精品解析：2024年内蒙古自治区呼和浩特中考数学试题

2024年呼和浩特市中考试卷 数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置。 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效。考试结束后，本试卷和答题卡一并交回 3．本试卷满分120分．考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的概念（绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数）． 根据相反数的定义直接找出的相反数． 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数． 对于数，它的相反数就是改变其符号，得到． 所以的相反数是， 故选：A． 2. 如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键．先利用判定，再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图所示的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟记主视图的定义是解题关键． 根据主视图的定义求解即可得． 【详解】解：这个几何体的主视图是 故选：A． 5. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 6. 为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表： 月平均用水量x（吨） 频数 15 a 32 40 33 总计 150 根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是1500 B. 这150户家庭中月平均用水量为的家庭所占比例是 C. 在扇形统计图中，月平均用水量为的家庭所对应圆心角的度数是 D. 若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查统计的应用，熟练掌握利用统计图表进行数据分析的方法是解决问题的关键．根据统计图表中的数据对选项中的每个结论进行判断即可找出正确答案． 【详解】解：本次调查的样本容量是150，故A不正确； ，故B不正确； 96°，故C不正确； 以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，组的实际数据为12，这组的数量最多为40户，所以12是这组数据的众数，即这150户家庭月平均用水量的众数是12，故D正确． 故选：D． 7. 如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 9. 如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，连接与相交于点，连接，由，可得，进而由折叠可得，，得到，即得，即可得为等腰直角三角形，即得，，又由旋转得，，，可得，，，即可得为等边三角形，得到，，进而得，，即得，可得，得到，即可得，由得四点共圆，即得，可得，由此可得，，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接与相交于点，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 又由旋转得，，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 10. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． ②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则． ③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的图象和性质即可判断①；过点O作，垂足分别为M，N，连接，先证明四边形是矩形，再利用勾股定理，垂径定理求解即可判断②；先证明，进而得出点C的坐标，即可求解，进而判断③；先由一元二次方程根与系数的关系得出的值，再根据题意得出一元二次方程，求出a的值，进而求解即可判断④． 【详解】∵二次函数的图象经过两点， ∴当时，， ∵m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且， ∴，故①正确； 如图，过点O作，垂足分别为M，N，连接， ∴M、N分别为的中点，， ∵弦互相垂直， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，故②正确； 当点C在第一象限时，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∵点C是反比例函数的图象上一点， ∴； 当点C在第二象限时，同理可得 ∴； 综上，或，故③错误； 设矩形两边分别为m，n， ∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等， ∴， ∴， 解得（负舍）， ∴， ∵矩形对角线，故④正确； 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，反比例函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程） 11. 2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：3802亿， 故答案为：． 12. 如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机两次取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：将这4张卡片记为，画出树状图如下： 由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4种， 则两次取到相同图案的卡片的概率为， 故答案为：． 13. 如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则________度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为________． 【答案】 ①. 40 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、圆锥等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质可得的度数；先利用弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 由圆的性质可知，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆半径为， 故答案为：40；2． 14. 关于x的不等式的解集是_________，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 【详解】解：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 15. 2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为_________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_________元． 【答案】 ①. 55 ②. 1260 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为1260元， 故答案为：55；1260． 16. 如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，连接，交于点，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出的长，再求出，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质求出的长，最后在和中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，交于点， ∵正方形的面积为50， ∴，， ∵，， ∴，平分，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 又∵，平分， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 在和中，， 即， 解得， 即， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了正切、零指数幂、实数的绝对值、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握运算法则和分式方程的解法是解题关键． （1）先计算正切、零指数幂、化简绝对值和二次根式，再计算乘法与加减法即可得； （2）先化成整式方程，再计算一元一次方程，最后进行检验即可得． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， 所以方程的解是． 18. 如图，，平分，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 【答案】（1）证明见详解 （2）四边形为正方形 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，利用证明 ，由全等三角形的性质得出，结合已知条件可得出四边形是平行四边形． （2）由已知条件可得出，由平行四边形的性质可得出，，根据平行线的性质可得出，，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出， 即可得出四边形为正方形． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 四边形是正方形． 过点B作于点G， ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∴，， ∴，， 由（1）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定定理是解题的关键． 19. 近年来，近视的青少年越来越多且年龄越来越小·研究表明：这与学生长期不正确的阅读、书写姿势和长时间使用电子产品等有很大的关系，呼和浩特市某校为了解几年级学生右眼视力的情况，计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级840名学生的右眼视力情况．制定以下两种抽样方案： ①从九年级的一个班级中随机抽取42名学生（九年级每个班级至少有50名学生）； ②从九年级中随机抽取42名学生． 你认为更合理的方案是_________（填“①”或“②”） 该校用合理的方案抽取了42名学生进行右眼视力检查，检查结果如下： 4.5 4.8 4.9 4.4 4.5 4.2 5.0 4.0 4.2 4.3 5.0 4.2 4.4 4.9 4.2 4.4 4.5 4.6 4.8 4.9 4.1 5.0 4.9 4.8 4.7 4.5 4.8 5.0 4.9 4.5 4.3 4.9 4.3 5.0 4.9 4.8 4.9 5.0 4.1 4.9 4.3 4.2 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 2 5 4 3 m 1 1 5 n 6 请根据所给信息，解答下列问题： （1）_________，_________； （2）计算该样本的平均数；（结果精确到0.1，参考数据：） （3）若该校九年级小明同学右眼视力为4.5，请你用调查得到的数据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况； （4）根据样本数据，估计该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数． 【答案】（1）②，5，9 （2）4.6 （3）小明同学右眼视力在九年级全体学生中属于视力较弱偏下游．