10.4 分式的加减法-2024-2025学年八年级数学上册核心要点同步题型精练（北京专用，京改版）

好题精选·同步精练10.4分式的加减法 知识点1 同分母分式的加减法 1．（22-23八年级下·北京·阶段练习）化简结果为（    ） A． B． C．a D．1 2．（2024·北京·模拟预测）计算等于（    ） A． B．1 C． D． 3．（2024·北京房山·模拟预测）若 ，则A 是（　） A． B．2 C．3 D． 4．（23-24八年级下·北京·期末）计算的结果是（   ） A． B．1 C．0 D．-1 5．计算： ． 6．计算： (1)； (2)． 7．计算： (1)； (2)； 8．计算： (1)； (2)． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算：． 知识点2 分式的通分与最简公分母 11．（21-22八年级上·北京·期末）在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级上·北京·期中）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·北京·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 14．（17-18八年级下·北京·课后作业）把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 15．（22-23八年级下·北京·期中）分式、的最简公分母是 ． 16．（23-24八年级上·北京·期末）分式、、的最简公分母是 ． 17．（23-24八年级下·北京·期末）分式，的最简公分母是 ． 18．（2024·北京·模拟预测）如果，则＝ ． 19．（23-24八年级上·北京·课堂例题）填空： （1） ；     （2） ； （3） ． 20．（21-22八年级上·北京·课后作业）（1）； （2）； （3）； 21．（23-24八年级下·北京·课后作业）通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 知识点3 异分母分式的加减法 22．（22-23八年级上·北京·期末）计算：结果为（    ） A． B． C． D．2 23．（2024·北京·模拟预测）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 24．（2024·北京·模拟预测）化简： ． 25．（22-23八年级上·北京·阶段练习）化简 26．（23-24八年级下·北京·期末）计算： ． 27．（23-24七年级下·北京·期末）若，则 ． 28．（22-23八年级下·北京·期末）计算：． 29．（22-23八年级上·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 30．（23-24八年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 31．（23-24八年级下·北京·期末）计算： (1)； (2)． 32．（23-24八年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 知识点4 分式的混合运算 33．（21-22八年级上·北京·期末）计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·北京·期中）化简的结果是 35．（22-23八年级下·北京·阶段练习）计算： ． 36．（23-24八年级上·北京·期末）计算： ． 37．（23-24八年级下·北京·期末）化简的结果是 38．（2024·北京·二模）计算：的值为 ． 39．（2023·北京·模拟预测）化简：． 40．（2024九年级上·北京·专题练习）下面是小宇同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简：． 解：原式……………第一步 ………………………第二步 …………………第三步 ………………第四步 ． …………………………第五步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分． ②第______步开始出现错误． 任务二：请直接写出原题目分式运算后的正确结果． 41．（22-23八年级上·北京·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 42．（2024·北京·模拟预测）若，则代数式的值为 ． 43．（23-24七年级下·北京·阶段练习）已知，则的值为 ． 44．（23-24八年级下·北京·期末）若，那么 ． 45．（23-24八年级下·北京·期中）若是方程的根，则代数式的值是 ． 46．（22-23八年级上·北京·期末）已知，且，则 ． 47．（2024八年级上·北京·专题练习）先化简，再求值：，从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 48．（23-24八年级下·北京·期末）定义：形如（m，n不为零）的方程为“十字分式方程”，它的两个解分别为，． 举例：为十字分式方程，可化为， ∴，． 为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用：若十字分式方程的两个解分别为，，则 ． 49．（23-24八年级上·北京东城·期末）已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练10.4分式的加减法 知识点1 同分母分式的加减法 1．（22-23八年级下·北京·阶段练习）化简结果为（    ） A． B． C．a D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了同分母分式相加．根据同分母分式相加法则计算，即可求解． 【详解】解： ． 故选：B 2．（2024·北京·模拟预测）计算等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同分母分式的加减，利用分式的基本性质先把分式化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则计算． 【详解】解： ． 故选：C． 3．（2024·北京房山·模拟预测）若 ，则A 是（　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出关于的等式，求出的值即可． 【详解】 解：∵， ∴． 故选：B． 4．（23-24八年级下·北京·期末）计算的结果是（   ） A． B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的加减法，运用同分母分式相加减，分母不变分子相加减进行运算即可 【详解】解： ， 故选：C 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式加减混合运算，掌握分式的性质，及分式的混合运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先变形，再根据同分母分式的加减法法则运算即可； （）先通分，再根据同分母分式的加减法法则运算即可； 本题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ， ， ． 7．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的运算：同分母分式减法运算，分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）根据同分母分式减法计算； （2）根据分式混合运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，分式加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据整式乘法运算法则进行计算即可； （2）根据同分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）利用同分母分式相加法则计算即可； （2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． ． 