第1章 1 认识三角形-【一课通】2024-2025学年七年级上册数学随堂小练习(五四制鲁教版)

>8 第一章三角形 1认识三角形 第1课时 三角形及其内角和（一） 【边学边练】 知识点一认识三角形 1.如图，以∠1为内角的三角形是 和 ,∠1在相应的三角形中所对应 的边是 和 知识点二三角形的内角和 2.如图，AB∥CD,DB⊥BC,∠2=50°，则∠1的度数是 A.40° B.50 C.60° D.140° B x+12) D x-6°入 第2题图 第3题图 3.（教材改编题)如图，该图形中的x的值为 【随堂小测】 1.如图所示，三角形的个数是 ( A.3 B.4 C.5 D.6 2.三角形中至少有一个角大于或等于 ( A.45° B.55 C.60° D.65° 3.如图，一根直尺EF压在三角板30°的∠BAC上，与两边AC,AB分别交于点M,N.那么 ∠CME+∠BNF等于 () A.150° B.180° C.135° D.不能确定 第3题图 第5题图 第6题图 4.(核心素养·推理能力)在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则() A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45° C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90° 5.(教材改编题)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，点F在BC的延长线 上，DE∥BC,∠A=46°，∠1=52°，则∠2= 6.将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为 7.(易错题)已知在△ABC中，∠A=60°，∠B比∠A小15°，求∠C的度数. 8.(核心素养·运算能力)在△ABC中，∠B=2∠A,∠C=∠B+30°，求△ABC的各内 角的度数 2 8 第2课时 三角形及其内角和（二） 【边学边练】 知识点一三角形按角分类 1.判断对错（对的在括号里打“√”，错的打“×”） (1)一个三角形至少有两个内角是锐角， (2)在一个锐角三角形中，任意两个锐角之和一定大于90°. ( 2.在△ABC中，若∠A-∠B=∠C,则此三角形是 ( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定 知识点二直角三角形的表示法 3.在△ABC中，∠C=90°，则该三角形的斜边是 ,或表示为 知识点三直角三角形的性质 4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是 A.120 B.90 C.60° D.30° 5.已知∠A=53°，∠B=37°，则△ABC为 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 【随堂小测】 1.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是( B D 2.如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，BE⊥AC于点E,交CD于点F.若∠C=43°，则 ∠B的度数为 () A.43 B.45° C.47o D.40° 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,图中与∠A互余的角有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 第3题图 第4题图 4.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠aα的大小为 () A.85 B.75 C.65 D.60° 5.（核心素养·推理能力)在下列条件：①∠A+∠B=∠C:②∠A:∠B:∠C=5: 3:2:③∠A=90°-∠B:④∠A=2∠B=3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条 件有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2=65°，则 ∠1的度数是 7.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,且BD,CE交于点O.若∠ABC =55°，∠ACB=75°，求∠B0C的度数. >8 第3课时 三角形的三边关系 【边学边练】 知识点一三角形按边分类 1.如图所示，图中小椭圆圈里的A表示 ( A 等腰三角形 不等边 三角形 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 知识点二三角形的三边关系 2.若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是 A.14 B.10 C.3 D.2 3.下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是 A.3.4.5 B.5.7.7 C.5.7.12 D.6,8,10 【随堂小测】 1.用一根小木棒与两根长分别为3cm,6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长 度可以为 ( A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 2.已知三角形的两边长分别为5和6，第三边长是奇数，则第三边长不可以是() A.5 B.7 C.9 D.11 3.