11.1 平方根-2024-2025学年八年级数学上册核心要点同步题型精练（北京专用，京改版）

好题精选·同步精炼 11.1平方根 知识点1 平方根的概念与开平方 1．一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 ，记作 ． 2．的平方根是（　　） A． B． C． D． 3．25的平方根为（    ） A． B． C．5 D． 4．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 5．（北京市通州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）解方程：． 6．（北京市北京理工大学附属中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）求出下列等式中的值： (1)； (2)． 7．（北京市第一零一中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）求下列各式中x的值： (1) (2) 8．（北京市海淀区人大附中西山学校2022-2023学年七年级下学期月考数学试题）根据平方根的意义解方程： (1)； (2)． 知识点2 平方根的性质 9．一个正数有 个平方根； 有 个平方根，是 ；负数 平方根． 10．若正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是 ，这两个平方根的和是 ． 11．（北京市十一学校2022--2023学年七年级下学期期中数学试卷）下列各数中，一定有平方根的是（    ） A． B． C． D． 12．（北京市海淀区人大附中2021-2022学年七年级下学期期中模拟数学试题）下列各数中没有平方根的是（    ） A．0 B． C． D． 13．下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．的平方根是 C．没有平方根 D．2是4的一个平方根 14．（北京市东城区广渠门中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）若一个正数的平方根为和，则x的值为 ． 15．若与是同一个数的平方根，则为 ． 16．已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值． 17．（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数m的两个平方根分别是x和，若，则m的值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 18．（21-22七年级下·北京·期中）已知x，y满足，则的平方根为（   ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 19．如果a，b分别是的两个平方根，那么 ． 20．已知正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求y的值； (2)若，求a的值． 21．已知与互为相反数，k是64的平方根，求m-n+k的平方根． 22．如果，那么的值为 ． 23．已知，则的值是 ． 24．（22-23八年级上·北京·期中）已知，，求和的值． 25．（23-24七年级下·北京·期中）已知有n个整数，，，，同时满足下列三个条件： ①； ②； ③； 求的平方根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精炼 11.1平方根 知识点1 平方根的概念与开平方 1．一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 ，记作 ． 【答案】 的平方根 【分析】本题考查的是平方根的定义，根据平方根的定义直接可得答案； 【详解】解：一般地，如果一个数 的平方等于 ，即，那么这个数 就叫做的平方根 ，记作； 故答案为：，的平方根， 2．的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴的平方根是． 故选：B． 3．25的平方根为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根，掌握平方根的表示方法是解题的关键．根据平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数即可求解． 【详解】解：25的平方根为， 答案：A 4．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是求解一个数的平方根，根据平方根的含义逐一求解即可． （1）由，可得答案； （2）由，可得答案； （3）由，可得答案； （4））由，可得答案； （5）由，，可得答案； （6）由，可得答案； 【详解】（1）解：的平方根是； （2）解：的平方根是； （3）解：的平方根是； （4）解：的平方根是； （5）解：∵， ∴的平方根是； （6）解：的平方根是． 5．（北京市通州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）解方程：． 【答案】或 【分析】此题考查了利用平方根的意义解方程，根据平方根的意义可得，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： 开平方得，， 则或， 解得或． 6．（北京市北京理工大学附属中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）求出下列等式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可； （2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键． 7．（北京市第一零一中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）求下列各式中x的值： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根、立方根的性质． （1）根据平方根的性质计算即可 （2）根据立方根的定义得出，进而求出答案． 【详解】（1）解： ， ∴， （2） ， 解得： 8．（北京市海淀区人大附中西山学校2022-2023学年七年级下学期月考数学试题）根据平方根的意义解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义求解即可； （2）根据平方根的意义求解即可； 【详解】（1） ∴解得； （2） ∴ ∴解得． 【点睛】此题考查了平方根的意义，解题的关键是熟练掌握平方根的意义． 知识点2 平方根的性质 9．一个正数有 个平方根； 有 个平方根，是 ；负数 平方根． 【答案】 1 0 没有 【分析】根据平方根的性质进行解答，本题主要考查了平方根的性质． 【详解】解：一个正数有个平方根； 有1个平方根，是0；负数没有平方根 故答案为：，1，0，没有． 10．若正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是 ，这两个平方根的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正数的平方根的含义，利用正数的两个平方根互为相反数可得答案； 【详解】解：正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是，这两个平方根的和是． 故答案为：， 11．（北京市十一学校2022--2023学年七年级下学期期中数学试卷）下列各数中，一定有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根可得这个数不论m取何值，都是非负数，逐一判断各选项即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∴一定有平方根，故A选项符合题意， 当时，， ∴不一定平方根，故B选项不符合题意， 当时，， ∴不一定有平方根，故C选项不符合题意， ∵， ∴， ∴一定没有平方根，故D选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查对平方根的理解，熟练掌握正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根是解题关键． 