10.5 第二课时 可化为一元一次方程的分式方程的应用-2024-2025学年八年级数学上册核心要点同步题型精练（北京专用，京改版）

好题精选·同步精练 10.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用 第二课时可化为一元一次方程的分式方程的应用 知识点1 列分式方程解应用题 考向一 工程问题 1．（23-24八年级上·北京昌平·期末）甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·北京西城·开学考试）某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树x棵，那么下面所列方程中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（21-22九年级下·北京西城·开学考试）某施工队计划修建一个长为600米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划一周修建隧道x米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4． （2022·北京西城·模拟预测）某车间原计划在x天内生产120个零件，由于采用了新技术，每天多生产零件3个，因此提前2天完成任务，则列方程为 ． 5． （21-22八年级上·北京大兴·期末）甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，则可列方程 ． 6． （2020·北京·三模）甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做个，甲做个所用的时间与乙做 个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做个，那么可列方程为 ． 7．（21-22八年级上·湖南岳阳·阶段练习）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用10天，且乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的1.5倍． (1)甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？ (2)若甲、乙两队共同工作4天后，乙队因工作需要停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，如果要完成任务，那么甲队再单独施工多少天？ 8．（11-12八年级下·重庆·期中）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 9．（22-23八年级上·北京·阶段练习）列分式方程解应用题： 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少原料? 考向二 销售问题 10．（22-23八年级上·北京·阶段练习）某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多10元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（21-22八年级上·北京海淀·阶段练习）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2019·北京顺义·二模）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同．设甲类玩具的进价为x元/个，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 13． （2022·北京海淀·模拟预测）初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 ． 14． （23-24九年级下·北京·阶段练习）学校用3600元去商场购买消毒液对教室进行消毒．经过还价，每瓶便宜2元，结果比用原价多买了60瓶．若设原价每瓶x元，则可列出方程为 ． 15． （22-23八年级上·北京·单元测试）某顾客第一次在商店买若干件小商品花去4元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价元，购买一打以上可以拆零买，这样，第二次花去4元买同样小商品的件数是第一次的倍．则他第一次买的小商品是 件． 16．（23-24八年级上·北京东城·期末）列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． (1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 (2) 请你完整解答本题． 16． （2024·北京西城·模拟预测）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 18．（2024·吉林长春·一模）为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元． 考向三 行程问题 19．（2012·山东聊城·一模）小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟．设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（    ） A． B． C． D． 20．（21-22八年级上·北京怀柔·期末）2021年6月，怀柔区政府和内蒙古自治区四子王旗政府签订了《2021年东西部协作协议》，在乡村振兴、产业合作、消费帮扶、就业帮扶、教育和健康帮扶方面，按计划推动工作落实．在产业合作过程中，怀柔区为四子王旗提供设备和技术支持．运送设备使用大货车，技术人员乘坐面包车．已知怀柔区与四子王旗相距600千米，若面包车的速度是大货车的1.2倍，两车同时从怀柔区出发，大货车到达四子王旗比面包车多用小时．求大货车和面包车的速度．设大货车速度为x 千米/小时，下面是四位同学所列的方程：①国国：； ②佳佳：；③富富：；④强强：．其中，正确的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 21．（2021·北京海淀·模拟预测）某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度，设1号车的平均速度为xkm/h，可列方程为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23八年级上·北京西城·期末）小王读到关于京唐城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）运行时相应所用的时间比约少，那么可列出关于v的方程为 ． 区间段 区间近似里程 区间设计最高时速 相应所用时间 北京城市副中心站−香河站 47.8 t1 香河站−唐山西站 87 v t2 23． （21-22九年级下·北京·期中）为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发分钟，才能按原时间到达单位．设小红骑自行车的速度为每小时千米，依题意，可列方程为 24．（19-20八年级上·北京海淀·期末）北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营.小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示： 出行方式 途径站点 路程 地铁 草桥—大兴新城—大兴机场 全程约43公里 公交 北京站—蒲黄榆—榴乡桥—大兴机场 全程约54公里 由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场.若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程: ． 25．（23-24九年级下·北京·阶段练习）列方程解应用题 某学校组织学生到离校千米的国家博物馆进行实践教育活动，同学们统一从学校乘车前往．小明在去学校的途中遇上堵车，比同学们晚分钟从学校出发，由他的家长开车沿相同路线送小明赶往国家博物馆，结果小明和同学们同时到达．已知小明的速度是同学们的速度的2倍，求同学们的速度是每小时多少千米？ 26． （23-24八年级上·北京·期末）远大中学组织同学到离学校15km的郊区进行社会调查．一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40min后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度． 27．（23-24八年级上·北京通州·期末）列方程解应用题： 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间. 