长为9,6,5,4的四根木条，选其中三根组成一个三角形，选法有 ( A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 4.一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为 ( A.17 B.15 C.13 D.13或17 5 5.（核心素养·模型观念)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不 计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2,3,4,6，且相邻两木条的夹角均可调 整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝之间距离的最大值为 A.10 B.8 C.7 D.5 6.（易错题)已知一个三角形的三条边长分别为2,8，x,若其周长是偶数，则x的值是 :若x是奇数，则x的值是 7.现有两根长分别为4cm和6cm的木棒，小明想将其中一根分成两段，做成一个三 角形，且三角形的三边均为整数，则可采用的方案有 种 8.(核心素养·推理能力)已知a,b,c是△ABC的三边，a=4,b=6,设三角形的周长 是x (1)直接写出c及x的取值范围： (2)若x是小于18的偶数， ①求c的长； ②判断△ABC的形状. 6 8 第4课时三角形的中线与角平分线 【边学边练】 知识点一三角形的中线 1.三角形的重心一定在三角形的 () A.内部 B.外部 C.边上 D.以上都有可能 2.在△ABC中，AC=5cm,AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大 2cm,则AB= 知识点二三角形的角平分线 3.下面说法正确的是 A.连接三角形的顶点和它的对边中点的线，叫做三角形的中线 B.三角形的中线小于任何一条边 C.三角形的三条内角平分线都在三角形内 D.AM是△ABC的中线，则AM=CM 4.如图所示，BD平分∠ABC,DE∥BC,且∠D=30°，则∠AED的度数为 A.50° B.60° C.70° D.80° 【随堂小测】 1.(易错题)下列对三角形的角平分线叙述正确的是 A.三角形的角平分线是一条射线 B.三角形的高可以在三角形的内部，也可以在三角形的外部 C.三角形的角平分线可能在三角形的外部 D.三角形的一条角平分线将三角形分成面积相等的两部分 2.如图，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，以下结论正确的是 A.BC=2AD B.AF=- C.AD=CD D.BE CF 7 3.(核心素养·推理能力)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB,则 ∠ADC的度数是 () A.80° B.90° C.100° D.110° 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 5.如图，在△ABC中，三角形的角平分线交于点P,则∠PBA+∠PAC+∠PCB= 第5题图 第6题图 6.（核心素养·推理能力)如图，BE,CF是△ABC的两条角平分线，AD,BE,CF交于一 点，若∠BAC=64°，则∠DAC= 7.如图，在△ABC中，已知D,E,F分别是BC,AD,EC的中点，且SaAc=4cm2,求 △BEF的面积 8.如图，在△ABC中(AB>BC),AB=2AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分成30 和20两部分，求AB和BC的长. 8 8 第5课时 三角形的高 【边学边练】 知识点三角形的高 1.对于一个三角形来说，在它的内部的高的条数至少是 A.0 B.1 C.2 D.3 2.用三角板作△ABC的BC边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是 【随堂小测】 1.下列叙述中错误的一项是 A.三角形的中线、角平分线、高都是线段 B.三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部 C.只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形 D.三角形的三条角平分线都在三角形内部 2.如图，AD⊥BC,垂足为D,∠BAC=∠CAD,下列说法正确的是 A.直线AD是△ABC的BC边上的高 B.线段BD是△ABD的AD边上的高 C.射线AC是△ABD的角平分线 D.△ABC与△ACD的面积相等 3.如图，CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角，则 A.线段CD是△ABC的AC边上的高线 B.线段CD是△ABC的AB边上的高线 C.线段AD是△ABC的BC边上的高线 D.线段AD是△ABC的AC边上的高线 4.(教材改编题)如图是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图案中小正方形 的边长都是1，则阴影部分的面积是 5.(易错题)如图，若H是△ABC三条高AD,BE,CF的交点，则△BHA中BH边上的高 是 第5题图 第6题图 6.如图，能以AD为高的三角形共有 个 7.(核心素养·推理能力)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高， AB =10 cm,BC =8 cm,AC =6 cm. (1)求CD的长； (2)若AE是BC边上的中线，求△ABE的面积 10参考答案及解析 (部分答案不唯一)》 第一章三角形 3.AB c 4.D 5.B 1认识三角形 【随堂小测】 1.C【解析】A.