10．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同分母分式的加减运算，当分子是多项式时，运算中分子要加括号是解题的关键． 直接根据同分母分式加减运算即可． 【详解】解： ． 知识点2 分式的通分与最简公分母 11．（21-22八年级上·北京·期末）在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可． 【详解】， 计算通分时，分母确定为． 故选B 【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键． 12．（22-23八年级上·北京·期中）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简公分母．先把分母分解因式，再根据最简公分母定义即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴最简公分母是． 故选：C 13．（23-24八年级下·北京·课后作业）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可． 【详解】∵分式与分式的最简公分母是， ∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为． 故选C． 14．（17-18八年级下·北京·课后作业）把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 15．（22-23八年级下·北京·期中）分式、的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式、的分母分别为，，最简公分母为． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·北京·期末）分式、、的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的最简公分母，掌握“各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积” 叫做最简公分母，是解题的关键．取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴分式，，的最简公分母是：． 故答案是：． 17．（23-24八年级下·北京·期末）分式，的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式．根据最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母即可求出答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是：， 故答案为：． 18．（2024·北京·模拟预测）如果，则＝ ． 【答案】 【分析】根据的关系，可以求出．解答本题不仅要会通分，还要将当做一个整体看待．本题考查了分式的通分． 【详解】解：， ， ． 故答案为． 19．（23-24八年级上·北京·课堂例题）填空： （1） ；     （2） ； （3） ． 【答案】 3 【分析】本题考查的是分式的通分，约分． （1）把分子与分母约分法则即可； （2）找出最简公分母，计算即可； （2）把分子与分母约分法则即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：3； （2） 故答案为：； （3）； 故答案为：． 20．（21-22八年级上·北京·课后作业）（1）； （2）； （3）； 【答案】 【分析】（1）根据分式的基本性质，分子分母同乘-1即可； （2）根据分式的基本性质，分子分母同除以xy即可； （3）根据分式的基本性质，分子分母同乘-2-y即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行分式变形，确定分子分母同时乘除的整式． 21．（23-24八年级下·北京·课后作业）通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 知识点3 异分母分式的加减法 22．（22-23八年级上·北京·期末）计算：结果为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减，根据异分母分式的减法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 23．（2024·北京·模拟预测）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式加法运算，先通分，再进行加法运算，将结果化为最简分式或整式；掌握运算步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故选：A． 24．（2024·北京·模拟预测）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的加减法，在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．先将分母变为相同的形式，然后进行分子的运算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 25．（22-23八年级上·北京·阶段练习）化简 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是先将分子分母进行因式分解． 先计算括号内的减法运算，然后因式分解，再约分即可． 【详解】解： 故答案为：． 26．（23-24八年级下·北京·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了异分母分式加减运算，先约分，然后再根据同分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 27．（23-24七年级下·北京·期末）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的加减运算，采用整体代入是解题的关键． 将代入式子中，约分后运用分式的加法运算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：1 28．（22-23八年级下·北京·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，平方差公式，熟练掌握分式的运算规则是解题的关键．先利用平方差公式进行因式分解，然后通分计算，约分化简即可． 【详解】解： ． 29．（22-23八年级上·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了异分母分式加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先通分，再计算同分母分式减法； （2）先通分，再计算同分母分式加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．（23-24八年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据同分母分式的加法法则计算即可得出答案； （2）根据异分母分式的减法法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 31．