高二入学学情摸底测试01（考试范围：高一下学期）-2024-2025学年高二上学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019）

高二入学学情摸底测试01 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以， 所以. 故选：A. 2．已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第65百分位数为（   ） A．6 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【详解】已知一组数据：4，6，7，9，11，13，共6个数， 则， 所以这组数据的第65百分位数为从小到大排列的第四个数9. 故选：C. 3．从这个正整数中随机选择一个数，则这个数既不能被整除也不能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从这个正整数中随机选择一个数共有种选法， 其中这个数既不能被整除也不能被整除的有、、、、、、、、、共个， 所以这个数既不能被整除也不能被整除的概率. 故选：B 4．已知为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面所成角相等，则 B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则 C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则 D．若，且直线异面，则 【答案】D 【详解】 对于A,比如在正方体中，直线与平面所成角均为， 但相交，A错误； 对于B，直线上的点到平面的距离相等， 故平面上有三个不同点到平面的距离相等， 但平面与平面相交，B错误； 对于C，点到平面的距离相等，但直线与平面相交，故C错误； 对于D，若，，故过可作一平面，使得，则， 由于，异面，，所以，相交，否则，进而可得， 这与，异面矛盾，所以，相交，结合，，，， 所以则，D正确． 故选：D． 5．如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 【答案】D 【详解】对于选项AB：因为平面，平面， 所以平面，故AB错误； 对于选项CD：因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可知平面， 且平面，所以平面平面，故C错误，D正确； 故选：D. 6．如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】在中，，， 则，， 在中，，，， 则， ， ， 在中，，， 则， . 故选：D. 7．正四棱柱中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接交于，连接， 因为四棱柱为正四棱柱， 所以平面，， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以， 所以， 因为，所以. 故选：D 8．如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若事件与事件是互斥事件，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】ACD 【详解】，故A正确； 因为事件与事件是互斥事件，所以，故B错误； 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 所以，故C正确； 因为，所以， 所以事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，故D正确． 故选：ACD． 10．已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，设，显然， 但，故A错； 对于B，设， 则， ， ， 所以，故B对； 对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量， 复数对应向量，复数加减法对应向量加减法， 故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度， 所以，，故C对，D对. 故选：BCD. 11．已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．三棱锥外接球的表面积为 C．三棱锥内切球的半径为 D．三棱锥内切球的半径为 【答案】AC 【详解】由题意可知，，两两垂直， 则三棱锥外接球的半径满足， 从而三棱锥外接球的表面积为， 故A正确，B错误. 由题意可得三棱锥的体积， 三棱锥的表面积. 设三棱锥内切球的半径为， 因为， 所以，则C正确，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．为了解体育锻炼情况，随机统计了名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. 若在区间中的频数为30，则的值是 . 【答案】 【详解】由频率分布直方图可知在之间的频率为， 又因为，所以. 故答案为： 13．若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 【答案】 【详解】如图以和的公共起点为原点，以的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系． 设， 因为且与的夹角为， 可得， 所以． 因为三个力作用于同一点，且处于平衡状态， 所以， 即，则， 所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以， 所以与的夹角为． 故答案为：. 14．已知正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，给出下列四个结论： ①直线与平面相交； ②直线平面； ③若，则点D到平面的距离为； ④该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等. 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】解：①因为点，分别为棱，的中点， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以， 因为点，分别为棱，的中点，所以， 又，，、平面，、平面， 所以平面平面， 因为平面，所以直线平面，即①错误； ②由三垂线定理知，，， 因为，所以平面， 由①知平面平面， 所以平面，即②正确； ③若，则是边长为的等边三角形， 所以， 设点到平面的距离为， 因为， 所以， 所以， 所以点到平面的距离为，即③正确； ④由题意知，四面体的底面是等边，且， 即四面体是正三棱锥， 所以三条侧棱，，与底面所成角均相等， 而，，， 所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等， 由①知平面平面， 所以该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等，即④正确． 故答案为：②③④． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某高中随机调查名高一学生，并对这名学生的作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为25人. (1)求的值； (2)估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到小数点后两位）. 