22.3.1 二次函数与图形面积问题-【一课通】2024-2025学年九年级上册数学随堂小练习(人教版)

２２．３　实际问题与二次函数 第１课时　二次函数与图形面积问题 【边学边练】 知识点　 与图形有关的二次函数中的最值问题 １．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 ２８ｍ长的篱笆围成一个矩形花园ＡＢＣＤ（篱笆只围ＡＢ，ＢＣ两边），设ＡＢ＝ｘｍ．若在Ｐ 处有一棵树与墙 ＣＤ，ＡＤ的距离分别是１５ｍ和６ｍ，要将这棵树围在花园内（含边 界，不考虑树的粗细），则花园面积Ｓ的最大值为 （　　） Ａ．１９３ｍ２ Ｂ．１９４ｍ２ Ｃ．１９５ｍ２ Ｄ．１９６ｍ２ ２．用一根长为２０米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长 ｘ米，则面积 ｙ＝　　　　， 围成的矩形的最大面积是　　　　ｍ２． 【随堂小测】 １．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边 除门外用栅栏围成，栅栏总长度为５０ｍ，门宽为２ｍ．这个矩形花圃的最大面积是 （　　） Ａ．１６９ｍ２ Ｂ．２８８ｍ２ Ｃ．３３８ｍ２ Ｄ．３１２．５ｍ２ 第１题图 　　　　 第２题图 　　　　 第３题图 ２．如图，四边形ＡＢＣＤ的两条对角线互相垂直，ＡＣ＋ＢＤ＝１６，则四边形ＡＢＣＤ的最大面 积是 （　　） Ａ．６４ Ｂ．３２ Ｃ．１６ Ｄ．以上都不对 ３．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ，点 Ｐ从点 Ａ沿 ＡＣ向点 Ｃ以 １ｃｍ／ｓ的速度运动，同时点Ｑ从点Ｃ沿ＣＢ向点Ｂ以２ｃｍ／ｓ的速度运动（点Ｑ运动 到点Ｂ停止）．在运动过程中，四边形ＰＡＢＱ面积的最小值为　　　　ｃｍ２． １４ ４．某单位为响应市“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟在一块矩形空地上 修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过１８ｍ，另外三边由３６ｍ长的 栅栏围成．设矩形空地ＡＢＣＤ中，垂直于墙的边ＡＢ＝ｘｍ，面积为ｙｍ２（如图）． （１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式，并求出自变量ｘ的取值范围； （２）若矩形空地的面积为１６０ｍ２，求ｘ的值； （３）当矩形空地ＡＢＣＤ的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． ５．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长是４，Ｅ是ＡＢ边上一点（点Ｅ不与点Ａ，Ｂ重合），Ｆ是ＡＤ 的延长线上一点，ＤＦ＝２ＢＥ．四边形ＡＥＧＦ是矩形，矩形ＡＥＧＦ的面积 ｙ随 ＢＥ的长 ｘ 的变化而变化且构成函数． （１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式，并写出自变量ｘ的取值范围； （２）当ｘ取何值时，ｙ取得最大（或最小）值，该值是多少？ （３）若矩形ＡＥＧＦ的面积是１０，求ＢＥ的长． ２４ ∴.EH=x,BE=6-x 22.3实际问题与二次函数 .∠BEF=30°，.EF=3(6-x). 第1课时二次函数与图形面积问题 则矩形EFGH的面积S=EH·EF 【边学边练】 =x·√3(6-x)=-3x2+65x 1.C【解析】小AB=xm,∴.BC=(28-x)m. =-/3(x-3)2+93. 则S=AB·BC=x(28-x)=-x2+28x, .当x为3时，四边形EFGH的面积最大. 即S=-x2+28x(0<x<28). 17.解：(1)，直线y=-x+n与x轴交于 x≥6， 由题意可知 点A(3,0) L28-x≥15. ∴.0=-3+n..n=3. 解得6≤x≤13. .直线AB的解析式为y=-x+3 在6≤x≤13范围内，S随x的增大而增大， 当x=0时，y=3,,点B(0,3). ∴.当x=13时，S最大值=195， :抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B, ∴.花园面积的最大值为195m2.故选C [c=3, b=2, 2.-x2+10x25 解得 0=-9+3b+e, c=3. 【随堂小测】 ∴.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. 1.C【解析】设花圃的长为xm,面积为ym2, (2)①：ED⊥x轴， 则y关于x的函数关系式为)=2(50+2-)x ∴，∠PEA=90° ∴.∠BDP=∠ADE<90 1 2(x-26)2+338, 设点E(m,0),点P(m,-m2+2m+3),则点D 50+2-x>0, (m,-m+3), .2≤x<52.∴.