专题1.1 有理数全章知识典例详解（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版2024）

专题1.1 有理数全章知识典例详解 【苏科版2024】 知识点1 正数和负数 1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数． 2．正数：像30、+6、、这样的数叫做正数，正数都大于零； 3．负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：、、、． 【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略；②数0既不是正数也不是负数． 【典例1】（2024秋•宿松县期末）在，0，﹣（﹣1.5），﹣|﹣5|，，﹣24中，负数有　3　个． 【分析】先将各数化简，然后根据负数的定义判断即可． 【解答】解：是负数， 0既不是正数也不是负数， ﹣（﹣1.5）＝1.5是正数， ﹣|﹣5|＝﹣5是负数， 是正数， ﹣24是负数． ∴负数有3个． 故答案为：3． 【典例2】（2024春•长宁区期中）如果把“增加16%”记作“16%”，那么“　﹣8%　”表示“减少8%”． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：如果把“增加16%”记作“16%”，那么“﹣8%”表示“减少8%”． 故答案为：﹣8%． 【典例3】（2024春•绥棱县校级月考）小明和小佳是同班同学．放学后，两人同时从学校大门处向相反方向回家，小明向北走了800m记作“+800m”，小佳走的路程记作“﹣600m”．这时两人相距 　1400　m． 【分析】根据题意，因为他们行驶的方向相反，所以把两人各自行驶的路程相加即是两人相距的距离． 【解答】解：800+600＝1400（m）， 答：这时两人相距1400m． 故答案为：1400． 【典例4】（2024秋•海沧区期末）巴黎，北京，悉尼同一时刻的当地时间如表．若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为+2，则巴黎时间记为 　﹣6　． 城市 巴黎 北京 悉尼 时间 5：00 11：00 13：00 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为+2，则巴黎时间记为﹣6， 故答案为：﹣6． 知识点2 有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类： （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 【典例1】下列说法中正确的是 　③④⑤⑧　（填序号）． ①整数包括正整数和负整数； ②分数包括正分数、负分数以及0； ③有理数可分为正有理数、0、负有理数； ④0是整数，它既不是正数也不是负数； ⑤有理数不是整数就是分数； ⑥有理数是指整数、分数、0这三类； ⑦所有整数都是正数； ⑧非正整数就是0和负整数； ⑨正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数． 【分析】①利用整数的分类判断即可； ②利用分数的分类判断即可； ③利用有理数的分类判断即可； ④根据0既不是正数也不是负数判断即可； ⑤利用有理数的分类判断即可； ⑥利用有理数的分类判断即可； ⑦利用整数的分类判断即可； ⑧利用非正整数的定义判断即可； ⑨利用有理数的分类判断即可； 【解答】解：①整数包括正整数和负整数和0，故选项①错误； ②分数包括正分数、负分数，故选项②错误； ③有理数可分为正有理数、0、负有理数，故选项③正确； ④0是整数，它既不是正数也不是负数，故选项④正确； ⑤有理数不是整数就是分数，故选项⑤正确； ⑥有理数是指整数、分数，故选项⑥错误； ⑦所有整数是正整数数，负整数、0，故⑦错误； ⑧非正整数就是0和负整数，故选项⑧正确； ⑨正整数、负整数、正分数、负分数，0统称为有理数，故选项⑨错误． 答案：③④⑤⑧． 【典例2】（2024秋•平度市校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号里： ﹣2.5、3.14、﹣2、+72、﹣0.、π、、0、﹣0.010101． 正数集合{ 　3.14，+72，π，　…}； 分数集合{ 　　…}； 非负整数集合{ 　+72，0　…}． 【分析】根据整数集合包括所有的正整数、0和负整数，负分数指既是负数又是分数的数，进行解答即可． 【解答】解：正数集合{ 3.14，+72，π， ……} 分数集合{﹣2.5，3.14，﹣0.，，﹣0.010101……} 非负整数集合{+72，0……） 故答案为：3.14，+72，π，；﹣2.5，3.14，﹣0.，，﹣0.010101；+72，0． 【典例3】（2024秋•松滋市期中）在π，﹣8，2023，3.21，0，，+13.1，，﹣2.5中，正数有m个，负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为 　9　． 【分析】整数和分数统称有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数，根据以上内容求出m、n、k的值，再代入m﹣n+k求出答案即可． 【解答】解：π，﹣8，2023，3.21，0，，+13.1，，﹣2.5中，正数有π，2023，3.21，，+13.1，共5个，负整数有﹣8，共1个，分数有3.21，，+13.1，，﹣2.5，共5个， 所以m＝5，n＝1，k＝5， 即m﹣n+k＝5﹣1+5＝9． 故答案为：9． 知识点3 数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 【典例1】（2024秋•江岸区校级月考）数轴上表示﹣2的点离原点的距离是　2　个单位长度；表示+2的点离原点的距离是　2　个单位长度；数轴上与原点的距离是2个单位长度的点有　2　个，它们表示的数分别是　2或﹣2　． 【分析】根据题意，由数轴上距离原点距离为2的点有2个，为﹣2和2，即可得出结果． 【解答】解：数轴上表示﹣2的点离原点的距离是2个单位长度；表示+2的点离原点的距离是2个单位长度；数轴上与原点的距离是2个单位长度的点有2个，它们表示的数分别是2或﹣2． 故答案为：2；2；2；2或﹣2． 【典例2】（2024秋•巨野县校级月考）已知，，，四个有理数在数轴上所对应的点分别为A、B、C、D，则这四个点从左到右的顺序为　B，A，C，D　，离原点最近的点为　C　． 【分析】求得这四个数的绝对值，绝对值最小的离原点最近，根据有理数的比较方法得到从左到右的顺序即可． 【解答】解：||，||，||，|| ， ∴，， ∴这四个点从左到右的顺序为B，A，C，D，离原点最近的点为C． 【典例3】（2024秋•恩施市期末）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据；则被淹没的整数点有 　69　个，负整数点有 　52　个，被淹没的最小的负整数点所表示的数是 　﹣72　． 【分析】根据数轴的构成可知，﹣72和﹣41之间的整数点有：﹣72，﹣71，…，﹣42，共31个；﹣21和16之间的整数点有：﹣21，﹣20，…，16，共38个；依此即可求解． 【解答】解：由数轴可知， ﹣72和﹣41之间的整数点有：﹣72，﹣71，…，﹣42，共31个；﹣21和16之间的整数点有：﹣21，﹣20，…，16，共38个； 故被淹没的整数点有31+38＝69个，负整数点有31+21＝52个，被淹没的最小的负整数点所表示的数是﹣72． 