知道两个角，可以计算出第三个角的度 第1课时 三角形及其内角和（一）】 数，因此可以判断出三角形的类型：B.露出的角是钝 【边学边练】 角，因此是钝角三角形：C.露出的角是锐角，其他两 1.△BEF△ABD EF AD 角的大小都不知道，因此不能判断出三角形的类型： 2.A D.露出的角是钝角，因此是钝角三角形.故选C 3.58【解析】由题意，知(x+12)°+x°+(x-6)°= 2.A【解析】由题意可知，∠B与∠C都是∠A的余角， 180°，解得x=58. 所以∠B=∠C=43°.故选A. 【随堂小测】 3.C【解析】因为∠ACB=90°，CD⊥AB, 1.c 所以∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90 2.C【解析】如果三个内角都小于60°，内角和就小于 所以与∠A互余的角有2个.故选C. 180°，这与三角形三个内角的和等于180°相矛盾.故 4.B【解析】如图所示， 选C. 3.A【解析】根据对顶角相等，所以∠CME=∠AMN, ∠BNF=∠ANM.在△AMN中，内角和为180°， 所以∠CME+∠BNF=∠AMN+∠ANM=180°-30 由一刷三角板的性质可知∠ECD=60°，∠BCA=45°， =150°，故选A. ∠D=90°. 4.D【解析】设在△ABC中，有∠A=∠C-∠B, 所以∠ACD=∠ECD-∠BCA=60°-45°=15° 所以∠C=∠A+∠B.因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠a=180°-∠D-∠ACD=180°-90°-150= 所以2∠C=180°.所以∠C=90 75°.故选B. 所以必有一个内角等于90°.故选D. 5.C【解析】①因为∠A+∠B=∠C, 5.98【解析】因为∠A=46°，∠1=52" 所以2∠C=180°，所以∠C=90° 所以∠AED=180°-∠A-∠1=180°-46°-52°= 所以△ABC是直角三角形. 82°.所以∠DEC=180°-∠AED=180°-82°=98 ②因为∠A:∠B:∠C=5:3:2 因为DE∥BC,所以∠2=∠DEC=98° 所以设∠A=5r,则∠B=3x,∠C=2x 6.15o 则5x+3x+2x=180°. 7.解：因为∠A=60°，∠B比∠A小15°， 解得x=18°，所以∠A=18°×5=90° 所以∠B=60°-15°=45 所以△ABC是直角三角形. 又因为∠A+∠B+∠C=180°. ③因为∠A=90°-∠B,所以∠A+∠B=90 所以60°+45°+∠C=180°. 所以∠C=180°-90°=90°. 所以△ABC是直角三角形 所以∠C=180°-105°=75 ④因为∠A=2∠B=3∠C 8.解：设∠A=x°，则∠B=2.x°，∠C=2x°+30° 因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠A+∠B+∠C=∠A+ 2∠4+1 ∠A=180 所以x+2x+2x+30=180.解得x=30, 所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°. 所以4=( 第2课时 三角形及其内角和（二） 所以△ABC为纯角三角形. 【边学边练】 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个 1.(1)V(2)V 故选C 2.B【解析】固为∠A-∠B=∠C, 625°【解析】如图，延长EF交BG于点G 所以∠A=∠B+∠C 因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以2∠A=180°，所以∠A=90. 所以△ABC是直角三角形.故远B. 95 由题意，得AD∥BC,所以∠2=∠3=65 当6分为2和4时，因为2+4>4. 又因为是含有30°角的直角三角板， 所以以2,4,4为边长可以构成三角形 所以∠1=90°-65°=25°. 当6分为3和3时，因为3+3>4， 7.解：因为BD⊥AC,CE⊥AB 所以以3,3,4为边长可以构成三角形 所以△CEB与△BDC是直角三角形 综上所递，可以构成三角形的方案有2种，分别为2， 所以∠ABC+∠ECB=90°，∠ACB+∠DBC=90°. 4.4和3,3.4. 因为∠ABC=55°，∠ACB=75° 8.解：(1)因为a=4,b=6,所以2<e<10 所以∠ECB=35,∠DBC=15 所以周长x的范围为12<x<20, 所以在△OBC中，∠B0C=180°-∠ECB-∠DBC= (2)①因为x为小于18的偶数， 180°-35°-15°=130 所以x=16或14. 第3课时三角形的三边关系 当x为16时，c=6:当x为14时，c=4. 【边学边练】 ②当e=6时，b=C,△ABC为等腰三角形： 1.D【解析】因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所 当c=4时，a=c,△ABC为等腰三角形. 以A表示的是等边三角形故选D. 综上所述，△ABC是等腰三角形. 2.B3.C 第4课时三角形的中线与角平分线 【随堂小测】 【边学边练】 1.D【解析】设第三根木棒的长为xcm,则6-3<x< 1.A【解析】重心是三角形三条边中线的交，点，一定在 6+3,即3<x<9.观察选项，只有选项D符合题意. 三角形内部.故选A 故选D. 2.7cm3.C 2.D【解析】根据题意，得6-5<第三边长<6+5，即 4.B【解析】因为DE∥BC, 1<第三边长<11.因为第三边长是奇数，所以第三边 所以∠DBC=∠D=3O°，∠AED=∠ABC 长可以是3,5,7,9，不可以是11.故选D. 