（23-24八年级下·北京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是分式的加减混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到答案； （2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时对分母进行因式分解，约分即可得到答案． 【详解】（1）解：原式， ， ． （2）解：原式， ， ． 32．（23-24八年级下·北京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查分式的加减法计算， （1）根据分式加减法计算法则计算即可； （2）先通分，相加减，再化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 知识点4 分式的混合运算 33．（21-22八年级上·北京·期末）计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 34．（23-24八年级上·北京·期中）化简的结果是 【答案】 【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 35．（22-23八年级下·北京·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解． 36．（23-24八年级上·北京·期末）计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则． 37．（23-24八年级下·北京·期末）化简的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查分式的四则混合运算，原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法计算即可 【详解】解： 故答案为： 38．（2024·北京·二模）计算：的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算． 根据分式运算法则先算括号内的减法，再算除法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 39．（2023·北京·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 40．（2024九年级上·北京·专题练习）下面是小宇同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 化简：． 解：原式……………第一步 ………………………第二步 …………………第三步 ………………第四步 ． …………………………第五步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分． ②第______步开始出现错误． 任务二：请直接写出原题目分式运算后的正确结果． 【答案】任务一：①三；②四；任务二：． 【分析】任务一：①通分在第三步；②第四步开始出现错误； 任务二：先分式除法换作乘法，分解因式约分，再通分相减，化简即得； 本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：任务一： ①第三步进行通分， 故答案为：三； ②第四步开始出现错误， 故答案为：四； 任务二： 原式 ， ， ， ． 41．（22-23八年级上·北京·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减运算，先通分，再按同分母的分式减法法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 【点睛】 42．（2024·北京·模拟预测）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将括号内通分，将除法改写为乘法，各个分子分母因式分解，再进行计算，最后根据得出，即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 43．（23-24七年级下·北京·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，完全平方公式的变形，把原式化为是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 44．（23-24八年级下·北京·期末）若，那么 ． 【答案】3 【分析】此题考查了异分母分式加法计算，二元一次方程组，根据异分母分式加法得到，由此得到方程组，求解即可，熟练掌握异分母分式加法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ∴ 解得， ∴， 故答案为3． 45．（23-24八年级下·北京·期中）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 46．（22-23八年级上·北京·期末）已知，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【详解】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 47．（2024八年级上·北京·专题练习）先化简，再求值：，从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式的混合运算—化简求值，分式的化简求值．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再结合分式有意义的条件选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ∵， 代入得原式． 48．（23-24八年级下·北京·期末）定义：形如（m，n不为零）的方程为“十字分式方程”，它的两个解分别为，． 举例：为十字分式方程，可化为， ∴，． 为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用：若十字分式方程的两个解分别为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，利用完全平方公式变形求值，分式的加法，理解十字分式方程的定义是解题关键． 先根据十字分式方程的定义求出，的值，再化简代入计算即可求解． 【详解】解：十字分式方程的两个解分别为：，， ∴，， ∴ 故答案为：． 49．（23-24八年级上·北京东城·期末）已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种： 例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为． 请根据以上方法，回答下面的问题： (1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______； (2)若实数，满足，． ①_______（用含的式子表示）； ②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1)；且； (2)①；② 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的除法运算，化简求值，掌握运算法则是解本题的关键； （1）根据分式的基本性质化简繁分式即可，根据分母不为0求解分式有意义的条件时，字母的取值范围即可； （2）①先代入，再列式计算分式的除法运算即可； ②先化简分式，代入，约分后可得答案． 【详解】（1）解：； ∵繁分式有意义， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）①∵，． ∴ ； ②∵， ∴， ； 试卷第2页，共26页 试卷第1页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $$