第18讲 三角函数公式（二）讲义-2025届高三数学一轮复习

第18讲 三角函数公式（二） 两角和与差的三角函数及其二倍角公式 一．基础知识整合 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin(α＋β)＝ (Sα＋β) sin(α－β)＝＝ (Sα－β) cos(α＋β)＝＝ 　(Cα＋β) cos(α－β)＝＝ (Cα－β) tan(α＋β)＝ 　(Tα＋β) tan(α－β)＝ 　(Tα－β) 2．二倍角公式：sin 2α＝ ； cos 2α＝ ＝ ＝ ； tan 2α＝ 3．公式的逆向变换及有关变形：（1）tan α＋tan β＝ ； tan α－tan β＝ ；(2)sin αcos α＝ ； (3)降幂公式：sin2α＝ ，cos2α＝ ；(4)升幂公式：1＋cos 2α＝ ，1－cos 2α＝ ；（5）1±sin 2α＝ ；sin α±cos α＝ 。. 4．辅助角公式：asin＋bcos＝ ，（其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.φ的终边所在象限由a、b的符号来确定） 二．典例精析 题型一：三角函数公式的基本应用 例1：（1）已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝ （2）已知sin α＝，α∈(，π)，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为 （3）已知sin θ＋sin(θ＋)＝1，则sin(θ＋)＝________． 【变式训练1】（1）若tan θ＝－2，则 ＝ （2）若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝______． （3）已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________． 题型二：三角函数公式的求值应用(高频考点) 例2：（1）＝________． （2）已知sin(x＋)＝，0≤x≤π，则＝ （3）已知α，β为锐角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，则α＋β＝__________． 变式训练2：(1)已知α为锐角，且cos α(1＋tan 10°)＝1，则α的值为 （2）已知α，β∈(，)，若sin(α＋)＝，cos(β－)＝，则sin(α－β)= （3）在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为________． 三．方法规律总结 1．两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． 2．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用． 3．(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角 4．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等． 5．三角函数求值有三类 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 四．课后练习作业 一、单项选择题 1．sin 110°cos 40°－cos 70°sin 40°＝(　　) A. B. C．－ D．－ 2．已知sin(α＋)＝，α∈(，)，则cos α＝(　　) A. B. C. D. 3．若tan(α－π)＝2，则＝(　　) A．－3 B．－ C. D．3 4．已知sin(α＋β)＝1，α，β均为锐角，且tan α＝，则cos β＝(　　) A. B. C. D. 5．已知tan(α＋)＝3，tan(α＋β)＝，则tan(2π－β)＝(　　) A．1 B． C－. D．2或6 6．若＝，则tan 2θ＝(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 7．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于(　　) A. B. C. D. 8．若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos(α＋)sin β，则(　　) A．tan(α－β)＝－1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝1 D．tan(α＋β)＝－1 二、多选题 9．下列说法正确的是(　　) A．cos2α＝ B．1－sin α＝2 C．sin α＋cos α＝sin D．＝ 10．已知cos α＝，则＝(　　) A． B． C． D．－ 11．已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则(　　) A．cos α＝－ B．sin α－cos α＝ C．β－α＝ D．cos αcos β＝－ 三、填空题 12．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin(β＋)＝________． 13．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝________． 14．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________． 三、解答题 15．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝. (1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f. 16．已知cos(＋α)cos(－α)＝－，α∈(，)． (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－的值． 17．已知2sin α＝2sin2－1. (1)求sin αcos α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈(0，)，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α、钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是. (1)求cos(α－β)的值；(2)求sin(2α－β)的值． 19．如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个▱MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，▱MNPQ的面积为S. (1)求S关于θ的函数关系式； (2)求S的最大值及相应的θ角． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 三角函数公式（二） 两角和与差的三角函数及其二倍角公式 一．基础知识回顾 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ　(Sα＋β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ　(Sα－β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ　(Cα＋β)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(Cα－β) tan(α＋β)＝　(Tα＋β) tan(α－β)＝　(Tα－β) 2．二倍角公式：sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 3．公式的逆向变换及有关变形：（1）tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；(2)sin αcos α＝sin 2α (3)降幂公式：sin2α＝ ，cos2α＝；(4)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α；（5）1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；sin α±cos α＝sin. 4．