22.1.4 第2课时确定二次函数的解析式-【一课通】2024-2025学年九年级上册数学随堂小练习(人教版)

第２课时　确定二次函数的解析式 【边学边练】 知识点一　利用性质确定二次函数解析式 １．一抛物线的形状、开口方向与ｙ＝ １ ２ ｘ２－４ｘ＋３相同，顶点在（－２，１），则此抛物线的解 析式为 （　　） Ａ．ｙ＝ １ ２ （ｘ－２）２＋１ Ｂ．ｙ＝ １ ２ （ｘ＋２）２－１ Ｃ．ｙ＝ １ ２ （ｘ＋２）２＋１ Ｄ．ｙ＝ １ ２ （ｘ－２）２－１ 知识点二　利用平移确定二次函数解析式 ２．把 ! 物线 ｙ＝２ｘ２－４ｘ＋３向左平移 １个单位长度，得到的抛物线的解析式 为 ． 知识点三　用待定系数法确定二次函数解析式 ３．已知抛物线过Ａ（－２，０），Ｂ（１，０），Ｃ（０，２）三点，则这条抛物线的解析式为　　　　　． ４．若二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ图象的顶点坐标是Ａ（２，１），且经过点Ｂ（１，０），则此函数的 解析式为　　　　　　． ５．已知二次函数的图象经过点Ａ（－１，－１），Ｂ（０，２），Ｃ（１，３），求该二次函数的解析式． 【随堂小测】 １．把抛物线ｙ＝２（ｘ－１）２＋３先向上平移２个单位长度，再向右平移３个单位长度，则平 移后抛物线的解析式是 （　　） Ａ．ｙ＝２（ｘ＋２）２＋５ Ｂ．ｙ＝２（ｘ＋２）２＋１ Ｃ．ｙ＝２（ｘ－４）２＋１ Ｄ．ｙ＝２（ｘ－４）２＋５ ３３ ２．抛物线的顶点坐标为（１，－４），与ｙ轴交于点（０，－３），则该抛物线的解析式为 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ２－２ｘ－３ Ｂ．ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３ Ｃ．ｙ＝ｘ２－２ｘ＋３ Ｄ．ｙ＝２ｘ２－３ｘ－３ ３．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋４ｘ＋ｃ，当ｘ＝－２时，函数值是－１；当ｘ＝１时，函数值是５．则此二 次函数的解析式为 （　　） Ａ．ｙ＝２ｘ２＋４ｘ－１ Ｂ．ｙ＝ｘ２＋４ｘ－２ Ｃ．ｙ＝－２ｘ２＋４ｘ＋１ Ｄ．ｙ＝２ｘ２＋４ｘ＋１ ４．如果抛物线经过点Ａ（２，０）和Ｂ（－１，０），且与ｙ轴交于点Ｃ，若ＯＣ＝２，则这条抛物线 的解析式是 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ２－ｘ－２ Ｂ．ｙ＝－ｘ２－ｘ－２或ｙ＝ｘ２＋ｘ＋２ Ｃ．ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２ Ｄ．ｙ＝ｘ２－ｘ－２或ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２ ５．已知抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标为（１，３），则抛物线对应的函数解析式为 　． ６．已知抛物线与ｘ轴交点的横坐标分别为３，１；与ｙ轴交点的纵坐标为６，则这个二次 函数的关系式是　　　　　　　　． ７．（核心素养·推理能力）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 ｙ＝ａｘ２－２ｘ＋ｃ与直 线ｙ＝ｋｘ＋ｂ都经过点Ａ（０，－３）和点Ｂ（３，０），该抛物线的顶点为Ｃ． （１）求抛物线和直线ＡＢ的解析式； （２）连接ＡＣ，ＢＣ，求△ＣＡＢ的面积． ４３ ∵其图象顶点坐标为（１，－３）， ∴ｙ的最小值为－３． ２２．１．４　二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的 图象和性质 第１课时　二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的 图象和性质 【边学边练】 １．Ａ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ａ　５．Ｄ 【随堂小测】 １．Ｃ　２．Ａ　３．Ｄ　４．Ｄ ５．Ｃ　【解析】∵ｙ＝ａｘ２－２ａｘ＋３＝ａ（ｘ－１）２－ａ＋３（ａ ＞０），∴该函数图象开口向上，对称轴是直线ｘ ＝１．