第17讲 三角函数公式（一）讲义-2025届高三数学一轮复习

第17讲 三角函数公式（一） 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、【基础知识整合】 1．同角三角函数的基本关系： (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝ .(2)商数关系：＝ . 2. 诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 七 八 九 角 2kπ＋α(k∈Z －α π－α π＋α 2π-α －α ＋α +α -α 正弦 sinα －sinα sinα －sinα －sinα cosα cosa -cosa -cosa 余弦 cosα cosα －cosα －cosα cosα sinα －sinα sinα －sinα 正切 tanα －tanα －tanα tanα －tanα cotα －cotα －cotα cotα 口诀 二、【典例精析】 二、【典例精析】 题型一：同角三角函数基本关系式(高频考点) 例1：(1)已知sinα＝－，且α∈，则tan α＝ （2）已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝ (3)已知＝－1，求下列各式的值： ①； ②sin2α＋sin αcos α. 【变式训练1】（1）已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝ （2）若tan θ＝－2，则＝ 题型二：同角三角函数基本关系式的应用 例2：已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值． 【变式训练2】已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝. (1)求sin x－cos x的值；(2)求的值． 题型三：利用诱导公式化简三角函数式 例3：(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________． (2)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则 = 变式训练4：.(1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)·sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________． (2)已知f(α)＝，则f= 题型四：利用诱导公式求值_ 例4：(1)已知sin＝，则cos＝ (2)已知cos＝，则cos＝ 【变式训练4】已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________． 三．【方法规律总结】 1．同角三角函数关系式及变形公式的应用：(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 2．利用诱导公式化简三角函数式的原则 遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．. 3．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等． 四．【课后练习作业】 一、单项选择题 1．计算：sin＋cos＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D.－ 2．已知tan θ＝－2，则＝(　　) A．－1 B．－3 C．－ D. 3．已知3sin(＋α)＝－5cos(＋α)，则tan(＋α)＝(　　) A．－ B．－ C. D. 4．若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　) A. B. C. D．－2 5.＝(　　) A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D．cos 2－sin 2 6．已知函数f(n)＝2sin(＋)＋1(n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝(　　) A．2 025 B．2 025＋ C．2 026＋ D．2 026 7．已知cos α＝－，且α为第二象限角，tan β＝，则的值为(　　) A．－ B．－ C. D．－ 8．有一个内角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，它的较短边与较长边之比为黄金分割比.由上述信息可求得sin 234°的值为(　　) A. B. C. D. 二、多选题 9．已知角的终边与单位圆交于点,则=(　　) A. B. C. D. 10．在△ABC中，下列结论正确的是（　　） A.sin（A＋B）＝sin C B.sin ＝cos C.tan（A＋B）＝－tan C（C≠） D.cos（A＋B）＝cos C 11．已知＝3，，则（　　） A.tan＝2　B.sin－cos＝－ C.sin4－cos4＝　 D.＝ 三、填空题 12．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点(，－)，则cos(π＋α)＝__________． 13．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α·＝________． 14．已知sin(－－α)cos(－＋α)＝，且0＜α＜，则sin α＝______，cos α＝______． 四、解答题 15．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值： (1)；(2)sin2α＋sin 2α. 16．已知α为第三象限角，f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若cos(α－)＝，求f(α)的值． 17．已知－＜α＜0，且函数f(α)＝cos(＋α)－sin α·－1. (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值． 18．已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝. (1)求sin x－cos x的值；(2)求的值． 19．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求： (1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 三角函数公式（一） 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、【基础知识整合】 1．