知识点2 公式变型 28．（22-23八年级上·河南许昌·期末）一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：．已知u和v，则（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期末）物理电学中，并联电路总电阻的倒数等于各分电阻的倒数之和．即：，用含、的式子表示R，则 ． 30．（2024·北京西城·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 31．（20-21八年级上·北京丰台·期末）年月日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区月和月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示： 类别                     月份 月 月 厨余垃圾分出量（千克） 其他三种垃圾的总量（千克） 厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率(生活垃圾总量厨余垃圾分出量其他三种垃圾的总量），且该小区月的厨余垃圾分出率约是月的厨余垃圾分出率的倍，那么下面列式正确的是（  ） A． B． C． D． 32．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 10.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用 第二课时可化为一元一次方程的分式方程的应用 知识点1 列分式方程解应用题 考向一 工程问题 1．（23-24八年级上·北京昌平·期末）甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出乙每天做个零件，再根据甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，乙每天做个零件， 则可列方程为， 故选：A． 2．（22-23八年级下·北京西城·开学考试）某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树x棵，那么下面所列方程中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原计划平均每天植树x棵，则现在平均每天植树棵，根据：现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，即可求解． 【详解】解：设原计划平均每天植树x棵，则现在平均每天植树棵，根据题意，得 ； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 3．（21-22九年级下·北京西城·开学考试）某施工队计划修建一个长为600米的隧道，第一周按原计划的速度修建，一周后以原来速度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成任务，若设原计划一周修建隧道x米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设原计划一周修建隧道x米，根据结果比原计划提前一周完成任务，可知第一周后，提高速度后比不提高速度提前一周完成任务，由此列出方程即可． 【详解】解：设原计划一周修建隧道x米， 由题意得：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 4．（2022·北京西城·模拟预测）某车间原计划在x天内生产120个零件，由于采用了新技术，每天多生产零件3个，因此提前2天完成任务，则列方程为 ． 【答案】 【分析】关键描述语为：“每天多生产零件3个”；等量关系为：原计划的工作效率=采用新技术后的工作效率-3． 【详解】解：原计划的工作效率为：，采用新技术后的工作效率为：． 所列方程为：． 故答案为：． 【点睛】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 5．（21-22八年级上·北京大兴·期末）甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，则可列方程 ． 【答案】 【分析】设甲每天做x个零件，则乙每天做 个零件，根据“甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设甲每天做x个零件，则乙每天做 个零件，根据题意得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 6．（2020·北京·三模）甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做个，甲做个所用的时间与乙做 个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做个，那么可列方程为 ． 【答案】 【分析】先用含x的代数式表示出甲做个所用的时间与乙做个所用的时间，然后根据二者时间相同即可列出方程． 【详解】解：设甲每小时做个，则乙每小时做（x+6）个，根据题意， 得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题关键． 7．（21-22八年级上·湖南岳阳·阶段练习）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用10天，且乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的1.5倍． (1)甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？ (2)若甲、乙两队共同工作4天后，乙队因工作需要停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，如果要完成任务，那么甲队再单独施工多少天？ 【答案】(1)甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天 (2)10天 【分析】（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据 “乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的1.5倍”找到等量关系，建立方程，求出其解即可； （2）设甲队再单独施工a天，根据甲、乙两队共同工作4天，甲队的工作效率提高到原来的2倍，利用总工作量为1，建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天， 由题意可得： ， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解， ∴x+10＝30（天）， 答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天； （2）设甲队再单独施工a天，由题意可得： ， 解得：a＝10， 答：甲队再单独施工10天． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解答本题的关键是掌握工作时间×工作效率=工作总量，利用此关系等式列出分式方程． 8．（11-12八年级下·重庆·期中）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】（1）乙队单独完成需90天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 【分析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1． （2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可． 【详解】解：（1）设乙队单独完成需x天． 根据题意，得：． 解这个方程得：x=90． 经检验，x=90是原方程的解． ∴乙队单独完成需90天． （2）设甲、乙合作完成需y天，则有， 解得，y=36； ①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）． ②乙单独完成超过计划天数不符题意， ③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）． 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 9．（22-23八年级上·北京·阶段练习）列分式方程解应用题： 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料．