因为BD平分∠ABC,所以∠ABC=2∠DBC=60° 3.C【解析】选其中三根共有4种选法：6,5,4,5+4> 所以∠AED=60°.故选B. 6,能组成三角形：9,5,4,5+4=9，不能组成三角形： 【随堂小测】 9,6,4,4+6>9,能组成三角形：9,6,5,6+5>9，能组1.B2.B 成三角形.故能组成三角形的选法有三种.故选C. 3.C【解析】因为∠A=30°，∠B=50° 4.A【解析】当腰长为3时，三角形三边长分别为3,3， 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=100° 7,3+3<7,不符合三边关系，不能组成三角形：当3 为底边长时，此时三角形三边长分别为3,7,7，能组 国为CD平分∠ACB,所以LACD=号LACB=50, 成三角形.故此三角形的周长为17.故选A 所以∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°.故选C. 5.C【解析】①选2+3,4,6作为三角形，则三边长为4.2【解析】因为AD是BC边上的中线，E为AD的中 5,4,6,5-4<6<5+4,能构成三角形，此时两个螺丝 点，根据等底同高可知，Sa=S么g=1,Sam= 间的最长距离为6：②选3+4,6,2作为三角形，则三 SAAG =2S AARC =2. 边长为2,7,6,6-2<7<6+2，能构成三角形，此时两 5.90°【解析】由角平分线的性质，可得∠PBA+∠PAC+ 个螺丝问的最大距离为7：③选4+6,2,3作为三角 形，则三边长为10,2,3,2+3<10，不能构成三角形， ∠PB=(LCBA+LBAC+LACB)=×180 2 此种情况不成立：④选6+2,3,4作为三角形，则三边 =90 长为8,3.4，而3+4<8，不能构成三角形，此种情况不 6.32°【解析】由于三角形的三条角平分线交于一点， 成立.综上所迷，任意两个螺丝之问距离的最大值为 因此AD也是△ABC的角平分线.所以∠DAC= 7.故选C 2∠BC=32 6.87或9 7.2【解析】若4cm的木棒被分成两段，假设长度为 7.解：因为D是BC的中点 a,b,则0+b=4.因为4<6，所以a+b<6 所以5a=Sam=5ac=2em2 所以以a,b,6为边长无法构成三角形 因为E是AD的中点， 若6cm的木棒被分成两段. 周为三角形的三边均为整数，所以有三种分法， 所以S6继= 2 ×2=1(cm). 当6分为1和5时，因为1+4=5， 1 所以以1,4,5为边长无法构成三角形 Sacme=2SAuc=2x2=1(cm). 96 所以SAE=SAmE+SAE=1+1=2(cm'). 4.B【解析】因为△ABC≌△ADE. 因为F是EC的中点， 所以AC=AE,AB=AD,∠ABC=∠ADE.∠BAC 所以Sr=5s=之×2=1(em2). =∠DAE. 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD 8.解：设AC=x,则AB=2x =∠CME 因为BD是中线，所以AD=DC=之 故A、C、D选项错误，B选项正确.故选B 5.120°6.12 由题意，得2x+之=30解得=2 7.解：(1)因为△ABC≌△DEB,DE=8,BC=5. 则AC=12,AB=24. 所以AB=DE=8,EB=BC=5. 所以AE=AB-EB=8-5=3. Bc=20-Dc=20-7×12=14 (2)因为△ABC≌△DEB. 所以AB=24,BC=14. 所以∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=60. 第5课时 三角形的高 因为∠A+∠ABC+∠C=180°， 【边学边练】 所以∠ABC=180°-∠A-∠C=85 1.B 2.A 所以∠DBC=∠ABC-∠DBE=85°-60°=25 【随堂小测】 8.解： 1.C2.B3.B 4.6.5【解析】题图中阴影部分的面积=4×4- 2 1x4-号x2x2-×2x4-号×3x1=16-2- 画法1 画法2 2-4-1.5=6.5. 5.AE6.10 7.解：(1)因为CD是AB边上的高，∠ACB=90°， 所以SA=74C·BC=AB.GD 画法3 画法4 所以CD=AC:BC_6x8=4.8(cm). (答案不唯一) AB 10 3探索三角形全等的条件 (2因为5am=号4C·0=号×6x8=24(em. 第1课时边边边 AE是BC边上的中线， 【边学边练】 所以5aw=宁5am=子×24=2(cm2). 1.B 2.解：AB∥EC.理由如下： 2图形的全等 因为BC=DF,所以BC+CD=DF+CD,即BD=CF 【边学边练】 在△ABD和△ECF中， 1.D2.C BD=CF, 3.解：∠1=∠2.理由如下： AD=EF, 因为△ABC≌△ADE, LAB =EC, 所以∠BAC=∠DAE. 所以△ABD≌△ECF(SSS). 所以∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠I=∠2 所以∠ABC=∠ECF.所以AB∥EC 【随堂小测】 3.C L.B【解析】A.两个等边三角形不一定全等，例如两个 【随堂小测】 等边三角形的边长分别为3和4，这两个三角形就不 1.B2.D 全等，故此选项错误：B.两个全等的图形面积是一定 3.C【解析】因为BE=DF, 相等的，故此选项正确：C.形状相同的两个图形不一 所以BE+EF=DF+EF.所以BF=DE 定全等，例如边长为3和4的正方形，故此选项错误： 又因为AD=CB,AE=CF D,两个正方形不一定是全等图形，例如边长为3和4 所以△AED≌△CFB(SSS). 的正方形，故此选项错误，故选B 所以∠DAE=∠BCF 2.B3.C 图为∠AEB=100°，所以∠AED=80 97