当ｘ＝１时，该函数取得最小值－ａ＋３，∵当 ０≤ｘ≤ｍ时，３－ａ≤ｙ≤３，当ｙ＝３时，ｘ＝２或 ｘ ＝０，∴１≤ｍ≤２．故选Ｃ． ６．ｘ＝５ ７．ｙ＝ｘ２－２ｘ－４　【解析】∵ｙ＝ｘ２－６ｘ＋５＝（ｘ－３）２－４， ∴抛物线顶点坐标为（３，－４）．将 ｘ轴向上平 移１个单位长度、ｙ轴向右平移２个单位长度 相当于将抛物线向下平移１个单位长度、向左 平移２个单位长度，∴平移后抛物线的顶点坐 标为（１，－５）．∴抛物线在新平面直角坐标系 中的函数解析式为ｙ＝（ｘ－１）２－５＝ｘ２－２２ｘ－４． ８．解：（１）把点Ｐ（－２，３）代入 ｙ＝ｘ２＋ａｘ＋３中，得 ａ＝２．∴ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋３＝（ｘ＋１）２＋２． ∴图象的顶点坐标为（－１，２）． （２）∵Ｑ（ｍ，ｎ）在该二次函数的图象上， ∴当ｍ＝２时，ｎ＝２２＋２×２＋３＝１１． 第２课时　确定二次函数的解析式 【边学边练】 １．Ｃ ２．ｙ＝２ｘ２＋１　【解析】∵ｙ＝２ｘ２－４ｘ＋３＝２（ｘ－１）２＋１， ∴向左平移１个单位长度得到的抛物线的解 析式为ｙ＝２（ｘ＋１－１）２＋１＝２ｘ２＋１． ３．ｙ＝－ｘ２－ｘ＋２　【解析】设抛物线的解析式为 ｙ ＝ａ（ｘ＋２）（ｘ－１），把 Ｃ（０，２）代入，得 ａ·２· （－１）＝２，解得ａ＝－１，所以抛物线的解析式为 ｙ＝－（ｘ＋２）（ｘ－１），即ｙ＝－ｘ２－ｘ＋２． ４．ｙ＝－ｘ２＋４ｘ－３　【解析】设二次函数的解析式 为ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋１，将Ｂ（１，０）代入ｙ＝ａ（ｘ－２）２ ＋１，得０＝ａ＋１，∴ａ＝－１．∴函数的解析式为ｙ＝ －（ｘ－２）２＋１，即为ｙ＝－ｘ２＋４ｘ－３． ５．解：设二次函数的解析式为 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ ｃ（ａ≠０），将Ａ（－１，－１），Ｂ（０，２），Ｃ（１，３）的 坐标带入，得 ａ－ｂ＋ｃ＝－１， ｃ＝２， ａ＋ｂ＋ｃ＝３， { 解得 ａ＝－１，ｂ＝２， ｃ＝２， { 所以该二次函数的解析式是ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋２． 【随堂小测】 １．Ｄ　２．Ａ　３．Ａ ４．Ｄ　【解析】设抛物线解析式为ｙ＝ａ（ｘ－２）（ｘ＋１）， ∵ＯＣ＝２，∴Ｃ点坐标为（０，２）或（０，－２）． 把Ｃ（０，２）代入 ｙ＝ａ（ｘ－２）（ｘ＋１），得 ａ· （－２）·１＝２，解得 ａ＝－１，此时抛物线的解析 式为ｙ＝－（ｘ－２）（ｘ＋１），即 ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２；把Ｃ （０，－２）代入ｙ＝ａ（ｘ－２）×（ｘ＋１），得ａ·（－２）·１ ＝－２，解得 ａ＝１，此时抛物线的解析式为 ｙ＝ （ｘ－２）（ｘ＋１），即ｙ＝ｘ２－ｘ－２．∴抛物线的解析 式为ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２或ｙ＝ｘ２－ｘ－２．故选Ｄ． ５．ｙ＝ｘ２－２ｘ＋４ ６．ｙ＝２ｘ２－８ｘ＋６　【解析】设所求二次函数关系 式是ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ． 根据题意，得 ａ＋ｂ＋ｃ＝０， ９ａ＋３ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝６． { 解得 ａ＝２，ｂ＝－８， ｃ＝６． { 故所求函数关系式是ｙ＝２ｘ２－８ｘ＋６． ７．解：（１）把Ａ（０，－３）和Ｂ（３，０）代入 ｙ＝ａｘ２－２ｘ ＋ｃ，得 ｃ＝－３， ９ａ－６＋ｃ＝０．{ 解得 ａ ＝１， ｃ＝－３．{ ∴抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２－２ｘ－３． 把Ａ（０，－３）和Ｂ（３，０）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 得 ｂ＝－３， ３ｋ＋ｂ＝０．{ 解得 ｋ ＝１， ｂ＝－３．