故答案为：69，52，﹣72． 知识点4 相反数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则a+b=0；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 【典例1】（2024秋•乐至县校级月考）﹣1相反数是　1　；﹣2是　2　的相反数；　　与互为相反数． 【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 【解答】解：﹣1相反数是1； ﹣2是2的相反数； 与互为相反数． 故答案为：1；2；． 【典例2】（2024秋•文峰区校级月考）化简：﹣[+（﹣7）]＝　7　，﹣[﹣（﹣2）]＝　﹣2　，+[﹣（+a）]＝　﹣a　． 【分析】直接根据相反数的意义解答即可． 【解答】解：﹣[+（﹣7）]＝﹣（﹣7）＝7， ﹣[﹣（﹣2）]＝﹣2， +[﹣（+a）]＝+（﹣a）＝﹣a． 故答案为：7，﹣2，﹣a． 【典例3】（2024秋•安阳县月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x的相反数是 　4　． 【分析】直接利用去括号法则以及结合相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：∵﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4， ∴[﹣（﹣x）]＝﹣4， ∴x＝﹣4， 则x的相反数是：4． 故答案为：4． 【典例4】（2024秋•江岸区校级月考）数轴上，若A、B表示互为相反数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8，则这两点所表示的数分别是　4　和　﹣4　． 【分析】数轴上到两点间的距离相等的点所对应的数是表示这两个点所对应的数的平均数，根据题意求解即可． 【解答】解：两点的距离为8，则点A、B距离原点的距离是4， ∵点A，B互为相反数，A在B的右侧， ∴A、B表示的数是4，﹣4． 故答案为：4，﹣4． 【典例5】（2024秋•德惠市校级月考）已知m，n互为相反数，则2m+2n+2　2　. 【分析】直接利用相反数的定义代入得出答案． 【解答】解：∵m，n互为相反数， ∴m+n＝0， ∴原式＝2（m+n）+2﹣0 ＝2×0+2 ＝2． 故答案为：2． 知识点5 绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4．绝对值的拓展 （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 【典例1】（2024秋•天心区校级月考）已知|a|＝3，，且a＜0＜b，则a＝　﹣3　，b＝　　． 【分析】先求出a＝±3，，再根据a＜0＜b，得出a＜0，b＞0，问题随之得解． 【解答】解：∵|a|＝3，， ∴a＝±3，， ∵a＜0＜b， ∴a＜0，b＞0， ∴a＝﹣3，， 故答案为：﹣3； ． 【典例2】（2024秋•新吴区校级月考）如果|﹣x|，那么x＝　±　，|3.1﹣π|＝　π﹣3.1　． 【分析】利用绝对值的代数意义求值或化简即可． 【解答】解：∵|﹣x|＝||，即|x|， ∴x＝±， |3.1﹣π|＝π﹣3.1． 故答案为：±，π﹣3.1． 【典例3】（2024秋•利州区校级期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为 　3　． 【分析】根据绝对值的非负性解决此题． 【解答】解：由题意得：|a﹣1|+|b﹣2|＝0． ∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0． ∴a＝1，b＝2． ∴a+b＝1+2＝3． 故答案为：3． 【典例4】（2024秋•鄂尔多斯月考）当a＝　4　时，代数式|a﹣4|+3有最小值是 　3　． 【分析】根据绝对值的非负性分析求解． 【解答】解：∵|a﹣4|≥0， ∴|a﹣4|+3≥3， ∴当|a﹣4|＝0，a﹣4＝0，即a＝4时， 代数式|a﹣4|+3的最小值是3， 故答案为：4；3． 【典例5】（2024秋•林州市期末）若x为有理数，则5﹣|x﹣2|的最大值为 　5　． 【分析】根据非负数的性质可得：﹣|x﹣2|≤0，那么5﹣|x﹣2|≤5即可求解． 【解答】解：∵﹣|x﹣2|≤0， ∴5﹣|x﹣2|≤5， ∴5﹣|x﹣2|有最大值5． 故答案为：5． 【典例6】（2024秋•中原区校级月考）绝对值不大于4的非负整数是 　0，1，2，3，4　． 绝对值大于1而小于3的整数是 　±2　． 【分析】即到原点距离小于或等于4的非负整数，利用数轴判断；求绝对值大于1且小于3的整数，即求绝对值等于2的整数．根据绝对值是一个正数的数有两个，它们互为相反数，得出结果． 【解答】解：依题意，可知绝对值不大于4的非负整数有0，1，2，3，4； 绝对值大于1且小于3的整数有±2， 故答案为：0，1，2，3，4；±2． 【典例7】（2024秋•邻水县期末）比较大小： 　＜　（填“＞”或“＜”）． 【分析】先算出两个数运算的结果，再进行比较即可． 【解答】解：， ， ∴， 故答案为：＜． 【典例8】（2024秋•呼和浩特期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、|a|、﹣b按从大到小的顺序排列，并用“＞”号连接，结果为 　b＞|a|＞a＞﹣b　． 【分析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＜|b|，据此即可求得a、b、|a|、﹣b的大小关系． 【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＜|b|， 则|a|＝﹣a，﹣b＜0，﹣a＜b，|a|＜|﹣b|， 那么b＞﹣a＞a＞﹣b， 即b＞|a|＞a＞﹣b， 故答案为：b＞|a|＞a＞﹣b． 知识点6 有理数的加法运算法则 1．有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立． 2．加法运算技巧 （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； （2）符号相同的数可以先结合在一起； （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． 【典例1】根据有理数加法法则填空： （1）若a＞0，b＞0，则a+b 　 　0；若a＜0，b＜0，则a+b 　 　0． （2）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a+b 　 　0；若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b 　 　． （3）若a，b互为相反数，则a+b 　 　0；若a+b＝0，则a与b 　 　． 【分析】根据有理数加法法则求解即可求得答案． 【解答】解：（1）若a＞0，b＞0，则a+b＞0；若a＜0，b＜0，则a+b＜0． （2）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a+b＞0；若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b＜0． （3）若a，b互为相反数，则a+b＝0；若a+b＝0，则a与b互为相反数． 故答案为：（1）＞，＜；（2）＞，＜0；（3）＝，互为相反数． 【典例2】下列说法中，正确的在题后打“√”．错误的在题后打“×”． （1）两个有理数相加，其和一定大于其中的一个加数；　 　（判断对错） （2）若两个有理数的和为正数，则这两个数都是正数；　 　（判断对错） （3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数；　 　（判断对错） （4）如果某数比﹣5大2，那么这个数的绝对值是3；　 　（判断对错） （5）绝对值相等的两个数相加，和为0；　 　（判断对错） （6）绝对值相同的两个数相加，和是加数的2倍．　 　（判断对错） 【分析】可用举特殊例子法解决本题．可以举个例子． （1）（﹣3）+（﹣1）＝﹣4，得出（1）是错误的； （2）3+（﹣1）＝2，得出（2）是错误的； （3）由加法法则可以得出（3）是正确的； （4）先根据加法的意义求出比﹣5大2的数，再根据绝对值的性质可以得出（4）是正确的； （5）由绝对值的意义得出这两个数可能相等，也可能互为相反数，从而可以得出（5）是错误的； （6）由加法法则可以得出（6）是错误的． 【解答】解：（1）如（﹣3）+（﹣1）＝﹣4，故两个有理数相加，其和一定大于其中的一个加数是错误的；×（判断对错） （2）如3+（﹣1）＝2，故若两个有理数的和为正数，则这两个数都是正数是错误的；×（判断对错） （3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数是正确的；√（判断对错） （4）|﹣5+2|＝3． 故如果某数比﹣5大2，那么这个数的绝对值是3是正确的；√（判断对错） （5）如|2|＝|2|，但是2+2＝4≠0，所以绝对值相等的两个数相加，和为0是错误的；×（判断对错） （6）如﹣3+3＝0． 故绝对值相同的两个数相加，和是加数的2倍是错误的．×（判断对错） 故答案为：×，×，√，√，×，×． 【典例3】计算： （1）3+（﹣6）＝　 　 （2）（﹣4）+（﹣9）＝　 　（3）（﹣4）+（+6）＝　 　 （4）2（﹣2）＝　 　（5）（）+0＝　 　 （6）（）＝　 　． 【分析】根据有理数的加法，即可解答． 【解答】解：（1）3+（﹣6）＝﹣（6﹣3）＝﹣3； （2）（﹣4）+（﹣9）＝﹣（4+9）＝﹣13； （3）（﹣4）+（+6）＝6﹣4＝2； （4）2（﹣2）＝0； （5）（）+0； （6）（）＝﹣（）． 故答案为：（1）﹣2；（﹣2）﹣13；（﹣3）2；（4）0；（5）；（6）． 【典例4】（2024秋•定远县校级月考）计算： （1）（+7）+（﹣19）+（+23）+（﹣15）． （2）． （3）． （4）． 【分析】（1）利用加法结合律及交换律计算即可； （2）利用加法的运算法则，把分母相同的结合到一起解答即可； （3）利用加法结合律及交换律计算即可； （4）利用加法结合律及交换律计算即可． 【解答】解：（1）（+7）+（﹣19）+（+23）+（﹣15） ＝（7+23）+[﹣19+（﹣15）] ＝30+（﹣34） ＝﹣4； （2） ＝3+0 ＝3； （3） ； （4） ＝﹣5﹣6+6 ＝﹣5． 【典例5】（2024秋•萍乡月考）若有理数m，n满足|m|＝3，|n|＝2，且m+n＜|m|+|n|． （1）分别求m，n的值； （2）求m+n的值． 【分析】（1）利用绝对值的意义有理数的加法法则解答即可； （2）将（1）中的结论代入运算即可． 【解答】解：（1）∵|m|＝3，|n|＝2， ∴m＝±3，n＝±2． ∵m+n＜|m|+|n|， ∴m＝3，n＝﹣2或m＝﹣3，n＝2或m＝﹣3，n＝﹣2． （2）当m＝3，n＝﹣2时， m+n＝3+（﹣2）＝1； 当m＝﹣3，n＝2时， m+n＝﹣3+2＝﹣1； 当m＝﹣3，n＝﹣2时， m+n＝﹣3﹣2＝﹣5， 综上，m+n的值为﹣1或1或﹣5． 知识点7 有理数的减法运算法则 1．有理数的减法运算法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：． 2．有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照加法运算进行计算． 3．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【典例1】用“＞”或“＜”号填空： （1）如果a＞0，b＜0，那么a﹣b　 　0； （2）如果a＜0，b＞0，那么a﹣b　 　0； （3）如果a＜0，b＜0，|a|＞|b|，那么a﹣b　 　0； （4）如果a＜0，b＜0，那么a﹣（﹣b）　 　0． 【分析】先根据有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．（1）（2）（4）再根据有理数加法法则：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．（3）再根据有理数加法法则：绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值作答． 【解答】解：（1）∵a＞0，b＜0， ∴﹣b＞0， ∴a﹣b＝a+（﹣b）＞0； （2）∵a＜0，b＞0， ∴﹣b＜0， ∴a﹣b＝a+（﹣b）＜0； （3）∵a＜0，b＜0，|a|＞|b|， ∴﹣b＞0， ∴a﹣b＝a+（﹣b）＜0； （4）∵a＜0，b＜0， ∴a﹣（﹣b）＝a+b＜0． 故答案为：＞，＜，＜，＜． 【典例2】（2024秋•宛城区校级月考）下列说法中：①减去一个负数等于加上这个数的相反数；②正数减负数，差为正数；③零减去一个数，仍得这个数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两个数相减，差不一定小于被减数；⑥互为相反数的两数相减得零，正确的有（　　）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】依次判断各个说法，得出结论即可． 【解答】解：①减去一个负数等于加上这个数的相反数，说法正确； ②正数减负数，差为正数，说法正确； ③零减去一个数，仍得这个数，说法错误，应得这个数的相反数； ④两数相减，差一定小于被减数，说法错误，应该是不一定小于被减数； ⑤两个数相减，差不一定小于被减数，说法正确； ⑥互为相反数的两数相减得零，说法错误，应该是相加得零； 故选：B． 【典例3】计算： （1）（﹣7）﹣（+3）＝　 　； （2）（﹣30）﹣（﹣32）＝　 　； （3）0﹣（+9）＝　 　； （4）2﹣（）＝　 　； （5）（+1.73）﹣（﹣2.27）＝　 　； （6）27﹣（+10）＝　 　． 【分析】各项中利用减法法则变形，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）（﹣7）﹣（+3）＝﹣7﹣3＝﹣10； （2）（﹣30）﹣（﹣32）＝﹣30+32＝2； （3）0﹣（+9）＝0﹣9＝﹣9； （4）2﹣（﹣3）＝2+35； （5）（+1.73）﹣（﹣2.27）＝1.73+2.27＝4； （6）27﹣（+10）＝27﹣10＝17． 故答案为：（1）﹣10；（2）2；（3）﹣9；（4）5；（5）4；（6）17 【典例4】（2024秋•邹城市校级月考）36℃比24℃高　 　℃，19℃比﹣5℃高　 　℃．A、B、C三点相对于海平面分别是﹣13米、﹣7米、﹣20米，那么最高的地方比最低的地方高　 　米． 【分析】首先根据题意分别列出式子，再根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，进行计算即可． 【解答】解：36﹣24＝12（℃）， 19﹣（﹣5）＝24（℃）， ﹣7﹣（﹣20）＝﹣7+20＝13（米）． 故答案为：12，24，13． 