接近中位数． （4）人 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查的特点回答即可，从检查结果的数据可得出m，n的值 （2）根据加权平均数的计算求解即可． （3）根据中位数的定义求出中位数，然后和小明比较即可得出答案． （4）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：认为更合理的方案是②，因为抽样调查应具有广泛性和可靠性. 从检查结果的数据可知视力为的人数有5人，视力为的人数有9人， 故， 故答案为∶ ②5，9． 【小问2详解】 解：样本的平均数为： 【小问3详解】 解：∵一共有42名学生，且第21位和22位的数据为：4.6和4.7， ∴中位数为：， ∵小明同学右眼视力为4.5，且 ∴小明同学右眼视力在九年级全体学生中属于视力较弱偏下游．接近中位数． 【小问4详解】 解：， 故该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数有420人． 【点睛】本题主要考查了抽样调查的特点，加权平均数，中位数，用样本估计总体等知识，掌握加权平均数，中位数，用样本估计总体是解题的关键． 20. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 21. 某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． （1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； （2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】（1）种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 （2）“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【小问1详解】 解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． 【小问2详解】 解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … 1 2 3 4 … … 8 4 2 1 … 写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； （3）一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标． 【答案】（1） （2），见解析 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、画反比例函数的图象、一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）根据表格中的规律即可得函数表达式，再利用描点法画出函数图象即可； （3）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，设点的坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，则，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式． 【小问2详解】 解：由表格可知，， 画出函数图象如下： ． 【小问3详解】 解：联立，解得或， ∵一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧）， ∴， ∵点关于坐标原点的对称点为点， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为， 如图，过点作轴的垂线，交直线于点，则， ∴，点到的距离与点到的距离之和为， ∵的面积为15， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 所以点的坐标为． 23. 如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若． ①求的长； ②求的半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）①；②． 【解析】 【分析】（）连接，则，可得，由可得，进而由等腰三角形的性质可得，得到，即可求证； （）①证明得到，据此即可求解；②由①可得，进而得，，利用勾股定理得，再证明，得到，即可得，求出即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：①∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； （2）已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； （3）若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 【答案】（1）2， （2），理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将点代入二次函数的解析式即可得的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式即可得； （2）先求出，从而可得抛物线的对称轴，再求出，得出点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得； （3）先分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，且， ∴将点代入得：， 解得， 则化成顶点式为， 故答案为：2，． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， 二次函数的对称轴为直线， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又∵抛物线的开口向上， ∴． 【小问3详解】 证明：若，则， 将向上平移4个单位得到新抛物线， ∵抛物线与直线交于点， ∴设点的坐标为， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年呼和浩特市中考试卷 数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置。 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效。考试结束后，本试卷和答题卡一并交回 3．本试卷满分120分．考试时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表： 月平均用水量x（吨） 频数 15 a 32 40 33 总计 150 根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是1500 B. 这150户家庭中月平均用水量为的家庭所占比例是 C. 在扇形统计图中，月平均用水量为的家庭所对应圆心角的度数是 D. 若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12 7. 如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． ②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则． ③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程） 11. 2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为_________． 12. 如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为_________． 13. 如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则________度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为________． 14. 关于x的不等式的解集是_________，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是_________． 15. 2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为_________元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为_________元． 16. 如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则_________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，，平分，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 19. 近年来，近视的青少年越来越多且年龄越来越小·研究表明：这与学生长期不正确的阅读、书写姿势和长时间使用电子产品等有很大的关系，呼和浩特市某校为了解几年级学生右眼视力的情况，计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级840名学生的右眼视力情况．制定以下两种抽样方案： ①从九年级的一个班级中随机抽取42名学生（九年级每个班级至少有50名学生）； ②从九年级中随机抽取42名学生． 你认为更合理的方案是_________（填“①”或“②”） 该校用合理的方案抽取了42名学生进行右眼视力检查，检查结果如下： 4.5 4.8 4.9 4.4 4.5 4.2 5.0 4.0 4.2 4.3 5.0 4.2 4.4 4.9 4.2 4.4 4.5 4.6 4.8 4.9 4.1 5.0 4.9 4.8 4.7 4.5 4.8 5.0 4.9 4.5 4.3 4.9 4.3 5.0 4.9 4.8 4.9 5.0 4.1 4.9 4.3 4.2 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 2 5 4 3 m 1 1 5 n 6 请根据所给信息，解答下列问题： （1）_________，_________； （2）计算该样本的平均数；（结果精确到0.1，参考数据：） （3）若该校九年级小明同学右眼视力为4.5，请你用调查得到的数据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况； （4）根据样本数据，估计该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数． 20. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 21. 某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． （1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； （2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … 1 2 3 4 … … 8 4 2 1 … 写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； （3）一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标． 23. 如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若． ①求的长； ②求的半径． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； （2）已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； （3）若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $