22.1.1 二次函数-【一课通】2024-2025学年九年级上册数学随堂小练习(人教版)

第二十二章　二次函数 ２２．１　二次函数的图象和性质 ２２．１．１　二次函数 【边学边练】 知识点一　二次函数的概念 １．下列函数中，是二次函数的有 （　　） ①ｙ＝１－槡２ｘ ２；②ｙ＝ １ ｘ２ ；③ｙ＝３ｘ（１－３ｘ）；④ｙ＝（１－２ｘ）（１＋２ｘ）． Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ２．若ｙ＝（ａ－２）ｘ２－３ｘ＋４是二次函数，则ａ的取值范围是 （　　） Ａ．ａ≠２ Ｂ．ａ＞０ Ｃ．ａ＞２ Ｄ．ａ≠０ 知识点二　列二次函数关系式 ３．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长 为４０米的篱笆围成．已知墙长为１８米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边 长为ｘ米，围成的苗圃园面积为ｙ平方米，则ｙ关于ｘ的函数关系式为 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ（４０－ｘ） Ｂ．ｙ＝ｘ（１８－ｘ） Ｃ．ｙ＝ｘ（４０－２ｘ） Ｄ．ｙ＝２ｘ（４０－２ｘ） 【随堂小测】 １．已知ｙ＝（ｍ＋１）ｘｍ２＋１＋２ｘ－３是二次函数，则ｍ的值为 （　　） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．－１ Ｄ．１或－１ ２．函数ｙ＝（２ｘ－１）（ｘ＋３）的二次项系数与常数项的和是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．３ Ｄ．５ ３．矩形的周长为１２ｃｍ，设其一边长为ｘｃｍ，面积为ｙｃｍ２，则ｙ与ｘ的函数关系式及其 自变量ｘ的取值范围均正确的是 （　　） Ａ．ｙ＝－ｘ２＋６ｘ（３＜ｘ＜６） Ｂ．ｙ＝－ｘ２＋６ｘ（０＜ｘ＜６） Ｃ．ｙ＝－ｘ２＋１２ｘ（６＜ｘ＜１２） Ｄ．ｙ＝－ｘ２＋１２ｘ（０＜ｘ＜１２） １２ ４．（核心素养·模型观念）下列选项描述的ｙ与ｘ之间的关系是二次函数的是 （　　） Ａ．正方体的体积ｙ与棱长ｘ之间的关系 Ｂ．某商品在６月的售价为３０元，７月和８月连续两次降价销售，平均每月降价的百 分率为ｘ，该商品８月的售价ｙ与ｘ之间的关系 Ｃ．距离一定时，汽车匀速行驶的时间ｙ与速度ｘ之间的关系 Ｄ．等腰三角形的顶角度数ｙ与底角度数ｘ之间的关系 ５．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 ２８ｍ长的篱笆围成一个矩形花园 ＡＢＣＤ（篱笆只围 ＡＢ，ＢＣ两边），设ＡＢ＝ｘｍ，花园 的面积为Ｓ．则Ｓ与ｘ之间的函数关系式为　　　　　　　　　　　，自变量的取值 范围是　　　　　　　　　． ６．已知函数ｙ＝（ｍ２＋２ｍ）ｘ２＋ｍｘ＋ｍ＋１． （１）当ｍ为何值时，此函数是一次函数？ （２）当ｍ为何值时，此函数是二次函数？ ７．如图，等腰直角三角形ＡＢＣ的直角边与正方形ＭＮＰＱ的边长均为１０ｃｍ，边ＣＡ与边 ＭＮ在同一直线上，点Ａ与点Ｍ重合，让△ＡＢＣ沿 ＭＮ方向以１ｃｍ／ｓ的速度匀速运 动，运动到点Ａ与Ｎ重合时停止．