【典例5】（1）若|m|＝5，|n|＝2，且m，n异号，则|m﹣n|的值为 　 　． （2）已知|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，则a﹣b的值为 　 　． 【分析】（1）先根据绝对值的性质得出m＝±5，n＝±2，再结合m、n异号知m＝5、n＝﹣2或m＝﹣5、n＝2，继而分别代入计算可得答案； （2）根据绝对值的意义及a+b＜0，可得a，b的值，再根据有理数的减法，可得答案． 【解答】解：（1）∵|m|＝5，|n|＝2， ∴m＝±5，n＝±2， 又∵m、n异号， ∴m＝5、n＝﹣2或m＝﹣5、n＝2， 当m＝5、n＝﹣2时，|m﹣n|＝|5﹣（﹣2）|＝7； 当m＝﹣5、n＝2时，|m﹣n|＝|﹣5﹣2|＝7； 综上|m﹣n|的值为7， 故答案为：7； （2）由|a|＝5，|b|＝3，且满足a+b＜0，得 a＝﹣5，b＝3或a＝﹣5，b＝﹣3． 当a＝﹣5，b＝3时，a﹣b＝﹣5﹣3＝﹣8， 当a＝﹣5，b＝﹣3时，a﹣b＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2， ∴a+b的值为﹣8或﹣2， 故答案为：﹣8或﹣2． 【典例6】（2024秋•太康县月考）计算： （1）﹣12﹣（+5）+（﹣14）﹣（﹣25）； （2）3； （3）； （4）2（﹣3）﹣|（﹣3）﹣（+0.25）|． 【分析】（1）（2）运用有理数的加法交换结合律进行计算即可． （3）先去括号，按照有理数的加减混合运算法则计算，再将同分母的先计算，最后进行异分母的减法运算． （4）先去括号，同时对绝对值进行化简，再按照有理数的加减混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）﹣12﹣（+5）+（﹣14）﹣（﹣25）； ＝﹣12﹣5﹣14+25 ＝﹣31+25 ＝﹣6； （2）3（）+（）+（+2） ＝32 ＝3+2 ＝5； （3） ； （4） ＝233 ＝﹣4． 【典例7】（2024秋•衡阳期末）若|1|＝1，||，||，…，照此规律试求： （1）||＝　　； （2）计算|1|+||+||+||； （3）计算|1|+||+||+…+||． 【分析】根据有理数的减法法则以及绝对值的定义计算即可． 【解答】解：（1）． 故答案为：； （2）原式 ； （3）原式＝1... ＝1 ． 【典例8】（2024秋•重庆期末）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量． 【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20， ∴B地在A地的东边20千米； （2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米；14﹣9＝5千米； 14﹣9+8＝13千米； 14﹣9+8﹣7＝6千米； 14﹣9+8﹣7+13＝19千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6＝13千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6+12＝25千米； 14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20千米． ∴最远处离出发点25千米； （3）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|＝74千米， 应耗油74×0.5＝37（升）， 故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升）． 知识点8 有理数的乘法运算 1．有理数的乘法运算法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘． 任何数与0相乘，积仍为0． 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：； （2）乘法结合律：； （3）乘法分配律：． 3．有理数乘法运算技巧： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假． 【典例1】用字母表示有理数乘法的符号法则： （1）若a＞0，b＞0，则ab　 　0，若a＞0，b＜0，则ab　 　0 （2）若a＜0，b＞0，则ab　 　0，若a＜0，b＜0，则ab　 　0 （3）若a＞0，b＝0，则ab　 　0． 【分析】根据乘法法则：两个数相乘，同号得正，异号得负，任何数同0相乘得0． 【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，∴ab＞0， ∵a＞0，b＜0，则ab＜0； （2）∵a＜0，b＞0，∴ab＜0， ∵a＜0，b＜0，∴ab＞0； （3）∵a＞0，b＝0，∴ab＝0； 故答案为＞，＜，＜，＞，＝． 【典例2】（1）若a＞b＞0，则ab　 　0，b（a﹣b）　 　0； （2）若b＜0＜a，则ab　 　0，b（a﹣b）　 　0； （3）若ab＞0，a+b＞0，则a　 　0，b　 　0； （4）若ab＜0，a+b＞0，且a﹣b＜0，则a　 　0，b　 　0，|a|　 　|b| 【分析】（1）根据两数相乘同号得正可得； （2）根据两数相乘异号得负可得； （3）由ab＞0知a、b同号，结合a+b＞0知a＞0，b＞0； （4）由ab＜0知a、b异号，结合a﹣b＜0得a＜0＜b，根据a+b＞0得|a|＜|b|． 【解答】解：（1）∵a＞b＞0， ∴ab＞0，b（a﹣b）＞0， 故答案为：＞，＞； （2）∵b＜0＜a， ∴ab＜0，b（a﹣b）＜0， 故答案为：＜，＜； （3）∵ab＞0， ∴a、b同号， 又∵a+b＞0， ∴a＞0，b＞0， 故答案为：＞，＞； （4）∵ab＜0， ∴a、b异号， ∵a﹣b＜0， ∴a＜0＜b， ∵a+b＞0， ∴|a|＜|b|， 故答案为：＜，＞，＜． 【典例3】下列判断正确的是　 　 ①若3个有理数的乘积为正，则这3个有理数均为正数； ②若abc＜0，则a、b、c中至少有一个负数； ③若a+b+C＝0，则a、b、c中至少有一个负数； ④几个数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数；若有偶数个负因数，则积为正数； ⑤绝对值不超过20的所有有理数的和为0． 【分析】根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则、相反数、绝对值逐个判断即可． 【解答】解：若3个有理数的乘积为正，则这3个有理数均为正数或两个正数、一个负数，故①错误； 若abc＜0，则a、b、c中都是负数或有一个数是负数，即可a、b、c中至少有一个负数，故②正确； 若a+b+C＝0，则a、b、c中可以两个数是负数或一个数是负数，即a、b、c中至少有一个负数，故③正确； 几个不等于0的数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数；若有偶数个负因数，则积为正数，故④错误； 绝对值不超过20的所有有理数的和为0，故⑤正确； 即正确的有3个， 故答案为：3． 【典例4】（2024秋•十堰期中）有理数a、b在数轴上表示如图所示，则下列结论中正确的有：　 　 ①ab＞0②a+b＜0③a﹣b＜0 ④a＜|b|⑤﹣a＞﹣b⑥（b﹣1）（a﹣1）＞0 【分析】根据数轴知b＜﹣1＜0＜a＜1，且|a|＜|b|，再利用有理数的乘法、加法、减法及绝对值性质等知识点逐一判断可得． 