12．（北京市海淀区人大附中2021-2022学年七年级下学期期中模拟数学试题）下列各数中没有平方根的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的性质内容进行作答即可． 【详解】解：A、0的平方根是0，故该选项是不符合题意的； B、，所以没有平方根，故该选项是符合题意的； C、，所以有平方根，故该选项是不符合题意的； D、，所以有平方根，故该选项是不符合题意的； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根的性质；平方根的性质：①一个正数的平方根有两个，且互为相反数；②0的平方根为0；③负数没有平方根． 13．下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．的平方根是 C．没有平方根 D．2是4的一个平方根 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：A. 9的平方根是，选项错误，不符合题意；     B. 没有平方根，选项错误，不符合题意； C. 的平方根为，选项错误，不符合题意； D. 2是4的一个平方根，选项正确，符合题意． 故选：D． 14．（北京市东城区广渠门中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题）若一个正数的平方根为和，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，一个正数的平方根由两个，且二者互为相反数，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， 解得， 故答案为：． 15．若与是同一个数的平方根，则为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根的有关定义，根据平方根的定义分两种情况讨论即可，解题的关键是正确理解平方根的定义． 【详解】解：∵与是同一个数的平方根， ∴时， 解得：， 时， 解得：， 综上可知，为或， 故答案为：． 16．已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了平方根的性质，关键是掌握“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”． 由正数的两个平方根互为相反数可得到，解方程即可得到a的值， 再根据a的值可得到x的值． 【详解】解：依题意可得：， 解得：， ∴， ∴． 17．（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数m的两个平方根分别是x和，若，则m的值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，解二元一次方程组，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此可得方程组，解得，则． 【详解】解：∵正实数m的两个平方根分别是x和， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 18．（21-22七年级下·北京·期中）已知x，y满足，则的平方根为（   ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性求出，，联立可以求出x，y的值，再求出的值，进一步求出其平方根即可． 【详解】解：由题意可知：，， 联立可得：，解之得：， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根为． 故选：B． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，二元一次方程组，平方根，解题的关键是依据平方的非负性，绝对值的非负性，联立，，得到方程组． 19．如果a，b分别是的两个平方根，那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根的性质和意义，解本题的关键是熟练掌握平方根的性质． 根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得到，再根据，代入即可得出结论． 【详解】解：∵a，b分别是的两个平方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．）已知正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求y的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）依据题意，根据平方根的意义，可得，再结合，从而可求出的值； （2）依据题意，由（1），从而可得，的值，故可以得解． 本题主要考查了解二元一次方程及平方根，解题时需要熟练掌握并理解． 【详解】（1）解：由题意得，， ． 当时，． ． （2）解：由（1）得， 又， 上式相加得 ，， 则． 的两个平方根为1和． ． 21．已知与互为相反数，k是64的平方根，求m-n+k的平方根． 【答案】 【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n-0，解得m=-1，n=2；由k是64的方根，得出k=8，再代入m、n、k的值求得m-n+k的值，求其平方根即可． 【详解】∵与互为相反数， ∴+＝0， 又∵≥0，≥0， ∴m+1=0，2-n-0， ∴m=-1，n=2， ∵k是64的平方根， ∴k=8； 当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为； 当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根； 综合上述可得：m-n+k的平方根为． 【点睛】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0． 22．如果，那么的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了平方差公式，平方根应用，根据题中条件，掌握解方程的基本方法是解决问题的关键．令，得出，求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选答案为：3或． 23．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】由条件，先求出的值，再根据平方根的定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及平方根，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键． 24．（22-23八年级上·北京·期中）已知，，求和的值． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式变形求得，再利用完全平方公式求得，在求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴， 解得：． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式以及平方根，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 25．（23-24七年级下·北京·期中）已知有n个整数，，，，同时满足下列三个条件： ①； ②； ③； 求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，平方根等知识，根据题意可知这n个整数中每个数只能取0、1、2，则可以设有x个1，y个2，列出二元一次方程组，解方程组，问题随之得解． 【详解】根据题意可知：这n个整数中每个数只能取0、1、2， 则可以设有x个1，y个2， 根据题意列方程组： ， 解得， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$