△ABC为钝角三角形时，：图2，设AB的垂直平 所以LB=∠C 分线交AB于点E,交CA的延长钱于，点D. 所以∠B=LG=7×(180-LA)=55 图为∠ADE=40°，DE⊥AB,所以∠DAB=50 所以∠BAC=130°. 综上所述，∠B可能为40°，55°，70°.故选B. 因为AB=AC, 4.解：①当较小角为底角时，设较小角为x,则x+x+4x =180°.解得x=30°，则4x=120°. 所以∠B=∠C=2×(180°-130°)=250 103