同角三角函数的基本关系： (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α. 2. 诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 七 八 九 角 2kπ＋α(k∈Z －α π－α π＋α 2π-α －α ＋α +α -α 正弦 sinα －sinα sinα －sinα －sinα cosα cosa -cosa -cosa 余弦 cosα cosα －cosα －cosα cosα sinα －sinα sinα －sinα 正切 tanα －tanα －tanα tanα －tanα cotα －cotα －cotα cotα 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 二、【典例精析】 题型一：同角三角函数基本关系式(高频考点) 例1：(1)已知sinα＝－，且α∈，则tan α＝ （2）已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝ (3)已知＝－1，求下列各式的值： ①； ②sin2α＋sin αcos α. 【解析】(1)因为sin α＝－，显然α在第三象限，所以cosα＝－，故tanα＝.　(2)因为tan α＝－，所以cos α＝－sin α，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝.又α是第四象限角，所以sin α＝－.(3)由已知得tan α＝.①＝＝－.②sin2α＋sin αcos α＝＝＝. 【变式训练1】（1）已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝ （2）若tan θ＝－2，则＝ 【解析】（1）因为cos α＝－且α∈(0，π)，所以sin α＝＝，所以tan α＝＝－．（2）因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝．． 题型二：同角三角函数基本关系式的应用 例2：已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值；(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值． 【解】(1)∵sin A＋cos A＝ ①∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，∴sin Acos A＝－.(2)由sin Acos A＝－<0，且0<A<π，可知cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，又sin A>0，cos A<0，∴sin A－cos A>0，∴sin A－cos A＝. ②∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，∴tan A＝＝＝－. 【变式训练2】已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝. (1)求sin x－cos x的值；(2)求的值． 【解】 (1)由sin x＋cos x＝，平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.由x∈(－π，0)，知sin x<0，又sin x＋cos x>0， 所以cos x>0，sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.(2)＝ ＝＝＝－. 题型三：利用诱导公式化简三角函数式 例3：(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________． (2)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则 = 【解析】(1　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＝×＝方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，则sin α＝－.原式＝＝－＝. 变式训练4：.(1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)·sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________． (2)已知f(α)＝，则f= 【解析】(1)原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°＋tan 1 089°tan 540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)tan(360°＋180°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°tan 180°＝0＋0＝0.(2由于f(α)＝＝＝cos α，所以f＝cos＝cos＝. 题型四：利用诱导公式求值_ 例4：(1)已知sin＝，则cos＝ (2)已知cos＝，则cos＝ 【解析】(1)sin＝cos＝cos＝．(2)cos＝cos＝－cos＝－． 【变式训练4】已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________． 【解析】 因为sin ＝，所以cos＝sin＝sin＝，因为θ为第四象限角，所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ＜θ－＜2kπ－，k∈Z，所以sin＝－＝－，所以tan＝＝－. 三．【方法规律总结】 1．同角三角函数关系式及变形公式的应用：(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 2．利用诱导公式化简三角函数式的原则 遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．. 3．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等． 四．【课后练习作业】 一、单项选择题 1．计算：sin＋cos＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D.－ 【答案】A【解析】.原式＝sin(2π－)＋cos(3π＋)＝－sin＋cos(π＋)＝－－cos＝－－＝－1. 2．已知tan θ＝－2，则＝(　　) A．－1 B．－3 C．－ D. 【答案】D【解析】＝＝＝. 3．已知3sin(＋α)＝－5cos(＋α)，则tan(＋α)＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【答案】A【解析】.由3sin(＋α)＝－5cos(＋α)，得sin(＋α)＝－cos(＋α)，所以tan(＋α)＝＝＝－. 4．若3sin α＋cos α＝0，则的值为(　　) A. B. C. D．－2 【答案】A【解析】由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－，则＝＝＝＝. 5.＝(　　) A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D．cos 2－sin 2 【答案】A【解析】＝＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6．