3.2.1 单调性与最大（小）值（8大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

3.2.1 单调性与最大（小）值 知识点 1 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 （3），的三个特征 ①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值； ②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； ③同区间性：即，同属于一个单调区间． 2、函数的单调区间 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 知识点 2 单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点 3 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标． 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 3、函数最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值． 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值． 1、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性． 2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解； （2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化． 3、利用函数的单调性求参数的取值范围 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小． 若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 4、利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 题型一 对单调性定义的理解 【例1】（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【变式1-1】（23-24高一上·陕西咸阳·月考）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·北京海淀·期中）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 【变式1-3】（23-24高一上·吉林白山·月考）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 题型二 定义法讨论函数的单调性 【例2】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）用函数单调性定义证明在区间上是单调递增，并求在此区间上的最值. 【变式2-1】（23-24高一上·山东济宁·月考）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【变式2-2】（23-24高一上·安徽安庆·月考）已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递增. 【变式2-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数，，．若不等式的解集为. (1)求的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论. 题型三 求函数的单调区间 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【变式3-1】（23-24高一上·福建泉州·月考）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·天津宝坻·月考）已知函数，则的单调递增区间为 . 【变式3-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）函数的单调增区间是 ． 【变式3-4】（23-24高一上·河南新乡·月考）函数的单调递增区间为 . 题型四 利用函数的单调性求参数范围 【例4】（22-23高一上·山东日照·月考）函数在上是减函数．则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）（多选）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 【变式4-2】（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 . 题型五 利用函数的单调性比较大小 【例5】（23-24高一上·云南曲靖·月考）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·河南南阳·月考）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 题型六 利用函数的单调性解不等式 【例6】（23-24高一上·山西大同·月考）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【变式6-1】（23-24高一上·河南·月考）已知函数的定义域为，且在区间上是增函数，，求实数的取值范围. 【变式6-2】（22-23高一上·广西桂林·月考）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·四川南充·月考）定义在的函数满足，且，则不等式的解集为 . 题型七 求简单函数的最值或值域 【例7】（23-24高一上·江苏徐州·月考）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·湖南岳阳·月考）已知函数，则的最小值为（    ） A．－3 B． C．－2 D． 【变式7-2】（23-24高一上·湖北恩施·月考）函数（    ） A．最小值为0，最大值为3 B．最小值为，最大值为0 C．最小值为，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值 【变式7-3】（23-24高一上·河北沧州·期中）函数的值域是 . 【变式7-4】（23-24高一上·辽宁·月考）函数的最大值为 . 题型八 根据函数的最值或值域求参数 【例8】（23-24高一上·河北保定·月考）（多选）已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）若函数的值域为，则实数的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知，若函数有最小值为4，则（    ） A．2 B．4 C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1 单调性与最大（小）值 知识点 1 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）设函数的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递增函数； 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减函数。 （2）单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 （3），的三个特征 ①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值； ②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定； ③同区间性：即，同属于一个单调区间． 2、函数的单调区间 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 知识点 2 单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点 3 函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0). （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标． 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0). （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 3、函数最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值． 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值． 1、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性． 2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解； （2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化． 3、利用函数的单调性求参数的取值范围 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小． 若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 4、利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论． 题型一 对单调性定义的理解 【例1】（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】由得不到“函数在区间上单调递增”， 如，， 显然满足，但是函数在上递增，在上递减， 故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件； 而由“函数在区间上单调递增”可得. 则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D. 【变式1-1】（23-24高一上·陕西咸阳·月考）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故A项正确； 对于B项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故B项不成立； 对于C项、D项，由于，的大小关系不确定， 所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立.故选：A. 