ＡＢ与ＭＱ相交于点Ｒ，设运动的时间为ｔｓ，运动过 程中△ＡＢＣ与正方形ＭＮＰＱ重叠部分的面积为Ｓｃｍ２． （１）试写出Ｓ关于ｔ的函数关系式，并指出自变量ｔ的取值范围； （２）当ＭＡ＝２ｃｍ时，重叠部分的面积是多少？ ２２ ８０ｘ）＝１４４０．故选Ａ． ３．解：设原来两位数的个位数字为 ｘ，则十位数 字为ｘ＋２，根据题意列出方程， 得［１０（ｘ＋２）＋ｘ］＋１３８＝（１０ｘ＋ｘ＋２）２， 整理，得１１ｘ２＋３ｘ－１４＝０， 解得ｘ１＝１，ｘ２＝－ １４ １１ （不合题意舍去）． 答：原来的两位数是３１． ４．解：（１）设这三年该地区投入教育经费的年平 均增长率为ｘ． 依题意，得２０００（１＋ｘ）２＝２８８０． 解得ｘ１＝０．２＝２０％，ｘ２＝－２．２（舍去）． 所以这三年该地区投入教育经费的年平均增 长率为２０％． （２）２８８０×（１＋２０％）＝３４５６（万元）． 所以预计第四年该地区将投入教育经费３４５６ 万元． ５．解：设ＡＢ＝ｘｍ，则ＢＣ＝（１００－４ｘ）ｍ． 依题意，得ｘ（１００－４ｘ）＝４００． 解得ｘ１＝２０，ｘ２＝５． 当ｘ＝２０时，ＢＣ＝１００－４ｘ＝２０＜２５，符合题意； 当ｘ＝５时，ＢＣ＝１００－４ｘ＝８０＞２５，不符合题 意，舍去． 所以矩形牛圈的边 ＡＢ的长为２０ｍ，ＢＣ的长 为２０ｍ． ６．解：∵封面长４０ｃｍ，宽３０ｃｍ， ∴封面的长宽比为４∶３． 设中间的矩形的长为４ｘｃｍ，宽为３ｘｃｍ．由题 意，得４０×３０－４ｘ×３ｘ＝４０×３０× ７ １６ ． 解得ｘ＝± １５ ２ ． ∵ｘ＝－ １５ ２ 不符合题意，舍去，∴ｘ＝ １５ ２ ． ∴上、下边衬的宽为 ４０－４× １５ ２( ) ÷２＝５（ｃｍ）． ７．解：（１）设每次下降的百分率为 ａ．根据题意， 得５０（１－ａ）２＝３２． 解得ａ＝１．８（舍），或ａ＝０．２． 所以每次下降的百分率为２０％． （２）设每千克应涨价ｘ元．由题意， 得（１０＋ｘ）（５００－２０ｘ）＝６０００． 整理，得ｘ２－１５ｘ＋５０＝０． 解得ｘ１＝５，ｘ２＝１０． ∵要尽快减少库存，∴ｘ＝５符合题意． ∴该商场要保证每天盈利６０００元，每千克应 涨价５元． ８．解：设当时间为 ｔｓ时，点 Ｐ和点 Ｑ之间的距 离是２０ｃｍ． 如图，过点Ｑ作ＱＮ⊥ＡＢ于点Ｎ． 则ＱＣ＝４ｔｃｍ，ＰＮ＝（３２－１０ｔ）ｃｍ， 故１２２＋（３２－１０ｔ）２＝４００． 解得ｔ１＝ ８ ５ ，ｔ２＝ ２４ ５ ． 故当时间为 ８ ５ ｓ或 ２４ ５ ｓ时，点 Ｐ和点 Ｑ之间 的距离是２０ｃｍ． 第二十二章　二次函数 ２２．１　二次函数的图象和性质 ２２．１．１　二次函数 【边学边练】 １．Ｃ　２．Ａ　３．Ｃ 【随堂小测】 １．Ｂ　２．Ａ ３．Ｂ　【解析】已知一边长为ｘｃｍ，则其邻边长为 （６－ｘ）ｃｍ．则 ｙ＝ｘ（６－ｘ）．化简可得 ｙ＝－ｘ２＋６ｘ （０＜ｘ＜６）．故选Ｂ． ４．Ｂ　【解析】Ａ．正方体的体积 ｙ与棱长 ｘ之间 的关系是ｙ＝ｘ３，不是二次函数，故此选项不符 合题意；Ｂ．某商品在６月的售价为３０元，７月 和８月连续两次降价销售，平均每月降价的百                                                               ５１１ 分率为ｘ，该商品８月的售价 ｙ与 ｘ之间的关 系是ｙ＝３０（１－ｘ）２，是二次函数，故此选项符 合题意；Ｃ．