【解答】解：由数轴知b＜﹣1＜0＜a＜1， 则①ab＜0，此结论错误； ②a+b＜0，此结论正确； ③a﹣b＞0，此结论错误； ④a＜|b|，此结论正确； ⑤﹣a＜﹣b，此结论错误； ⑥（b﹣1）（a﹣1）＞0，此结论正确． 故正确的有：②④⑥ 故答案为：②④⑥ 【典例5】（2024秋•兴化市月考）用简便方法计算： ①； ②． 【分析】①利用乘法分配律计算即可； ②利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：①原式＝（）×（﹣36）（﹣36）（﹣36） ＝3+1﹣6 ＝﹣2． ②原式＝（﹣100）×24 ＝﹣100×2424 ＝﹣2400+2 ＝﹣2398． 【典例6】（2024秋•沙坪坝区校级月考）计算 （1） （2）． 【分析】（1）先把括号里面的利用乘法分配律进行计算，然后再次利用乘法分配律进行计算即可得解； （2）先把第三项整理，然后逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】解：（1）[1（）×24]×（）， ＝[1（242424）]×（）， ＝[（9+4﹣18）]×（）， ＝（5）×（）， （）+5×（）， 1， ； （2）﹣5×（）+11×（）﹣3×（）， ＝﹣5×（）+11×（）﹣6×（）， ＝（﹣5+11﹣6）×（）， ＝0． 【典例7】（2024•西城区校级一模）若a、b、c都是有理数，|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6，且ab＞0，bc＜0，求a﹣b﹣（﹣c）的值． 【分析】根据绝对值的性质得到a＝±4，b＝±9，c＝±6，分a＝4和a＝﹣4两种情况，根据有理数的乘法法则，减法法则计算． 【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6， ∴a＝±4，b＝±9，c＝±6， 当a＝4时，b＝9，c＝﹣6， a﹣b﹣（﹣c）＝4﹣9﹣6＝﹣11； 当a＝﹣4时，b＝﹣9，c＝6， a﹣b﹣（﹣c）＝﹣4﹣（﹣9）+6＝11， 综上所述，a﹣b﹣（﹣c）的值为﹣11或11． 知识点9 有理数的除法运算 1．有理数除法运算法则 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．，． 2．有理数除法的运算步骤： （1）把除号变为乘号； （2）把除数变为它的倒数； （3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算． 【典例1】阅读理解： （1）若a+b＜0，且0，试确定a、b的正负性． （2）依照（1）的解法解答下题： ①若a+b＞0，且0，则a为 　 　，b为 　 　（填“正数”或“负数”）； ②若a+b＜0，且0，a＞b，则|a|　 　|b|（填“＞”或“＜”）； ③若a+b＞0，且0，a＞b，则|a|　 　|b|（填“＞”或“＜”）． 【分析】对于（1），由有理数除法中，同号相除为正数可以得到a、b同号，然后结合a+b＜0解答； 对于（2）①，同（1）得到a、b同号，然后结合有理数加法法则判断a、b的正负； 对于（2）②，由有理数除法中，异号相除为负数可以得到a、b异号，至此不难解答题目，同理解答③． 【解答】解：（1）因为0， 所以a、b同号． 因为a+b＜0， 所以a、b同负． （2）①因为0， 所以a、b同号． 因为a+b＞0， 所以a、b都为正数， 故答案为：正数，正数． ②因为0， 所以a、b异号． 因为a+b＜0，a＞b， 所以|a|＜|b|， 故答案为：＜． ③因为0， 所以a、b异号． 因为a+b＞0，a＞b， 所以|a|＞|b|． 故答案为：＞． 【典例2】（2024秋•东西湖区校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝﹣2； （2） ． 【典例3】（2024秋•官渡区校级期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3． 根据已知条件请回答： （1）ab＝　 　，c+d＝　 　，m＝　 　，　 　． （2）求：ab的值． 【分析】（1）根据倒数，相反数，绝对值的意义可得结论； （2）将（1）所得式子代入可得结论． 【解答】解：（1）∵a，b互为倒数， ∴ab＝1， ∵c，d互为相反数， ∴c+d＝0，1， ∵|m|＝3， ∴m＝±3， 故答案为：1，0，±3，﹣1； （2）当m＝3时，原式1+0﹣（﹣1）＝3， 当m＝﹣3时，原式1+0﹣（﹣1）＝1． 【典例4】（2024秋•金牛区校级期中）设a，b，c都是非零有理数，试求的值． 【分析】根据a、b、c是非零实数，分两正一负或两负一正两种情况分别讨论求值即可． 【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正． ①当a，b，c为两正一负时：0； ②当a，b，c为两负一正时：0； ③当a，b，c都为正数时：4； ④当a，b，c都为负数时：4； 综上所述值为0或4或﹣4． 知识点10 有理数的乘方 1．乘方： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 【注】表示有n个a连续相乘； 当n为奇数时，；当n为偶数时，． 2．有理数混合运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 3．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 【典例1】（2024春•宁津县校级月考）计算的结果是（　　） A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4 【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n，由此求解即可． 【解答】解：m个3相加表示为3m，根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n， 故的结果是3m+4n． 故选：A． 【典例2】（2024秋•临沭县校级月考）的底数是 　　，指数是 　 　． 【分析】根据乘方的定义解决此题． 【解答】解：的底数是，指数是7． 故答案为：，7． 【典例3】（2024秋•皇姑区校级月考）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多 　 　条． 【分析】由题意得出对折n+1次比对折n次折痕多2n条，据此可得． 【解答】解：∵对折2次比对折1次折痕多3﹣1＝2条， 对折3次比对折2次折痕多7﹣3＝4＝22条， 对折4次比对折3次折痕多15﹣7＝8＝23条， …… ∴对折6次比对折5次折痕多25＝32条，对折7次比对折6次折痕多26＝64条， ∴对折7次比对折5次折痕多64+32＝96条， 故答案为：96． 【典例4】（2024秋•丰城市校级月考）若有理数a，b满足|a|＝3，b2＝9，且|a+b|＝﹣（a+b），则a﹣2b的值为 　 　． 【分析】根据绝对值、平方根、有理数的加法法则解决此题． 【解答】解：∵|a|＝3，b2＝9， ∴a＝±3，b＝±3． ∵|a+b|＝﹣（a+b）， ∴a+b≤0． ∴当a＝3时，则b＝﹣3，此时a﹣2b＝3﹣（﹣6）＝9； 当a＝﹣3时，则b＝﹣3，此时a﹣2b＝﹣3﹣（﹣6）＝3． 当a＝﹣3时，则b＝3，此时a﹣2b＝﹣3﹣6＝﹣9． 综上：a﹣2b＝9或3或﹣9． 故答案为：9或3或﹣9． 【典例5】（2024秋•定远县校级月考）计算： （1）﹣（）2×（﹣42）÷（）2； （2）（﹣3）3×（﹣1）÷（﹣42）×（﹣1）25． 