【答案】(1)， (2)平均数为72，中位数73.33 【详解】（1）由题意可得，， ， 解得. （2）平均数为. 因为 所以中位数在之间，设中位数为， 则， 解得. 16．（15分）某高中为了激发学生参加科技创新实践活动的热情，决定举办两场“创新追梦”知识竞赛．规定每位参赛选手均须参加两场比赛，若其在两场比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知高二（1）班选出甲、乙两名选手参加比赛，在第一场比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，在第二场比赛中，甲、乙胜出的概率分别为．甲、乙两人在每场比赛中是否胜出互不影响． (1)甲、乙两人中，谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)求甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率． 【答案】(1)甲参赛赢得比赛的概率更大 (2) 【详解】（1）记事件表示“甲在第一场比赛中胜出”，事件表示“甲在第二场比赛中胜出”， 事件表示“乙在第一场比赛中胜出”，事件表示“乙在第二场比赛中胜出”， 于是表示甲赢得比赛”， ， 表示“乙赢得比赛”， ，而有， 所以甲参赛赢得比赛的概率更大． （2）记C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”， 由（1）知， 则表示“两人中至少有一个赢得比赛”，且， 所以 ． 所以甲，乙两人中至少有一人赢得比赛的概率为. 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接 因为平面平面， 所以， 因为为的中点，， 所以四边形是正方形，所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）解：作平面，交平面于点，连接， 则是直线与平面所成角， 因为，∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为，所以， 因为，四边形是正方形， 所以，，， 因为， 所以， 所以，得， 在中，. 18．（17分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． (1)求B； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 由正弦定理，得，． 由余弦定理，得， ，． （2）在中，，，． 由余弦定理，得， 即，解得（舍）或． 的面积为． （3）由（1）知． ． 令，， ，． ， 当时，取得最小值，最小值为． 当时，取得最大值，最大值为． 的取值范围是． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. (1)若中点为，求证：平面； (2)若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【详解】（1）取中点，连接， 为线段的中点，， ； 四边形为平行四边形，， 平面平面 平面. （2）①取的中点，连接， 为中点，， 就是异面直线和所成的角或所成角的补角. 平面平面， 平面平面，平面, 平面平面， 菱形的边长为， 与是全等的正三角形， 分别为的中点， ， 在中，， 在中，， ， 在中，； ②,平面， 平面， 又为线段的中点， ， ， 要使最小只需最短即可，即为点到面的距离. 在中，， ， 在中，， ， ，， 的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二入学学情摸底测试01 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第65百分位数为（   ） A．6 B．7 C．9 D．11 3．从这个正整数中随机选择一个数，则这个数既不能被整除也不能被整除的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面所成角相等，则 B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则 C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则 D．若，且直线异面，则 5．如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 6．如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 7．正四棱柱中，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若事件与事件是互斥事件，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若，则事件与事件相互独立 10．已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 11．已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．三棱锥外接球的表面积为 C．三棱锥内切球的半径为 D．三棱锥内切球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．为了解体育锻炼情况，随机统计了名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. 若在区间中的频数为30，则的值是 . 13．若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 14．已知正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，给出下列四个结论： ①直线与平面相交； ②直线平面； ③若，则点D到平面的距离为； ④该正方体的棱所在直线与平面所成的角都相等. 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某高中随机调查名高一学生，并对这名学生的作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为25人. (1)求的值； (2)估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到小数点后两位）. 16．（15分）某高中为了激发学生参加科技创新实践活动的热情，决定举办两场“创新追梦”知识竞赛．规定每位参赛选手均须参加两场比赛，若其在两场比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知高二（1）班选出甲、乙两名选手参加比赛，在第一场比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，在第二场比赛中，甲、乙胜出的概率分别为．甲、乙两人在每场比赛中是否胜出互不影响． (1)甲、乙两人中，谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)求甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率． 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． (1)求B； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. (1)若中点为，求证：平面； (2)若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$