已知函数f(n)＝2sin(＋)＋1(n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝(　　) A．2 025 B．2 025＋ C．2 026＋ D．2 026 【答案】B【解析】由f(n)＝2sin(＋)＋1(n∈N*)得f(4k＋m)＝2sin(2kπ＋＋)＋1＝2sin(＋)＋1(k，m∈N*)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2sin(＋)＋1＋2sin(＋)＋1＋2sin(＋)＋1＋2sin(＋)＋1＝4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 025)＝4×＋2sin(＋)＋1＝2 025＋.故选B. 7．已知cos α＝－，且α为第二象限角，tan β＝，则的值为(　　) A．－ B．－ C. D．－ 【答案】C【解析】因为cos α＝－，且α为第二象限角，所以sin α＝，又tan β＝，所以原式＝＝＝.故选C. 8．有一个内角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，它的较短边与较长边之比为黄金分割比.由上述信息可求得sin 234°的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C【解析】在△ABC中，∠ABC＝36°，AB＝AC，取BC的中点E，连接AE，如右图所示，由题意可知AE⊥BC，且＝＝，所以cos 36°＝cos∠ABE＝＝＝， 所以sin 234°＝sin(270°－36°)＝－cos 36°＝－.故选C. 二、多选题 9．已知角的终边与单位圆交于点,则=(　　) A. B. C. D. 【答案】AC【解析】∵角α的终边与单位圆交于点(,y0),=1,解得y0=±,∴tanα==±当tanα=时,; 当tanα=-时,=-故选AC. 10．在△ABC中，下列结论正确的是（　　） A.sin（A＋B）＝sin C B.sin ＝cos C.tan（A＋B）＝－tan C（C≠） D.cos（A＋B）＝cos C 【答案】ABC【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，A正确；sin ＝sin（－）＝cos ，B正确；tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tan C（C≠），C正确；cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cos C，D错误. 11．已知＝3，，则（　　） A.tan＝2　B.sin－cos＝－ C.sin4－cos4＝　 D.＝ 【答案】ACD【解析】因为＝＝3，所以tan α＝2，故A正确；因为tan α＝＝2＞0，且－＜α＜，所以0＜α＜，所以sin α＞0，cos α＞0，由＝3＞0，可得sin α－cos α＞0，故B错误；sin4α－cos4α＝（sin2α－cos2α）·（sin2α＋cos2α）＝sin2α－cos2α＝＝＝＝，故C正确；＝＝＝，故D正确.故选A、C、D. 三、填空题 12．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点(，－)，则cos(π＋α)＝__________． 【解析】由余弦值的定义得cos α＝，则cos(π＋α)＝－cos α＝－. 13．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α·＝________． 【解析】因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝cos α ＋sin α ＝cos α＋sin α＝－1＋1＝0. 14．已知sin(－－α)cos(－＋α)＝，且0＜α＜，则sin α＝______，cos α＝______． 【解析】sin(－－α)cos(－＋α)＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.因为0＜α＜，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝. 四、解答题 15．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值： (1)；(2)sin2α＋sin 2α. 【解】由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝＝－.(2)原式＝＝＝. 16．已知α为第三象限角，f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若cos(α－)＝，求f(α)的值． 【解】(1)f(α)＝＝－cos α.(2)因为cos(α－)＝， 所以－sin α＝，从而sin α＝－，又α为第三象限角，所以cos α＝－＝－，所以f(α)＝－cos α＝. 17．已知－＜α＜0，且函数f(α)＝cos(＋α)－sin α·－1. (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝，求sin αcos α和sin α－cos α的值． 【解】(1)f(α)＝sin α－sin α·－1＝sin α＋sin α·－1＝sin α＋cos α.(2)方法一：由f(α)＝sin α＋cos α＝，平方可得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，即2sin αcos α＝－，所以sin αcos α＝－.又－＜α＜0，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＜0，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝，所以sin α－cos α＝－.方法二：联立方程 解得 或 因为－＜α＜0，所以 所以sin αcos α＝－，sin α－cos α＝－. 18．已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝. (1)求sin x－cos x的值；(2)求的值． 【解】(1)由sin x＋cos x＝，平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.由x∈(－π，0)，知sin x<0，又sin x＋cos x>0， 所以cos x>0，sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.(2)＝＝＝＝－. 19．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求： (1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 【解】(1)原式＝＋＝＋＝＝sin θ＋cos θ.由条件知sin θ＋cos θ＝，故＋＝.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.(3)由得或又θ∈(0，2π)，故θ＝或θ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$