辅助角公式：asin＋bcos＝sin(α＋φ)，（其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.φ的终边所在象限由a、b的符号来确定） 二．典例精析 题型一：三角函数公式的基本应用 例1：（1）已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝ （2）已知sin α＝，α∈(，π)，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为 （3）已知sin θ＋sin(θ＋)＝1，则sin(θ＋)＝________． 【解析】（1）由三角函数的定义，得sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝.（2）因为sin α＝，α∈(，π)，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.因为tan (π－β)＝－tan β＝，所以tan β＝－，则tan(α－β)＝＝－.（3）因为sin θ＋sin (θ＋)＝sin(θ＋－)＋sin(θ＋＋)＝sin(θ＋)cos－cos(θ＋)sin＋sin(θ＋)cos＋cos(θ＋)sin＝2sin(θ＋)·cos＝sin(θ＋)＝1，所以sin(θ＋)＝. 【变式训练1】（1）若tan θ＝－2，则 ＝ （2）若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝______． （3）已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________． 【解析】(1)因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝（2）tan(－)＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.因为sin α＋cos β＝1，　①cos α＋sin β＝0，　②所以①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，所以sin αcos β＋cos αsin β＝－，所以sin(α＋β)＝－. 题型二：三角函数公式的求值应用(高频考点) 例2：（1）＝________． （2）已知sin(x＋)＝，0≤x≤π，则＝ （3）已知α，β为锐角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，则α＋β＝__________． 【解析】（1）＝＝＝＝.(2)原式＝，(*)由sin(x＋)＝，得sin x＋cos x＝，①所以(sin x＋cos x)2＝，所以2sin xcos x＝－.②又0≤x≤π，由①②知＜x＜.所以1－2sin xcos x＝，即(sin x－cos x)2＝，故sin x－cos x＝.③将①②③代入(*)得原式＝＝－×(－)＝.（3）)由题意得1－(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，即－(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β，则tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，则tan(α＋β)＝＝＝－.因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π，则α＋β＝. 变式训练2：(1)已知α为锐角，且cos α(1＋tan 10°)＝1，则α的值为 （2）已知α，β∈(，)，若sin(α＋)＝，cos(β－)＝，则sin(α－β)= （3）在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为________． 【解析】（1）.由cos α(1＋tan 10°)＝1得，cos α＝＝ ＝＝＝＝＝＝cos 40°.又α为锐角，所以α＝40°.α＋∈(，π)，β－∈(－，0)，所以cos(α＋)＝－，sin(β－)＝－，所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－×＋(－)×(－)＝.（3）由已知可得cos α＝，sin β＝，又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝，因此cos 2α＝2cos2α－1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，所以0<2α<.又β为锐角，所以－<2α－β<.又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝. 三．方法规律总结 1．两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． 2．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用． 3．(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角 4．三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等． 5．三角函数求值有三类 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 四．课后练习作业 一、单项选择题 1．sin 110°cos 40°－cos 70°sin 40°＝(　　) A. B. C．－ D．－ 【答案】A【解析】.sin 110°cos 40°－cos 70°sin 40°＝sin 70°·cos 40°－cos 70°sin 40°＝sin(70°－40°)＝sin 30°＝. 2．已知sin(α＋)＝，α∈(，)，则cos α＝(　　) A. B. C. D. 【答案】C【解析】.由α∈(，)，得α＋∈(，)，则cos(α＋)＝－＝－，cos α＝cos[(α＋)－]＝cos(α＋)cos ＋sin(α＋)sin＝－×＋×＝.. 3．若tan(α－π)＝2，则＝(　　) A．－3 B．－ C. D．3 【答案】A.【解析】由题意得tan α＝2，则＝＝＝＝＝－.故选B. 4．已知sin(α＋β)＝1，α，β均为锐角，且tan α＝，则cos β＝(　　) A. B. C. D. 【答案】D【解析】.因为α，β均为锐角，sin(α＋β) ＝1，所以α＋β＝，又tan α＝，所以sin α＝，cos α＝，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝0＋＝. 5．已知tan(α＋)＝3，tan(α＋β)＝，则tan(2π－β)＝(　　) A．1 B． C－. D．2或6 【答案】B【解析】因为tan(α＋)＝tan(α＋)＝3，所以＝3，解得tan α＝.又因为tan(α＋β)＝，所以tan(2π－β)＝－tan β＝－tan[(α＋β)－α]＝－＝－＝.故选B. 6．若＝，则tan 2θ＝(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 【答案】D【解析】因为＝，所以＝， 所以＝，即tan θ＝，即tan2θ＋2tan θ＝1，所以tan 2θ＝＝＝＝1. 7．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，故cos(α－β)＝＝，而cos α＝，∴sin α＝，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.故β＝ 8．若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos(α＋)sin β，则(　　) A．tan(α－β)＝－1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝1 D．tan(α＋β)＝－1 【答案】A【解析】由原式展开整理得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2cos αsin β－2sin αsin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，进而得sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，又知cos(α－β)≠0，所以tan(α－β)＝－1. 二、多选题 9．下列说法正确的是(　　) A．cos2α＝ B．1－sin α＝2 C．sin α＋cos α＝sin D．＝ 【答案】ABD【解析】∵cos 2α＝2cos2α－1，∴cos2α＝，故A正确；1－sin α＝sin2＋cos2－2sin cos ＝2，故B正确；sin α＋cos α＝sin，故C错误； ＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝，故D正确．故选A、B、D． 10．已知cos α＝，则＝(　　) A． B． C． D．－ 【答案】CD【解析】由cos α＝得sin α＝±．＝＝＝＝2(sin α＋cos α)，所以当sin α＝时，原式＝； 11．已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则(　　) A．cos α＝－ B．sin α－cos α＝ C．β－α＝ D．cos αcos β＝－ 【答案】BC【解析】因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝>0，故有≤2α≤π，≤α≤，解出cos 2α＝－＝2cos2α－1⇒cos2α＝⇒cos α＝，故A错误；(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，又≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又cos(α＋β)＝－<0，所以≤α＋β≤，解得sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－，又因为≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，有β－α＝，故C正确；由cos(α＋β)＝－⇒cos αcos β－sin αsin β＝－，又cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误．故选B、C．当sin α＝－时，原式＝－．故选C、D． 三、填空题 12．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin(β＋)＝________． 【解析】由题意得sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－. 又β是第三象限角，所以cos β＝－，所以sin(β＋)＝－sin(β＋)＝－sin βcos－cos βsin＝. 13．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝________． 【解析】由题意得，2sin 18°＝m＝，所以m2＝4sin218°，则＝＝＝＝2. 14．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________． 【解析】因为tan(α－β)＝＝，tan β＝－，所以tan α＝，所以tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1.因为α，β∈(0，π)，tan α＝，tan β＝－，所以α∈(0，)，β∈(，π)，所以2α∈(0，)，2α－β∈(－π，0)，所以2α－β＝－. 三、解答题 15．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝. (1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f. 【解】(1)∵f＝Asin＝Asin ＝Asin ＝A＝，∴A＝. (2)由(1)知f(x)＝sin，故f(θ)＋f(－θ)＝sin＋sin＝， ∴＝，∴cos θ＝，∴cos θ＝. 又θ∈，∴sin θ＝＝，∴f＝sin(π－θ)＝sin θ＝. 16．已知cos(＋α)cos(－α)＝－，α∈(，)． (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－的值． 【解】(1)cos(＋α)cos(－α)＝cos(＋α)sin(＋α)＝sin(2α＋)＝－，即sin(2α＋)＝－.因为α∈(，)，所以2α＋∈(π，)，所以cos(2α＋)＝－，所以sin 2α＝sin[(2α＋)－]＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin＝－×－(－)×＝. (2)因为α∈(，)，所以2α∈(，π)，又由(1)知sin 2α＝，所以cos 2α＝－. 所以tan α－＝－＝＝＝－2×＝2. 17．已知2sin α＝2sin2－1. (1)求sin αcos α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈(0，)，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值． 【解】(1)由已知得2sin α＝－cos α，所以tan α＝－.所以sin αcos α＋cos 2α＝＝＝.(2)由tan2β－6tan β＝1，可得tan 2β＝＝－，则tan(α＋2β)＝＝＝－1. 因为β∈(0，)，所以2β∈(0，π)，又tan 2β＝－＞－，则2β∈(，π)，因为α∈(0，π)，tan α＝－＞－，则α∈(，π)，则α＋2β∈(，2π)，所以α＋2β＝. 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α、钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是. (1)求cos(α－β)的值；(2)求sin(2α－β)的值． 【解】(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，因为S△OAM＝|OA|·|OM|sin α＝， 所以sin α＝，又α为锐角，所以cos α＝.因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(－)＋×＝－.(2)因为sin α＝，cos α＝，cos(α－β)＝－，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×(－)－×＝－，所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－. 19．如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个▱MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，▱MNPQ的面积为S. (1)求S关于θ的函数关系式； (2)求S的最大值及相应的θ角． 【解】(1)如图，分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.在Rt△OEQ中，OE＝QE＝PD， MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ，S＝MN·PD＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈(0，)．(2)由(1)得，S＝sin 2θ－(1－cos 2θ) ＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin(2θ＋)－，因为θ∈(0，)，所以2θ＋∈(，)，所以sin(2θ＋)∈(，1]．当θ＝时，Smax＝(m2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$