小专题1 一元二次方程根的判别式-【一课通】2024-2025学年九年级上册数学随堂小练习(人教版)

小专题 １　一元二次方程根的判别式 一、已知一元二次方程，判别根的情况 １．下列方程中，有两个不相等的实数根的是 （　　） Ａ．ｘ２－２ｘ＋１＝０ Ｂ．ｘ２－２ｘ＝０ Ｃ．ｘ２－２ｘ＋２＝０ Ｄ．ｘ２＋２＝０ ２．如果ｍ＞ １ ３ ，那么关于ｘ的一元二次方程３ｘ２－２ｘ＋ｍ＝０的根的情况是 （　　） Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．无实数根 Ｄ．只有一个实数根 ３．一元二次方程５ｘ２－３ｘ＝ｘ＋１的实数根的情况是 （　　） Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．无法判断 ４．已知关于ｘ的一元二次方程（ａ＋１）ｘ２＋２ｂｘ＋（ａ＋１）＝０有两个相等的实数根，下列判 断正确的是 （　　） Ａ．１一定不是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根 Ｂ．０一定不是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根 Ｃ．１和－１都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根 Ｄ．１和－１不都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根 ５．已知关于ｘ的方程ｘ２＋（ｍ＋２）ｘ＋（２ｍ－１）＝０． （１）求证：无论ｍ为何值，方程恒有两个不相等的实数根； （２）若此方程的一个根是－１，请求出ｍ的值和方程的另一个根． 二、已知含有待定量的一元二次方程根的情况，求待定量的取值范围 ６．已知关于ｘ的一元二次方程（ｍ－１）ｘ２＋４ｘ＋１＝０有实数根，则ｍ的取值范围为 （　　） Ａ．ｍ＜５且ｍ≠１ Ｂ．ｍ≤５且ｍ≠１ Ｃ．ｍ≤５　　　 Ｄ．ｍ＜５ ３１ 三、已知含有待定量的一元二次方程根的情况，求待定量的代数式的值 ７．已知ｋ为实数，关于ｘ的方程ｘ２＋ｋ２＋１＝２ｋ（ｘ－１）有两个实数根ｘ１，ｘ２． （１）求实数ｋ的取值范围； （２）若（２ｘ１＋１）（２ｘ２＋１）＝２１，试求ｋ的值． 四、利用一元二次方程根的判别式判断三角形形状 ８．关于ｘ的一元二次方程（ａ＋ｂ）ｘ２＋（ａ－ｃ）ｘ＋ ａ－ｃ ４ ＝０有两个相等的实数根，那么以ａ，ｂ， ｃ为三边的三角形是 （　　） Ａ．以ａ为斜边的直角三角形 Ｂ．以ｃ为斜边的直角三角形 Ｃ．以ｂ为底边的等腰三角形 Ｄ．以ｃ为底边的等腰三角形 五、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系综合运用 ９．已知一元二次方程ｘ２－２ｘ＋ｍ＝０． （１）若方程有两个实数根，求ｍ的范围； （２）若方程的两个实数根为ｘ１，ｘ２，且ｘ１＋３ｘ２＝３，求ｍ的值． 六、利用一元二次方程根的判别式判断实际问题的存在性 １０．（核心素养·应用意识）将一条长为２０ｃｍ的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长 度为周长做成一个正方形． （１）要使这两个正方形的面积之和等于１７ｃｍ２，那么这段铁丝剪成两段后的长度分 别是多少？ （２）两个正方形的面积之和可能等于１２ｃｍ２吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由． ４１ 即（ｘ－５）（ｘ＋３）＝０． 