现有A，B两种机器人，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少原料? 【答案】答：A种机器人每小时搬运原料，B种机器人每小时搬运原料． 【分析】设B种机器人每小时搬运原料，则A种机器人每小时搬运原料，由题意：A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设B种机器人每小时搬运原料，则A种机器人每小时搬运原料， 根据题意得：， 解方程，得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ， 答：A种机器人每小时搬运原料，B种机器人每小时搬运原料． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 考向二 销售问题 10．（22-23八年级上·北京·阶段练习）某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多10元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为元，根据700元购买甲种水杯的数量和用500元购买乙种水杯的数量相同列方程即可得解． 【详解】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为元 根据题意列出方程得：． 故选B． 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键． 11．（21-22八年级上·北京海淀·阶段练习）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为（-15）元，根据720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同列方程即可得解． 【详解】解：设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为（-15）元 根据题意列出方程得：． 故选项A． 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键． 12．（2019·北京顺义·二模）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同．设甲类玩具的进价为x元/个，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设甲类玩具的进价为x元/个，根据用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可． 【详解】解：设甲类玩具的进价为x元/个，则乙类玩具的进价为（x−5）元/个， 由题意得，， 故选A． 【点睛】本题考查的是列分式方程解应用题，找到等量关系是解决问题的关键． 13．（2022·北京海淀·模拟预测）初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，利润、成本及利润率的关系，设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元，由“销售量的比为时，总获利为”及利润率公式，可求得a与b的关系，则可求得销售量的比为时的总获利． 【详解】解：设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元， 则， 解得， 当销售量的比为时，总获利为：， 故答案为：． 14．（23-24九年级下·北京·阶段练习）学校用3600元去商场购买消毒液对教室进行消毒．经过还价，每瓶便宜2元，结果比用原价多买了60瓶．若设原价每瓶x元，则可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程， 由原价及还价后每瓶便宜2元，可得出还价后每瓶元，利用数量总价单价，结合结果比用原价多买了60瓶，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原价每瓶x元，还价后每瓶元， 根据题意有：， 故答案为：． 15．（22-23八年级上·北京·单元测试）某顾客第一次在商店买若干件小商品花去4元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价元，购买一打以上可以拆零买，这样，第二次花去4元买同样小商品的件数是第一次的倍．则他第一次买的小商品是 件． 【答案】20 【分析】设他第一次买的小商品是件，根据题意列出分式方程，解方程即可求解． 【详解】设他第一次买的小商品是件， 由题意得，， 解得 ， 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 16．（23-24八年级上·北京东城·期末）列分式方程解应用题 “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格． (1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整： 型号 总价（元） 单价（元/套） 购买套数 型 型 3000 (2)请你完整解答本题． 【答案】(1)1300；； (2)每套B型号的“文房四宝”的价格为100元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）先求出型号的“文房四宝”花费元，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套； （2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元， ∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，， ∴每套型号的“文房四宝”的价格为元， ∴购买型号的“文房四宝”套， 故答案为：1300；；； （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元． 17．（2024·北京西城·模拟预测）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 【答案】该商场每千克红枣粽进价是元 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确找出相等关系是解题的关键． 设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据用元购进鲜肉粽的数量和用元购进红枣粽的重千克，列分式方程求解即可； 【详解】解：设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元， 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 该商场每千克红枣粽进价是元； 答：该商场每千克红枣粽进价是元． 18．（2024·吉林长春·一模）为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元． 【答案】每套的价格是150元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，根据“用2400元购买的套数只比第一批少4套”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元．       根据题意，得， 解得．       经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元． 考向三 行程问题 19．小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟．设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据时间=路程÷速度，注意时间单位的统一． 【详解】根据题意，得： ， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解时间=路程÷速度，注意单位一致是解题的关键． 20．（21-22八年级上·北京怀柔·期末）2021年6月，怀柔区政府和内蒙古自治区四子王旗政府签订了《2021年东西部协作协议》，在乡村振兴、产业合作、消费帮扶、就业帮扶、教育和健康帮扶方面，按计划推动工作落实．在产业合作过程中，怀柔区为四子王旗提供设备和技术支持．运送设备使用大货车，技术人员乘坐面包车．已知怀柔区与四子王旗相距600千米，若面包车的速度是大货车的1.2倍，两车同时从怀柔区出发，大货车到达四子王旗比面包车多用小时．求大货车和面包车的速度．设大货车速度为x 千米/小时，下面是四位同学所列的方程：①国国：； ②佳佳：；③富富：；④强强：．