【变式1-2】（23-24高一上·北京海淀·期中）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（    ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 【答案】B 【解析】若函数在区间是增函数，即任意，使得且， 则若函数在区间不是增函数，即存在，使得且.故选：B 【变式1-3】（23-24高一上·吉林白山·月考）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 【答案】AB 【解析】，化简为， 设，则， 设，则， 故函数在上是增函数，故正确； 设，由得，即， 设，由得，即， 故函数在上是增函数，故正确； 令，表示不超过x的最大的整数， 满足，但在上不是增函数；故错误； 令，则，为增函数， 但函数在上不单调，故错误.故选：. 题型二 定义法讨论函数的单调性 【例2】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）用函数单调性定义证明在区间上是单调递增，并求在此区间上的最值. 【答案】证明见解析；最小值为4，最大值为5. 【解析】取，且， 则； 显然，又，所以, 可得，即可得， 即可知在区间上是单调递增； 因此在区间上的最小值为，最大值为； 即函数在区间上的最小值为4，最大值为5. 【变式2-1】（23-24高一上·山东济宁·月考）已知函数. (1)求的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明 【答案】(1)；(2)在上单调递减，证明见解析 【解析】（1）要使函数有意义，当且仅当， 由得， 所以函数的定义域为. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，， 所以. 因为，，所以，，， 又，所以，故，即， 因此函数在上单调递减. 【变式2-2】（23-24高一上·安徽安庆·月考）已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递增. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）且，解得. 所以函数的解析式为. （2）证明：，且， 则 因为，所以， 又，所以， 则，则，即，即 所以函数在上单调递增. 【变式2-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）已知函数，，．若不等式的解集为. (1)求的值及； (2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) ，；(2)单调递增，证明见解析 【解析】（1）由题意，即，即的解集为， 所以，解得， 所以. （2）函数在区间上单调递增，理由如下： ，不妨设， 则， 因为，且，故, 所以，即， 所以函数在区间上单调递增. 题型三 求函数的单调区间 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，.故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·福建泉州·月考）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 画出的图象如下：的单调减区间为，故选：A 【变式3-2】（23-24高一上·天津宝坻·月考）已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】， 【解析】当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为； 当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为. 综上，的单调递增区间为，. 【变式3-3】（23-24高一上·陕西西安·月考）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【解析】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 【变式3-4】（23-24高一上·河南新乡·月考）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 题型四 利用函数的单调性求参数范围 【例4】（22-23高一上·山东日照·月考）函数在上是减函数．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，函数在上是减函数， 则有，解可得，故选：B． 【变式4-1】（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）（多选）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 【答案】AD 【解析】的对称轴为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或．故选：AD 【变式4-2】（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，在区间上单调递增，符合题意； 当时，因为函数的对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则或，所以或； 综上，，故实数的取值范围是.故选：D 【变式4-3】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或.故选：A. 【变式4-4】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围是.故选：C 【变式4-5】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意可得，解得， 故答案为： 题型五 利用函数的单调性比较大小 【例5】（23-24高一上·云南曲靖·月考）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以.故选：A 【变式5-1】（22-23高一上·上海静安·期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误；故选：C． 【变式5-2】（23-24高一上·河南·期中）已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 因为在区间上单调递减，所以，即.故选：A 【变式5-3】（23-24高一上·河南南阳·月考）已知定义在上的函数满足，且，时，，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，时，得函数在上单调递减， 由得函数关于直线轴对称， 所以函数在上单调递增. 又因为（最远离）， （最靠近）， 所以.故选：A 题型六 利用函数的单调性解不等式 【例6】（23-24高一上·山西大同·月考）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因是定义在R上的增函数，故由可得 ，即，解得. 【变式6-1】（23-24高一上·河南·月考）已知函数的定义域为，且在区间上是增函数，，求实数的取值范围. 【答案】. 【解析】因为在区间上单调递增， 所以当时，总有成立；反之也成立， 即若，则. 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式6-2】（22-23高一上·广西桂林·月考）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在定义域上是减函数， 所以，解得， 所以.故选：B. 【变式6-3】（23-24高一上·四川南充·月考）定义在的函数满足，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】，，，有，， 设，有，则，都有， 所以在区间上单调递增，， 则当时，由，得，即， 解得，故原不等式的解集为． 题型七 求简单函数的最值或值域 【例7】（23-24高一上·江苏徐州·月考）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 当时，. 则.故选：B. 【变式7-1】（23-24高一上·湖南岳阳·月考）已知函数，则的最小值为（    ） A．－3 B． C．－2 D． 【答案】A 【解析】时，，∴时，， 时，，当且仅当时等号成立， 又，所以，故选：A． 【变式7-2】（23-24高一上·湖北恩施·月考）函数（    ） A．最小值为0，最大值为3 B．最小值为，最大值为0 C．最小值为，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值 【答案】C 【解析】函数， 当时，，故， 故， 所以的最小值为，最大值为3．故选：C． 【变式7-3】（23-24高一上·河北沧州·期中）函数的值域是 . 【答案】 【解析】由题设，令， 则，开口向上，故值域为. 【变式7-4】（23-24高一上·辽宁·月考）函数的最大值为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 函数在上单调递增，当时， 单调递增， 于是函数在上单调递增，当时，， 当时，，， 显然，令，则， 于是，当且仅当，即时，， 所以当时，函数取得最大值. 题型八 根据函数的最值或值域求参数 【例8】（23-24高一上·河北保定·月考）（多选）已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【解析】，当时，单调递减，当时，单调递增， 故当时，取得最小值， 又， 故要想在上的值域为，则要， 故实数的值可以是.故选：BCD 【变式8-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）若函数的值域为，则实数的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，即值域为，满足题意； 当时，设，若使函数的值域为， 则只需取大于等于零的实数， 即只需的图象与轴有交点即可， 因此，解得 综上，故选：D． 【变式8-2】（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 因为在上的最小值为， 所以时，，所以， 易知反比例型函数在单调递减. 所以在处取到的最小值为， 即 ，所以.故选：D 【变式8-3】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知，若函数有最小值为4，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】当时，在单调递增，无最小值； 当时，因为在单调递增，在单调递增， 则在单调递增，无最小值； 当时，，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，则，符合要求.故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$