当x=26时，面积 x≥2， ∴.PD=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m. 当m= 3 3 最大为338m2.故选C. 2x(-1)2时，Pm最大 2.B【解析】：四边形ABCD的两条对角线互 层} 相垂直S=4C,BD设4C=,则D=16 ②由①，得PD2=(-m2+3m)2,BP2=m2+ S=(16-)（x-8)2432回边 (-m2+2m)2,BD2=m2+(-m+3-3)2=2m2, 当PD=BP时，有(-m2+3m)2=m2+(-m2+ 形ABCD的最大面积是32.故选B. 2m)2,解得m=2或0（舍去）： 3.15【解析】在R1△ABC中，∠C=90°，AB= 当PD=BD时，有√2m=-m2+3m,解得m=0 10cm,BC=8cm,∴.AC=/AB2-BC2=6(cm).设 (舍去)或3-2； 运动时间为ts(0≤1≤4)，则PC=(6-t)cm, 当BP=BD时，有m2+(-m2+2m)2=2m2,解 CQ=2t cm,S=A-Sc=AC 得m=1或3（舍去）或0（舍去）. 故m=1或3-√2或2. BcPc.c0=2x6x8(6-)x2=r-6+ 综上所述，点E的坐标为(1,0)或(3-√2,0) 24=(1-3)2+15. 或(2,0). ∴，当1=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最 122 小值为15. 3.55【解析】设一个旅行团的人数是x人，营 4.解：(1)y=x(36-2x)=-2x2+36x. 业额为y元.根据题意可得 .0<36-2x≤18，∴.9≤x<18. y=x[800-10(x-30)]=-10x2+1100x .y与x之间的函数关系式为y=-2x2+36x(9 =-10(x-55)2+30250. ≤x<18) 故当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行 (2)由题意得-2x2+36x=160. 社可以获得最大的营业颜 解得x1=8,x2=10. 【随堂小测】 9≤x<18,∴.x1=8不符合题意 1.C【解析】小.y=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12), .x=10 .当y=0时，n=2或n=12.又，图象开口向下， (3).y=-2x2+36x=-2(x-9)2+162, ∴.当n=1时，J<0.∴.该企业一年中应停产的月 ∴.当x=9时，y有最大值162 份是1月，2月，12月.故选C .利用的墙长36-2x=36-18=18(m). 2.32【解析】小：y=-x2+6x-7=-(x-3)2+2, .矩形空地ABCD面积的最大值为162m2,此 而-1<0，∴.当x=3时，y取得最大值2.∴.商品 时利用的墙长是18m. 的单价定为3元时，销售一件该商品获得的利 5.解：(1)BE=x,DF=2BE, 润最大，最大利润为2元 ∴.AE=AB-BE=4-x, 3.5【解析】设这种药材售价（元）与月份之间 AF=AD+DF=4+2x. 的解析式为y=x+b,把(3,8)，(6,6)代入，得 .y=(4-x)(4+2x)=-2x2+4x+16. 点E不与点A,B重合， 3k+b=8,解得 =2 =3'y= 16k+b=6. 3t+10.设每千 .0<r<4. b=10, 故y=-2x2+4x+16(0<x<4) 克的成本价（元）与月份之的解析式为m=a(x (2),y=-2x2+4x+16=-2(x-1)2+18. -6)2+1,把(1,9)代入，得9=a(1-6)2+1,∴.@ ∴.当x=1时，y有最大值为18. 8 (3)令y=10,则-2(x-1)2+18=10. 2x-6)+1设每千克这种药材的 解得x,=3,x2=-1(舍去). 利润为0，则0=y-m= 3+108 2 (x-6)2-1 .BE=3. 2 第2课时二次函数与商品利润问题 82962880 3 25 +2525 9-8x2,23863=8 75 2525 【边学边练】 11923858 1.C【解析】设应降价x元，利润为y元，则y= x24】 72,· 25 <0,对称轴为直线x= (20+x)(100-x-30)=-x2+50x+1400=-(x 119 23 =4 25)2+2025,-1<0,.当x=25时，y有最大 24 4且x为正整数，心当x=5时，0 值.∴.为了获得最大利润，应降价25元故选C 最大 2.2500【解析】设每天可获得的利润为y元.由 4解：(1)设销售单价为x元.由题意， 题意得y=(x-100)(200-x)=-x2+300x-20000 =-(x-150)2+2500. 得(x-50)×0x20+20）-7500 a=-1<0,∴.当x=150时，y取得最大值 整理得-x2+140x-4875=0. 2500,即最大利润为2500元. 解得x1=65,x2=75. 123