【分析】利用有理数的乘法法则、除法法则以及有理数的乘方运算法则即可进行计算，注意符号的变换． 【解答】解：（1）原式（﹣16） ＝1×64 ＝64； （2）原式＝﹣27×（）÷（﹣16）×（﹣1） ＝﹣27×（）×（）×（﹣1） ． 【典例6】（2024秋•江宁区校级月考）阅读材料：根据乘方的意义可得：24＝2×2×2×2；34＝3×3×3×3；（2×3）4＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3），即24×34＝（2×3）4 通过观察上面的计算过程，完成以下问题： （1）计算：22022×32022＝　 　；猜想：an•5n＝　 ； （2）根据上述提供的信息，计算：（﹣0.125）2021×82022． 【分析】（1）根据积的乘方解决此题． （2）根据积的乘方解决此题． 【解答】解：（1）22022×32022＝（2×3）2022＝62022； an•5n＝（5a）n． 故答案为：62022；（5a）n． （2）（﹣0.125）2021×82022 ＝（﹣1）2021×8 ＝﹣1×8 ＝﹣8． 【典例7】（2024秋•通州区校级月考）（1）已知有理数x，y满足（x+y）2+|3﹣y|＝0，求xy的值； （2）已知有理数x，y，则式子2023﹣（x+y）2有最 　 　值为 　 　；此时x与y的关系为 　 　． 【分析】（1）先根据非负数的性质求出x、y的值，再求出xy的值即可； （2）根据偶次方的非负数性质解答即可． 【解答】解：（1）∵（x+y）2+|3﹣y|＝0， ∴， 解得， ∴xy＝（﹣3）×3＝﹣9； （2）∵（x+y）2≥0， ∴当x+y＝0时，式子2023﹣（x+y）2有最大值为2023，此时x与y的关系为互为相反数． 故答案为：大，2023，互为相反数． 知识点11 科学记数法 1.科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法； 【注】用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数. 【典例1】（2024•济源模拟）国家电影局2024年1月1日公布2023年中国电影行业重要指标．全年电影票房为549.15亿元，其中国产影片票房为460.05亿元，占比为83.77%；城市院线观影人次为12.99亿．其中460.05亿用科学记数法表示为（　　） A．46.005×109 B．0.46005×1011 C．4.6005×1011 D．4.6005×1010 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【解答】解：460.05亿＝46005000000＝4.6005×1010． 故选：D． 【典例2】（2024•威县校级模拟）若一个整数20240…0用科学记数法表示为2.024×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此将科学记数法表示的数还原成原来的数即可得到答案． 【解答】解：∵2.024×1010＝20240000000， ∴原数中“0”的个数为8． 故选：B． 【典例3】（2024•连州市二模）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达为8.016×109元，创造了新的春节档票房纪录，8.016×109的原数为（　　） A．80160000 B．801600000 C．8016000000 D．80160000000 【分析】将8.016×109化成原数即可． 【解答】解：8.016×109＝8016000000， 故选：C． 【典例4】（2024春•新华区期末）我国陆地上风能储量约为253000兆瓦，将253000用科学记数法表示为2.53×10n，则n的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．﹣5 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【解答】解：将253000用科学记数法表示为2.53×105， ∴n＝5， 故选：B． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 有理数全章知识典例详解 【苏科版2024】 知识点1 正数和负数 1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数． 2．正数：像30、+6、、这样的数叫做正数，正数都大于零； 3．负数：在正数前面加上“”号的数叫做负数，比如：、、、． 【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“”号一定不能省略；②数0既不是正数也不是负数． 【典例1】（2024秋•宿松县期末）在，0，﹣（﹣1.5），﹣|﹣5|，，﹣24中，负数有　 　个． 【典例2】（2024春•长宁区期中）如果把“增加16%”记作“16%”，那么“　 　”表示“减少8%”． 【典例3】（2024春•绥棱县校级月考）小明和小佳是同班同学．放学后，两人同时从学校大门处向相反方向 回家，小明向北走了800m记作“+800m”，小佳走的路程记作“﹣600m”．这时两人相距 　 　m． 【典例4】（2024秋•海沧区期末）巴黎，北京，悉尼同一时刻的当地时间如表．若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为+2，则巴黎时间记为 　 ． 城市 巴黎 北京 悉尼 时间 5：00 11：00 13：00 知识点2 有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类： （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 【典例1】下列说法中正确的是 　 　（填序号）． ①整数包括正整数和负整数； ②分数包括正分数、负分数以及0； ③有理数可分为正有理数、0、负有理数； ④0是整数，它既不是正数也不是负数； ⑤有理数不是整数就是分数； ⑥有理数是指整数、分数、0这三类； ⑦所有整数都是正数； ⑧非正整数就是0和负整数； ⑨正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数． 【典例2】（2024秋•平度市校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号里： ﹣2.5、3.14、﹣2、+72、﹣0.、π、、0、﹣0.010101． 正数集合{ 　 　…}； 分数集合{ 　 …}； 非负整数集合{ 　 　…}． 【典例3】（2024秋•松滋市期中）在π，﹣8，2023，3.21，0，，+13.1，，﹣2.5中，正数有m个，负 整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为 　 　． 知识点3 数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 【典例1】（2024秋•江岸区校级月考）数轴上表示﹣2的点离原点的距离是　 　个单位长度；表示+2的点 离原点的距离是　 　个单位长度；数轴上与原点的距离是2个单位长度的点有　 　个，它们表示的数分 别是　 　． 【典例2】（2024秋•巨野县校级月考）已知，，，四个有理数在数轴上所对应的点分别为A、B、 C、D，则这四个点从左到右的顺序为　 　，离原点最近的点为　 　． 