第04讲 因式分解法（2个知识点+2种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第04讲 因式分解法（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点2．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 题型强化 题型一．解一元二次方程-因式分解法 1．（2023秋•西华县期末）方程的解是　　 A． B． C．， D．， 2．（2023秋•彰武县期末）若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值为 　　． 3．（2023秋•右玉县期末）解下列方程： （1）； （2）． 题型二．换元法解一元二次方程 4．（2023秋•中江县月考）已知实数满足，则代数式的值为　　 A．7 B． C．7或 D．或1 5．（2024春•雨花区期末）若实数、满足，则　　． 6．（2023秋•黔南州期末）阅读材料：解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．① 解得， 当时，．．； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　换元　法达到了降次的目的，体现了 　　的数学思想． （2）解方程：． 分层练习 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（   ） A． B．5 C． D．1 2．方程的解为（   ） A． B．或 C． D．或 3．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 4．如图1，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 5．一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．关于x的方程，则的值是（　　） A． B．1 C．或1 D．3或 7．已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．12 B．14 C．12或14 D．24 9．若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（   ）． A． B． C． D． 10．已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或3 B．1或3 C．或 D．1或 二、填空题 11．方程的解是 ． 12．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 13．已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为 ． 14．已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是 15．如果，则的值是 ． 16．已知，则的值为 ． 17．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ． 18．如图，在中，于点H，，，且，则 . 三、解答题 19．解一元二次方程 20．解方程： (1) (2) (3) 21．阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 22．（1）用配方法解方程： （2）用适当的方法解方程： 23．阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 24．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 25．按要求解下列方程 (1)（配方法） (2) (3) (4)（公式法） 26．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 因式分解法（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点2．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 题型强化 题型一．解一元二次方程-因式分解法 1．（2023秋•西华县期末）方程的解是　　 A． B． C．， D．， 【分析】由题意可得或，解方程即可得到答案． 【解答】解：， 或， 解得：，， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算，将一元二次方程转化为一元一次方程是解此题的关键． 2．（2023秋•彰武县期末）若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值为 　　． 【分析】利用一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程得到，即，代入即可求解． 【解答】解：把代入方程得， ， ． 故答案为：． 方法二：， ， 或， 或1， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（2023秋•右玉县期末）解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用配方法求解可得． 【解答】解：（1）， 则， 则或， 解得，； （2）， ， ，即， ， ， ，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 题型二．换元法解一元二次方程 4．（2023秋•中江县月考）已知实数满足，则代数式的值为　　 A．7 B． C．7或 D．或1 【分析】将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可． 【解答】解：设，则原方程可化为：， 解得，； 当时，，即，△，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当时，，即，△，故的值为6； ． 故选：． 【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解方程． 5．（2024春•雨花区期末）若实数、满足，则　3　． 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【解答】解：设，则原方程换元为， 整理得：， ， 解得：，， 即或（不合题意，舍去）， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 6．（2023秋•黔南州期末）阅读材料：解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．① 解得， 当时，．．； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 根据上面的解答，解决下面的问题： （1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 　换元　法达到了降次的目的，体现了 　　的数学思想． （2）解方程：． 【分析】（1）根据题意可以解答本题； （2）根据换元法可以解答此方程． 【解答】解：（1）由题意可得， 在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想， 故答案为：换元、换元； （2）， 令，则原方程可化为：， 解得，或， （舍去），， 解得，，， 故原方程的解是，． 【点评】本题考查换元法解一元二次方程、解一元二次方程的方法，解题的关键是明确解方程的方法． 分层练习 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，提公因式得到，解方程即可得到答案，熟记因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ，解得或， 关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是， 故选：A． 2．方程的解为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ， ， 或， 解得：． 故选：D． 3．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先整理确定公因式，再提出公因式，求出解即可． 【详解】解：， 整理，得， 因式分解，得， 即或， ∴，． 故选：B． 4．如图1，在中，，于点，动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何图形的综合，根据点的运算，可得，，在直角中根据勾股定理可求出的值，由此即可求解，掌握一次函数图象的性质，等腰三角形的性质，解方程的方法，勾股定理的运用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作， ∴， 当点与点重合时， ， ∴， ∴， 当点与点重合时，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，或， ∴或，负值舍去， 当时，，不符合题意（）， ∴， ∴， 故选： ． 5．一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，， 故选：． 6．关于x的方程，则的值是（　　） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，求出t的值，进而可得出结论，熟知把某个式子看成一个整体，用一个变量去替代它，从而使问题得到简化，这叫换元法是解此题的关键． 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 7．已知实数x满足，则代数式的值为（　　） A．7 B． C．7或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得； 当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去； 当时，，即，，故的值为6； ∴． 故选：A． 8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．12 B．14 C．12或14 D．24 【答案】A 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，利用因式分解法求出已知方程的解，再利用三角形三边关系确定出第三边长，即可求出周长． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 可得或，解得：或， ∵三角形第三边的长是方程的根， ∴第三边的长为5或7， 当第三边长为5时，周长为； 当第三边长为7时，，不能构成三角形，舍去， 综上，该三角形的周长为12． 故选：A． 9．若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系算出，，再把变形为，代入计算即可得到答案；要掌握一元二次方程根于系数的关系，能把变形为是解题的关键． 【详解】解：∵x的一元二次方程的两个实数根为和， ∴根据根与系数的关系得到： ，， ， 故选：B． 10．已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或3 B．1或3 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，先根据已知方程和方程的解，从而得到方程中的相当于第1个方程中的x，从而得到和，解方程即可． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程中，， ，， ，， 故选：C． 二、填空题 11．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 故答案为：． 12．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据因式分解解方程，即可化为为，解得或，再根据方程有两个不相等的实数根，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 即或， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 13．已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，等腰三角形的定义，先解方程得出，，再根据三角形的三边关系得出等腰三角形的腰为4，底边长为2，最后求出三角形的周长即可． 【详解】解： 因式分解得：， 或， 所以，， 因为，所以等腰三角形的腰长为2时，不能构成三角形， 所以等腰三角形的腰为4，底边长为2， 所以三角形的周长为． 故答案为：10． 14．已知三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解和三角形三边的关系． 利用因式分解法解方程得到，再利用三角形三边的关系得到三角形的第三边为5，然后计算三角形的周长． 【详解】 解得： 当第三边长是1时，，不符合三角形三边关系； 当第三边长是5时，，符合三角形三边关系， ∴这个三角形的周长是 故答案为：． 15．如果，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握换元法解方程，解分式方程检验，是解决问题的关键． 设，原方程化为，用求根公式解得，换回，检验，即得． 【详解】解：∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， 经检验适合原方程， ∴，， 故答案为：或． 16．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用因式分解法解得，，进而求解即可． 【详解】设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或 ∴， ∵ ∴应舍去 ∴ ∴． 故答案为：1． 17．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程可化为，根据关于x的一元二次方程的解为，得到，于是得到结论． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∵关于x的一元二次方程的解为， ∴， ∴或， 解得． 故答案为：． 18．如图，在中，于点H，，，且，则 . 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，过点C作，垂足为D，先得到为等腰直角三角形，设，利用勾股定理得到，将看成一个整体进行求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为D， ， 为等腰直角三角形， 设， ， ，， 在中， ， ， 在中， ， ， 在中，， ， 整理得：， 两边取平方得：， ， ， 或， 当时，即， 此时，，， ， （舍去）， ， 故答案为：6． 三、解答题 19．解一元二次方程 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】 ， ∴， ∴或 ∴，． 20．解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴ ∴，； （2） ∴ ∴ ∴，； （3） ∴或 ∴，． 21．阅读材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得， 所以，所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”． 利用阅读材料提供的换根法求新方程： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1，则所求方程为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是明确材料中的换根法，根据实际的问题进行换根． （1）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． （2）根据题意可得，所求方程的根与原方程的根的关系，用所求方程的根的代数式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程． 【详解】（1）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求方程为：． 故答案为：． （2）设所求方程的根为，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得． 故所求的方程为：． 故答案为：． 22．（1）用配方法解方程： （2）用适当的方法解方程： 【答案】（1），   （2）， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解一元二次方程． （1）用配方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ， 解得：，； （2） 或， 解得：，． 23．阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 24．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方法进行解题，设，则原方程化为：，解方程得：，，将解带入，求解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可以化为， ∵，，， ∴， ∴． 解得，． 当时，， ∴，； 当时，， ∴，． ∴原方程的解为，，，． 25．按要求解下列方程 (1)（配方法） (2) (3) (4)（公式法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ，即， ， ，． （2）解：， ， ， 或， ，． （3）解：， ， ， 或， ，． （4）解：， ， ，，， ， ， ，． 26．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得所以，， 所以，因为，所以． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y，满足，求的值； (2)已知的三边为a、b、c(c为斜边)，其中a、b满足，求斜边的长度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （1）利用换元法解方程即可解决问题； （2）利用换元法解方程可得． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为， 解得， ， ， ； （2）解：设， 则原方程可变为， 即， 解得，， ， ， ， 即斜边的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$