解得ｘ１＝５，ｘ２＝－３． （２）移项，得ｘ２－２ｘ＝２． 配方，得ｘ２－２ｘ＋１＝３，即（ｘ－１）２＝３． 解得ｘ－１＝槡±３， 即ｘ１＝１＋槡３，ｘ２＝１－槡３． ２１．２．４　一元二次方程的根与系数的关系 【边学边练】 １．Ｄ　２．Ａ ３． １ ４ 　【解析】方程化为４ｘ２－５ｘ＋１＝０，根据题意 得ｘ１ｘ２＝ １ ４ ． ４．Ｄ　５．Ｂ 【随堂小测】 １．Ｂ ２．Ｂ　【解析】∵ａ是方程ｘ２＋ｘ－２０２４＝０的实数 根，∴ａ２＋ａ－２０２４＝０．∴ａ２＝－ａ＋２０２４．∴ａ２＋ ２ａ＋ｂ＝－ａ＋２０２４＋２ａ＋ｂ＝２０２４＋ａ＋ｂ．∵ａ，ｂ是 方程ｘ２＋ｘ－２０２４＝０的两个实数根，∴ａ＋ｂ＝ －１．∴ａ２＋２ａ＋ｂ＝２０２４－１＝２０２３．故选Ｂ． ３．Ｂ　【解析】∵方程 ｘ２－（ｍ２－ｍ－６）ｘ＋ｍ＝０的 两个根互为相反数，∴ｍ２－ｍ－６＝０，解得 ｍ１＝ ３，ｍ２＝－２．当ｍ＝３时，方程化为ｘ ２＋３＝０，方程 没有实数解；当ｍ＝－２时，方程化为 ｘ２－２＝０， 方程有实数解．所以ｍ的值为－２．故选Ｂ． ４．－ ２ ５ ＜ｍ≤０　【解析】根据题意，得 ｘ１＋ｘ２＝２， ｘ１ｘ２＝ｍ＋１，∵１＋３ｘ１ｘ２＞ｘ ２ １＋ｘ ２ ２，∴１＋３ｘ１ｘ２＞（ｘ１＋ ｘ２） ２－２ｘ１ｘ２，即１＋５ｘ１ｘ２＞（ｘ１＋ｘ２） ２．∴１＋５ｍ＋５＞ ４，解得ｍ＞－ ２ ５ ．∵Δ＝（－２）２－４×（ｍ＋１）≥０， ∴ｍ≤０．∴－ ２ ５ ＜ｍ≤０． ５．１２　【解析】设菱形的两条对角线分别是ａ，ｂ， ∵菱形的两条对角线分别是一元二次方程 ｘ２ ＋ｍｘ＋２４＝０的两个实数根，∴ａｂ＝２４． ∴菱形的面积＝ １ ２ ａｂ＝１２． ６．７　【解析】∵ａ２－６ａ＋４＝０，ｂ２－６ｂ＋４＝０，且ａ≠ ｂ，∴ａ，ｂ是一元二次方程ｘ２－６ｘ＋４＝０的两个不 相等的实数根．∴ａ＋ｂ＝６，ａｂ＝４． ∴ ｂ ａ ＋ａ ｂ ＝（ａ ＋ｂ）２－２ａｂ ａｂ ＝７． ７．（１）证明：原方程可变形为ｘ２－５ｘ＋６－ｐ２－ｐ＝０． ∵Δ＝（－５）２－４（６－ｐ２－ｐ）＝２５－２４＋４ｐ２＋４ｐ＝４ｐ２＋ ４ｐ＋１＝（２ｐ＋１）２≥０， ∴无论ｐ取何值此方程总有两个实数根． （２）解：∵原方程的两根为ｘ１，ｘ２， ∴ｘ１＋ｘ２＝５，ｘ１ｘ２＝６－ｐ ２－ｐ． 又∵ｘ２１＋ｘ ２ ２－ｘ１ｘ２＝３ｐ ２＋１， ∴（ｘ１＋ｘ２） ２－３ｘ１ｘ２＝３ｐ ２＋１． ∴５２－３（６－ｐ２－ｐ）＝３ｐ２＋１． ∴２５－１８＋３ｐ２＋３ｐ＝３ｐ２＋１． ∴３ｐ＝－６． ∴ｐ＝－２． ８．（１）证明：Δ＝（２ｋ＋１）２－４（４ｋ－３）＝４ｋ２＋４ｋ＋１－ １６ｋ＋１２＝４ｋ２－１２ｋ＋１３＝（２ｋ－３）２＋４． ∵（２ｋ－３）２≥０，∴Δ＞０． ∴无论ｋ取什么实数值，该方程总有两个不相 等的实数根． （２）解：根据题意，得 ＡＢ＋ＢＣ＝２ｋ＋１，ＡＢ·ＢＣ ＝４ｋ－３，∵ＡＢ２＋ＢＣ２＝ＡＣ２＝（槡３１） ２， ∴（２ｋ＋１）２－２（４ｋ－３）＝３１． 整理，得ｋ２－ｋ－６＝０，解得ｋ１＝３，ｋ２＝－２． ∵ＡＢ＋ＢＣ＝２ｋ＋１＞０，ＡＢ·ＢＣ＝４ｋ－３＞０， ∴ｋ的值为３．∴ＡＢ＋ＢＣ＝７． ∴矩形ＡＢＣＤ的周长为１４． 小专题１　一元二次方程根的判别式 １．Ｂ　【解析】Ａ．∵Δ＝（－２）２－４×１×１＝０， ∴方程有两个相等的实数根，不合题意；Ｂ． ∵Δ＝２２－４×１×０＝４＞０，∴方程有两个不相等 的实数根，符合题意；Ｃ．∵Δ＝（－２）２－４×１×２＝                                                               ２１１ －４＜０，∴方程没有实数根，不合题意；Ｄ．∵Δ＝０２ －４×１×２＝－８＜０，∴方程没有实数根，不合题 意．故选Ｂ． ２．Ｃ　【解析】Δ＝（－２）２－４×３×ｍ＝４－１２ｍ．∵ｍ＞ １ ３ ，∴４－１２ｍ＜０．∴该方程无实数根．故选Ｃ． ３．Ａ　【解析】将原方程化成一般形式为５ｘ２－４ｘ－ １＝０，∵Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（－４）２－４×５×（－１）＝３６＞０， ∴原方程有两个不相等的实数根．故选Ａ． ４．Ｄ　【解析】∵关于ｘ的一元二次方程（ａ＋１）ｘ２＋ ２ｂｘ＋（ａ＋１）＝０有两个相等的实数根， ∴ ａ＋１≠０， Δ＝（２ｂ）２－４（ａ＋１）２＝０．{ ∴ｂ＝ａ＋１，或ｂ＝－（ａ＋１）． 当ｂ＝ａ＋１时，有 ａ－ｂ＋１＝０，此时－１是关于 ｘ 的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根； 当ｂ＝－（ａ＋１）时，有ａ＋ｂ＋１＝０，此时１是关于 ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的根． ∵ａ＋１≠０，∴ａ＋１≠－（ａ＋１）． ∴１和－１不都是关于ｘ的方程ｘ２＋ｂｘ＋ａ＝０的 根．故选Ｄ． ５．（１）证明：∵ａ＝１，ｂ＝ｍ＋２，ｃ＝２ｍ－１， ∴Δ＝（ｍ＋２）２－４（２ｍ－１）＝（ｍ－２）２＋４＞０． ∴无论ｍ为何值，方程恒有两个不相等的实 数根． （２）解：把ｘ＝－１代入方程， 得１－ｍ－２＋２ｍ－１＝０． 解得ｍ＝２． 设另一根为ｎ，则有－１＋ｎ＝－ｍ－２＝－４． 解得ｎ＝－３，即方程的另一根为ｘ＝－３． ６．Ｂ　【解析】∵关于ｘ的一元二次方程（ｍ－１）ｘ２＋ ４ｘ＋１＝０有实数根，∴ｍ－１≠０且４２－４（ｍ－１）≥ ０，解得ｍ≤５且ｍ≠１．故选Ｂ． ７．解：（１）原方程化为ｘ２－２ｋｘ＋ｋ２＋２ｋ＋１＝０． 则Δ＝４ｋ２－４（ｋ２＋２ｋ＋１）≥０． ∴ｋ２－（ｋ２＋２ｋ＋１）≥０． ∴－２ｋ－１≥０． ∴ｋ≤－ １ ２ ． （２）由根与系数的关系， 得ｘ１＋ｘ２＝２ｋ，ｘ１ｘ２＝ｋ ２＋２ｋ＋１． ∵（２ｘ１＋１）（２ｘ２＋１）＝２１， ∴４ｘ１ｘ２＋２（ｘ１＋ｘ２）＋１＝２１． ∴４（ｋ２＋２ｋ＋１）＋４ｋ＋１＝２１，即ｋ２＋３ｋ－４＝０． 解得ｋ１＝１，ｋ２＝－４． ∵ｋ≤－ １ ２ ，∴ｋ的值为－４． ８．Ｃ　【解析】由题意，得 Δ＝（ａ－ｃ）２－４×（ａ＋ｂ）× ａ－ｃ ４ ＝（ａ－ｃ）２－（ａ＋ｂ）（ａ－ｃ）＝（ａ－ｃ）（ａ－ｃ－ａ－ ｂ）＝（ａ－ｃ）（－ｃ－ｂ）＝（ｃ－ａ）（ｃ＋ｂ）＝０．∵ｃ＋ｂ＞ ０，∴ｃ－ａ＝０，即这个三角形是以ｂ为底边的等 腰三角形．故选Ｃ． ９．解：（１）∵方程ｘ２－２ｘ＋ｍ＝０有两个实数根， ∴Δ＝（－２）２－４ｍ≥０，解得ｍ≤１． 故ｍ的范围是ｍ≤１． （２）由根与系数的关系可知，ｘ１＋ｘ２＝２，ｘ１ｘ２＝ ｍ，∵ｘ１＋３ｘ２＝３， ∴２＋２ｘ２＝３，解得ｘ２＝ １ ２ ． ∴ｘ１＝２－ １ ２ ＝３ ２ ． ∴ｍ＝ｘ１ｘ２＝ ３ ４ ． １０．解：（１）设其中一个正方形的边长为ｘｃｍ，则 另一个正方形的边长为（５－ｘ）ｃｍ． 依题意列方程得ｘ２＋（５－ｘ）２＝１７． 整理，得ｘ２－５ｘ＋４＝０． 因式分解，得（ｘ－１）（ｘ－４）＝０． 所以ｘ１＝１，ｘ２＝４． ∵１×４＝４（ｃｍ），２０－４＝１６（ｃｍ）， ∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是４ｃｍ， １６ｃｍ．                                                               ３１１ （２）两个正方形的面积之和不可能等于１２ｃｍ２． 理由如下： 令ｘ２＋（５－ｘ）２＝１２． 整理，得２ｘ２－１０ｘ＋１３＝０． ∴Δ＝１００－４×２×１３＝－４＜０，方程无实数解， ∴两个正方形的面积之和不可能等于１２ｃｍ２． ２１．３　实际问题与一元二次方程 第１课时　传播及增长率问题 【边学边练】 １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ｃ　４．Ｃ 【随堂小测】 １．Ｂ　２．Ｃ　３．Ｂ ４．６５×（１－１０％）×（１＋５％）－５０（１－ｘ）２＝６５－５０ ５．５ ６．解：（１）设从 ２０２１年到 ２０２３年，该市投入拆 迁安置资金的年平均增长率为ｘ，根据题意， 得１５００（１＋ｘ）２＝１５００＋１４４０， 解得ｘ＝０．４＝４０％或ｘ＝－２．４（舍去）． 答：从２０２１年到 ２０２３年，该市投入拆迁安置 资金的年平均增长率为４０％． （２）设２０２３年该市有 ａ户享受到优先搬迁租 房奖励，根据题意，得 １０×１０００×４００＋８× ４００（ａ－１０００）≥８００００００， 解得ａ≥２２５０． 答：２０２３年该市至少有２２５０户享受到优先搬 迁租房奖励． 第２课时　销售及图形面积问题 【边学边练】 １．Ａ ２．解：设截去的小正方形的边长是ｘｃｍ． 根据题意，得（１０－２ｘ）（６－２ｘ）＝３２． 解得ｘ１＝１，ｘ２＝７（舍去）． 所以截去的小正方形的边长是１ｃｍ． 【随堂小测】 １．Ｂ　【解析】设原矩形停车场的长为ｘ米，则宽 为（ｘ－２０）米． 根据题意，得ｘ（ｘ－２０）＝１２０００． 解得ｘ＝１２０，或ｘ＝－１００（舍去）．故选Ｂ． ２．Ｄ ３．Ｂ　【解析】由题意，得 １ ２ （１６－２ｔ）（１２－２ｔ）＝ １ ２ × １ ２ ×１６×１２， 整理，得ｔ２－１４ｔ＋２４＝０，解得 ｔ＝２或 ｔ＝１２．当 ｔ ＝２时，１６－２ｔ＝１２，１２－２ｔ＝８，符合题意；当 ｔ＝ １２时，１６－２ｔ＝－８，１２－２ｔ＝－１２，不符合题意，舍 去．∴ｔ＝２．故选Ｂ． ４．Ｄ　【解析】设每件衬衣应降价 ｘ元．根据题 意，得（５０－ｘ）（３０＋２ｘ）＝２０００．整理， 得ｘ２－３５ｘ＋２５０＝０．解得ｘ１＝１０，ｘ２＝２５． ∵要尽快减少库存，∴ｘ１＝１０应舍去． ∴ｘ＝２５．故选Ｄ． ５．５　【解析】设需要将采摘的黄瓜储藏 ｘ天出 售，由题意， 得（６＋０．５ｘ）（４００－１０ｘ）－４０ｘ－１６００＝１１７５， 解得ｘ１＝５，ｘ２＝１５（舍去）， 所以若该菜农想获得１１７５元的利润，则需要 将采摘的黄瓜储藏５天． ６．解：（１）２０＋２×２＝２４（件）． （２）设每件商品降价 ｘ元，则平均每天可销售 （２０＋２ｘ）件． 依题意，得（８０－４０－ｘ）（２０＋２ｘ）＝１２００． 整理，得ｘ２－３０ｘ＋２００＝０． 解得ｘ１＝１０，ｘ２＝２０． ∵当ｘ＝２０时，８０－４０－ｘ＝２０＜２５， ∴ｘ＝２０舍去．∵８０－１０＝７０（元）， ∴当每件商品定价７０元时，该商场每天销售 这种商品的利润达到１２００元． 小专题２　一元二次方程的实际应用 １．Ｂ　【解析】设有 ｘ人参加聚会，根据题意，得 ｘ（ｘ－１）＝２×１０，解得 ｘ１＝５，ｘ２＝－４（舍去）．故 选Ｂ． ２．Ａ　【解析】当每袋粽子售价降低 ｘ元时，每袋 粽子的销售利润为（１６－ｘ－１０）元，每天可售出 （２００＋８０ｘ）袋，依题意，得（１６－ｘ－１０）（２００＋                                                               ４１１