【典例3】（2024秋•恩施市期末）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界 与数轴相交点的数据；则被淹没的整数点有 　 　个，负整数点有 　 　个，被淹没的最小的负整数点所 表示的数是 　 　． 知识点4 相反数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】与互为相反数；是的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则a+b=0；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数． 【例】2与，与，与． 4．负倒数：乘积为的两个有理数互为负倒数． 【例】2与，与，与． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 【典例1】（2024秋•乐至县校级月考）﹣1相反数是　　；﹣2是　　的相反数；　　与互为相反数． 【典例2】（2024秋•文峰区校级月考）化简：﹣[+（﹣7）]＝　 　，﹣[﹣（﹣2）]＝　 　，+[﹣（+a）]＝　 　． 【典例3】（2024秋•安阳县月考）若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x的相反数是 　 　． 【典例4】（2024秋•江岸区校级月考）数轴上，若A、B表示互为相反数，A在B的右侧，并且这两点的距 离为8，则这两点所表示的数分别是　 　和　 　． 【典例5】（2024秋•德惠市校级月考）已知m，n互为相反数，则2m+2n+2　 　. 知识点5 绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的性质： （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若，则，，． 4．绝对值的拓展 （1）若，则；若，则． （2）． （3）． 【典例1】（2024秋•天心区校级月考）已知|a|＝3，，且a＜0＜b，则a＝　 　，b＝　　． 【典例2】（2024秋•新吴区校级月考）如果|﹣x|，那么x＝　　，|3.1﹣π|＝　 　． 【典例3】（2024秋•利州区校级期末）若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为 　 　． 【典例4】（2024秋•鄂尔多斯月考）当a＝　 　时，代数式|a﹣4|+3有最小值是 　 　． 【典例5】（2024秋•林州市期末）若x为有理数，则5﹣|x﹣2|的最大值为 　 　． 【典例6】（2024秋•中原区校级月考）绝对值不大于4的非负整数是 　 　． 绝对值大于1而小于3的整数是 　 　． 【典例7】（2024秋•邻水县期末）比较大小： 　 　（填“＞”或“＜”）． 【典例8】（2024秋•呼和浩特期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、|a|、﹣b 按从大到小的顺序排列，并用“＞”号连接，结果为 　 　． 知识点6 有理数的加法运算法则 1．有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立． 2．加法运算技巧 （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； （2）符号相同的数可以先结合在一起； （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加得零； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． 【典例1】根据有理数加法法则填空： （1）若a＞0，b＞0，则a+b 　 　0；若a＜0，b＜0，则a+b 　 　0． （2）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a+b 　 　0；若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b 　 　． （3）若a，b互为相反数，则a+b 　 　0；若a+b＝0，则a与b 　 　． 【典例2】下列说法中，正确的在题后打“√”．错误的在题后打“×”． （1）两个有理数相加，其和一定大于其中的一个加数；　 　（判断对错） （2）若两个有理数的和为正数，则这两个数都是正数；　 　（判断对错） （3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数；　 　（判断对错） （4）如果某数比﹣5大2，那么这个数的绝对值是3；　 　（判断对错） （5）绝对值相等的两个数相加，和为0；　 　（判断对错） （6）绝对值相同的两个数相加，和是加数的2倍．　 　（判断对错） 【典例3】计算： （1）3+（﹣6）＝　 　 （2）（﹣4）+（﹣9）＝　 　（3）（﹣4）+（+6）＝　 　 （4）2（﹣2）＝　 　（5）（）+0＝　 　 （6）（）＝　 　． 【典例4】（2024秋•定远县校级月考）计算： （1）（+7）+（﹣19）+（+23）+（﹣15）． （2）． （3）． （4）． 【典例5】（2024秋•萍乡月考）若有理数m，n满足|m|＝3，|n|＝2，且m+n＜|m|+|n|． （1）分别求m，n的值； （2）求m+n的值． 知识点7 有理数的减法运算法则 1．有理数的减法运算法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：． 2．有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照加法运算进行计算． 3．有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【典例1】用“＞”或“＜”号填空： （1）如果a＞0，b＜0，那么a﹣b　 　0； （2）如果a＜0，b＞0，那么a﹣b　 　0； （3）如果a＜0，b＜0，|a|＞|b|，那么a﹣b　 　0； （4）如果a＜0，b＜0，那么a﹣（﹣b）　 　0． 【典例2】（2024秋•宛城区校级月考）下列说法中：①减去一个负数等于加上这个数的相反数；②正数减负数，差为正数；③零减去一个数，仍得这个数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两个数相减，差不一定小于被减数；⑥互为相反数的两数相减得零，正确的有（　　）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例3】计算： （1）（﹣7）﹣（+3）＝　 　； （2）（﹣30）﹣（﹣32）＝　 　； （3）0﹣（+9）＝　 　； （4）2﹣（）＝　 　； （5）（+1.73）﹣（﹣2.27）＝　 　； （6）27﹣（+10）＝　 　． 【典例4】（2024秋•邹城市校级月考）36℃比24℃高　 　℃，19℃比﹣5℃高　 　℃．A、B、C三点相对于海平面分别是﹣13米、﹣7米、﹣20米，那么最高的地方比最低的地方高　 　米． 【典例5】（1）若|m|＝5，|n|＝2，且m，n异号，则|m﹣n|的值为 　 　． （2）已知|a|＝5，|b|＝3，且a+b＜0，则a﹣b的值为 　 　． 【典例6】（2024秋•太康县月考）计算： （1）﹣12﹣（+5）+（﹣14）﹣（﹣25）； （2）3； （3）； （4）2（﹣3）﹣|（﹣3）﹣（+0.25）|． 【典例7】（2024秋•衡阳期末）若|1|＝1，||，||，…，照此规律试求： （1）||＝　　； （2）计算|1|+||+||+||； （3）计算|1|+||+||+…+||． 