{                                                               ８１１ ∴直线ＡＢ的解析式为ｙ＝ｘ－３． （２）如图，过Ｃ点作ＣＤ∥ｙ轴交ＡＢ于点Ｄ． ∵ｙ＝ｘ２－２ｘ－３＝（ｘ－１）２－４，∴Ｃ（１，－４）． 当ｘ＝１时，ｙ＝ｘ－３＝－２，则Ｄ（１，－２）， ∴△ＣＡＢ的面积＝ １ ２ ×３×（－２＋４）＝３． ２２．２　二次函数与一元二次方程 【边学边练】 １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ｄ ４．ｋ＞ ２ ３ 且ｋ≠１　【解析】根据题意，得ｋ－１≠０且 Δ＝４ｋ２－４（ｋ－１）（ｋ－２）＞０．解得ｋ＞ ２ ３ 且ｋ≠１． ５．Ｂ　【解析】函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与ｘ轴交 点的横坐标就是方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根，即函 数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与ｘ轴的交点的纵坐标 为０．由表中数据可知，ｙ＝０在 ｙ＝－１与 ｙ＝３ 之间，∴对应的ｘ的值在２与３之间，即２＜ｘ＜ ３．故选Ｂ． ６．Ｄ　【解析】∵图象上有两点分别为 Ａ（２．１８， －０．５１），Ｂ（２．６８，０．５４）， ∴当ｘ＝２．１８时，ｙ＝－０．５１；当 ｘ＝２．６８时，ｙ＝ ０．５４．∴当 ｙ＝０时，２．１８＜ｘ＜２．６８，只有选项 Ｄ 符合．故选Ｄ． 【随堂小测】 １．Ａ　【解析】∵二次函数 ｙ＝ａｘ２＋１的图象经过 点（－２，０），∴４ａ＋１＝０．解得ａ＝－ １ ４ ． ∴方程ａ（ｘ－２）２＋１＝０为－ １ ４ （ｘ－２）２＋１＝０．解 得ｘ１＝０，ｘ２＝４．故选Ａ． ２．Ｂ　【解析】∵二次函数 ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋ｍ＝－（ｘ＋ １）２＋ｍ＋１，∴该抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１． 由图象可知，抛物线ｙ＝－ｘ２－２ｘ＋ｍ与ｘ轴的一 个交点为（－３，０），∴该抛物线与ｘ轴的另一个 交点为（１，０）．∴一元二次方程－ｘ２－２ｘ＋ｍ＝０的 解为ｘ１＝－３，ｘ２＝１．故选Ｂ． ３．Ａ　【解析】将抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ－３向上平移 ３个单位长度得到抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ，∵抛物 线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ－３开口向上，∴ｘ１，ｘ２在 ｍ和 ｎ 之间．故选Ａ． ４．１．６　５．有一个交点 ６．ｋ＞－３　【解析】函数图象的对称轴为直线 ｘ＝ －ｂ ２ａ ＝－ｍ －２ ＝１ ２ ｍ．∵ａ＝－１，∴抛物线开口向下． ∴抛物线在对称轴处取得最大值．∴当ｘ＝ １ ２ ｍ 时，ｙ＝－ｘ２＋ｍｘ＝－ １ ２ ｍ( ) ２ ＋１ ２ ｍ·ｍ＝３．解得 ｍ２＝１２．∵方程 ｘ２＋ｍｘ－ｋ＝０有两个不相等的 实数根，∴Δ＝ｍ２＋４ｋ＝１２＋４ｋ＞０．解得ｋ＞－３． ７．（１）证明：当ｙ＝０时，２（ｘ－１）（ｘ－ｍ－３）＝０． 解得ｘ１＝１，ｘ２＝ｍ＋３． 当ｍ＋３＝１，即 ｍ＝－２时，方程有两个相等的 实数根； 当ｍ＋３≠１，即ｍ≠－２时，方程有两个不相等 的实数根． ∴不论 ｍ为何值，该函数的图象与 ｘ轴总有 交点． （２）解：∵ｙ＝２（ｘ－１）（ｘ－ｍ－３）＝２ｘ２－（２ｍ＋８）· ｘ＋２ｍ＋６， ∴该函数的图象与ｙ轴的交点的纵坐标为２ｍ＋６． ∴当２ｍ＋６＞０，即ｍ＞－３时，该函数的图象与ｙ 轴的交点在ｘ轴的上方． 小专题３　二次函数图象和性质的综合运用 １．Ｂ　【解析】由题意，得 － －２（ｂ－２） ２×（－１）≥ ０， －ｂ２＋１≤０ { 或 Δ＝ ［－２（ｂ－２）］２－４×（－１）×（－ｂ２＋１）≤０，解得ｂ≥１ 或ｂ≤－１．故选Ｂ．                                                               ９１１