其中，正确的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据题意设大货车速度为x 千米/小时，则面包车的速度为1.2x 千米/小时，总路程均为600千米，由路程、速度、时间之间的关系及大货车到达四子王旗比面包车多用小时，列出方程即可得． 【详解】解：设大货车速度为x 千米/小时，则面包车的速度为1.2x 千米/小时，总路程均为600千米， 根据题意可得：， 变形为： ，， ∴①④正确， 故选：C． 【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，熟练运用路程、速度、时间之间的关系是解题关键． 21．（2021·北京海淀·模拟预测）某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度，设1号车的平均速度为xkm/h，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设1号车的平均速度为x千米/时，则2号车的平均速度是1.2x千米/时，进而利用1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达得出等式求出答案． 【详解】解：设1号车的平均速度为x千米/时，则2号车的平均速度是1.2x千米/时，根据题意可得： 故选A． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 22．（22-23八年级上·北京西城·期末）小王读到关于京唐城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）运行时相应所用的时间比约少，那么可列出关于v的方程为 ． 区间段 区间近似里程 区间设计最高时速 相应所用时间 北京城市副中心站−香河站 47.8 t1 香河站−唐山西站 87 v t2 【答案】 【分析】根据速度、时间、路程之间的关系及比约少，即可列出关于v的方程． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键． 23．（21-22九年级下·北京·期中）为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发分钟，才能按原时间到达单位．设小红骑自行车的速度为每小时千米，依题意，可列方程为 【答案】 【分析】设小红骑自行车的速度是每小时x千米，则驾车的速度是每小时4x千米，依据“小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程． 【详解】解：设小红骑自行车的速度是每小时千米，则驾车的速度是每小时千米， 根据题意得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 24．（19-20八年级上·北京海淀·期末）北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入运营.小贝和小京分别从草桥和北京站出发赶往机场乘坐飞机，出行方式及所经过的站点与路程如下表所示： 出行方式 途径站点 路程 地铁 草桥—大兴新城—大兴机场 全程约43公里 公交 北京站—蒲黄榆—榴乡桥—大兴机场 全程约54公里 由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小贝比小京少用了半小时到达机场.若设公交的平均速度为x公里/时，根据题意可列方程: ． 【答案】 【分析】根据小贝比小京少用了半小时到达机场可列出方程. 【详解】根据时间关系可得： 故答案为： 【点睛】考核知识点：列分式方程.理解路程公式是关键. 25．（23-24九年级下·北京·阶段练习）列方程解应用题 某学校组织学生到离校千米的国家博物馆进行实践教育活动，同学们统一从学校乘车前往．小明在去学校的途中遇上堵车，比同学们晚分钟从学校出发，由他的家长开车沿相同路线送小明赶往国家博物馆，结果小明和同学们同时到达．已知小明的速度是同学们的速度的2倍，求同学们的速度是每小时多少千米？ 【答案】40千米/时 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设同学们的速度为千米/时．则小明的速度为千米/时，根据小明花费的时间比同学们的时间少15分钟列出方程求解即可． 【详解】解：设同学们的速度为千米/时．则小明的速度为千米/时，15分钟小时． 依题意，列方程得， 解得． 经检验是所列方程的解，并且符合题意． 答：同学们的速度为40千米/时． 26．（23-24八年级上·北京·期末）远大中学组织同学到离学校15km的郊区进行社会调查．一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40min后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度． 【答案】自行车的速度为15km/h，汽车的速度为45km/h 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设自行车的速度为x km/h，则汽车的速度为 km/h，根据骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地，列出分式方程进行求解即可．读懂题意，正确的列出分式方程，是解题的关键． 【详解】解：设自行车的速度为x km/h，则汽车的速度为km/h， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：自行车的速度为15km/h，汽车的速度为45km/h． 27．（23-24八年级上·北京通州·期末）列方程解应用题： 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间. 【答案】天 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意列出方程解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 根据题意得：， 即 两边同时乘以 得 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：规定时间为天． 知识点2 公式变型 28．（22-23八年级上·河南许昌·期末）一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：．已知u和v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把u、v当作常数，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加减，关键是会正确对分式进行变形． 29．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期末）物理电学中，并联电路总电阻的倒数等于各分电阻的倒数之和．即：，用含、的式子表示R，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简，通分，熟练掌握通分的方法是解题的关键． 先通分，然后取倒数解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 30．（2024·北京西城·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 31．（20-21八年级上·北京丰台·期末）年月日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区月和月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示： 类别                     月份 月 月 厨余垃圾分出量（千克） 其他三种垃圾的总量（千克） 厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率(生活垃圾总量厨余垃圾分出量其他三种垃圾的总量），且该小区月的厨余垃圾分出率约是月的厨余垃圾分出率的倍，那么下面列式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式列出12月与5月厨余垃圾分出率，根据月的厨余垃圾分出率约是月的厨余垃圾分出率的倍列方程即可． 【详解】5月份厨余垃圾分出率=，12月份厨余垃圾分出率= ， ∴由题意得， 故选：B． 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 32．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标； (3)两次漂洗的方法值得推广学习 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$