【典例8】（2024秋•重庆期末）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？ （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 知识点8 有理数的乘法运算 1．有理数的乘法运算法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘． 任何数与0相乘，积仍为0． 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：； （2）乘法结合律：； （3）乘法分配律：． 3．有理数乘法运算技巧： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假． 【典例1】用字母表示有理数乘法的符号法则： （1）若a＞0，b＞0，则ab　 　0，若a＞0，b＜0，则ab　 　0 （2）若a＜0，b＞0，则ab　 　0，若a＜0，b＜0，则ab　 　0 （3）若a＞0，b＝0，则ab　 　0． 【典例2】（1）若a＞b＞0，则ab　 　0，b（a﹣b）　 　0； （2）若b＜0＜a，则ab　 　0，b（a﹣b）　 　0； （3）若ab＞0，a+b＞0，则a　 　0，b　 　0； （4）若ab＜0，a+b＞0，且a﹣b＜0，则a　 　0，b　 　0，|a|　 　|b| 【典例3】下列判断正确的是　 　 ①若3个有理数的乘积为正，则这3个有理数均为正数； ②若abc＜0，则a、b、c中至少有一个负数； ③若a+b+C＝0，则a、b、c中至少有一个负数； ④几个数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数；若有偶数个负因数，则积为正数； ⑤绝对值不超过20的所有有理数的和为0． 【典例4】（2024秋•十堰期中）有理数a、b在数轴上表示如图所示，则下列结论中正确的有：　 　 ①ab＞0②a+b＜0③a﹣b＜0 ④a＜|b|⑤﹣a＞﹣b⑥（b﹣1）（a﹣1）＞0 【典例5】（2024秋•兴化市月考）用简便方法计算： ①； ②． 【典例6】（2024秋•沙坪坝区校级月考）计算 （1） （2）． 【典例7】（2024•西城区校级一模）若a、b、c都是有理数，|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6，且ab＞0，bc＜0，求a﹣b﹣（﹣c）的值． 知识点9 有理数的除法运算 1．有理数除法运算法则 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．，． 2．有理数除法的运算步骤： （1）把除号变为乘号； （2）把除数变为它的倒数； （3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算． 【典例1】阅读理解： （1）若a+b＜0，且0，试确定a、b的正负性． （2）依照（1）的解法解答下题： ①若a+b＞0，且0，则a为 　 　，b为 　 　（填“正数”或“负数”）； ②若a+b＜0，且0，a＞b，则|a|　 　|b|（填“＞”或“＜”）； ③若a+b＞0，且0，a＞b，则|a|　 　|b|（填“＞”或“＜”）． 【典例2】（2024秋•东西湖区校级月考）计算： （1）； （2）． 【典例3】（2024秋•官渡区校级期中）已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝3． 根据已知条件请回答： （1）ab＝　 　，c+d＝　 　，m＝　 　，　 　． （2）求：ab的值． 【典例4】（2024秋•金牛区校级期中）设a，b，c都是非零有理数，试求的值． 知识点10 有理数的乘方 1．乘方： 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 【注】表示有n个a连续相乘； 当n为奇数时，；当n为偶数时，． 2．有理数混合运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 3．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 【典例1】（2024春•宁津县校级月考）计算的结果是（　　） A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4 【典例2】（2024秋•临沭县校级月考）的底数是 　　，指数是 　 　． 【典例3】（2024秋•皇姑区校级月考）将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第7次对折后得到的折痕比第5次对折后得到的折痕多 　 　条． 【典例4】（2024秋•丰城市校级月考）若有理数a，b满足|a|＝3，b2＝9，且|a+b|＝﹣（a+b），则a﹣2b的值为 　 　． 【典例5】（2024秋•定远县校级月考）计算： （1）﹣（）2×（﹣42）÷（）2； （2）（﹣3）3×（﹣1）÷（﹣42）×（﹣1）25． 【典例6】（2024秋•江宁区校级月考）阅读材料：根据乘方的意义可得：24＝2×2×2×2；34＝3×3×3×3；（2×3）4＝（2×3）×（2×3）×（2×3）×（2×3）＝（2×2×2×2）×（3×3×3×3），即24×34＝（2×3）4 通过观察上面的计算过程，完成以下问题： （1）计算：22022×32022＝　 　；猜想：an•5n＝　 ； （2）根据上述提供的信息，计算：（﹣0.125）2021×82022． 【典例7】（2024秋•通州区校级月考）（1）已知有理数x，y满足（x+y）2+|3﹣y|＝0，求xy的值； （2）已知有理数x，y，则式子2023﹣（x+y）2有最 　 　值为 　 　；此时x与y的关系为 　 　． 知识点11 科学记数法 1.科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法； 【注】用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数. 【典例1】（2024•济源模拟）国家电影局2024年1月1日公布2023年中国电影行业重要指标．全年电影票房为549.15亿元，其中国产影片票房为460.05亿元，占比为83.77%；城市院线观影人次为12.99亿．其中460.05亿用科学记数法表示为（　　） A．46.005×109 B．0.46005×1011 C．4.6005×1011 D．4.6005×1010 【典例2】（2024•威县校级模拟）若一个整数20240…0用科学记数法表示为2.024×1010，则原数中“0”的个数为（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 【典例3】（2024•连州市二模）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达为8.016×109元，创造了新的春节档票房纪录，8.016×109的原数为（　　） A．80160000 B．801600000 C．8016000000 D．80160000000 【典例4】（2024春•新华区期末）我国陆地上风能储量约为253000兆瓦，将253000用科学记数法表示为2.53×10n，则n的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．﹣5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$