距离 ｓ一定时，汽车匀速行驶的时 间ｙ与速度 ｘ之间的关系是 ｙ＝ ｓ ｘ ，不是二次 函数，故此选项不符合题意；Ｄ．等腰三角形的 顶角度数 ｙ与底角度数 ｘ之间的关系是 ｙ＝ １８０°－２ｘ，不是二次函数，故此选项不符合题 意．故选Ｂ． ５．Ｓ＝－ｘ２＋２８ｘ　０＜ｘ＜２８　【解析】∵ＡＢ＝ｘｍ， ∴ＢＣ＝（２８－ｘ）ｍ． ∴Ｓ＝ＡＢ·ＢＣ＝ｘ（２８－ｘ）＝－ｘ２＋２８ｘ． ∵篱笆的长为２８ｍ，∴０＜ｘ＜２８． ６．解：（１）∵函数ｙ＝（ｍ２＋２ｍ）ｘ２＋ｍｘ＋ｍ＋１是一 次函数， ∴ｍ２＋２ｍ＝０，ｍ≠０．解得ｍ＝－２． （２）∵函数 ｙ＝（ｍ２＋２ｍ）ｘ２＋ｍｘ＋ｍ＋１是二次 函数， ∴ｍ２＋２ｍ≠０．解得ｍ≠－２且ｍ≠０． ７．解：（１）∵△ＡＢＣ是等腰直角三角形，四边形 ＭＮＰＱ是正方形， ∴△ＡＭＲ是等腰直角三角形． 由题意知，ＡＭ＝ＭＲ＝ｔｃｍ， ∴Ｓ＝Ｓ△ＡＭＲ＝ １ ２ ｔ·ｔ＝ １ ２ ｔ２（０≤ｔ≤１０）． （２）当ＭＡ＝２ｃｍ时，重叠部分的面积是 １ ２ ×２× ２＝２（ｃｍ２）． ２２．１．２　二次函数ｙ＝ａｘ２的图象和性质 【边学边练】 １．Ａ　２．Ｂ　３．Ｄ ４．＜１ 【随堂小测】 １．Ｃ　２．Ａ　３．Ｂ ４．－２　５．ｋ＞－１　６．８ ７．解：（１）∵函数ｙ＝（ｍ＋２）ｘｍ２＋ｍ－４是关于ｘ的二 次函数，∴ ｍ＋２≠０， ｍ２＋ｍ－４＝２．{ 解得ｍ１＝－３，ｍ２＝２，即ｍ的值是－３或２． （２）由（１）知，ｍ＝－３或２， 故ｍ＋２＝－１或ｍ＋２＝４． ∴当ｍ＝２时，该抛物线有最低点． 当ｍ＝２时，ｙ＝４ｘ２，该函数的最低点的坐标为 （０，０），当ｘ＞０时，ｙ随ｘ的增大而增大． ２２．１．３　二次函数ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ的 图象和性质 第１课时　二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｋ的 图象和性质 【边学边练】 １．Ｃ　２．Ｃ　３．Ｂ ４．上　５　５．２ 【随堂小测】 １．Ｃ ２．Ｄ　【解析】Ａ．∵ａ＝２＞０，∴抛物线 ｙ＝２ｘ２－３ 的开口向上．∴Ａ选项错误；Ｂ．当ｘ＝２时，ｙ＝２ ×４－３＝５，∴抛物线不经过点（２，３）．∴Ｂ选项 错误；Ｃ．抛物线的对称轴为直线ｘ＝０，∴Ｃ选 项错误；Ｄ．抛物线 ｙ＝２ｘ２向下平移 ３个单位 长度得到抛物线 ｙ＝２ｘ２－３，∴Ｄ选项正确．故 选Ｄ． ３．Ｃ　【解析】∵二次函数的解析式为 ｙ＝ｘ２＋ａ， ∴抛物线开口向上．∴排除 Ｂ选项．∵一次函 数的解析式为ｙ＝ａｘ＋２，∴直线与ｙ轴的正半轴 相交．∴排除Ｄ选项．Ａ，Ｃ选项中，由抛物线的 位置，得ａ＜０，∴排除Ａ选项．故选Ｃ． ４．Ｃ ５．ｙ＝ｘ２－３ ６．ｙ＝－４ｘ２－１ ７．解：（１）∵ｙ＝ｘ２－１， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（０，－１）， 对称轴为ｙ轴． （２）在ｙ＝ｘ２－１中，令ｙ＝０，可得０＝ｘ２－１． 解得ｘ＝－１或１． 结合（１）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图 象如图所示．                                                               ６１１