2.1 等式性质与不等式性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1 等式与不等式的基本性质 导入：生活中的相等关系和不等关系 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就可能减少2000本. 如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 导入：生活中的相等关系和不等关系 实数大小的定义 (性质) 实数是可以比较大小. 在数轴上, 右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 任意两个实数a, b: 如果 a－b 是正数, 那么 a＞b; 如果 a－b 是负数, 那么 a＜b; 如果 a－b 等于零, 那么 a＝b. 即 a－b＞0  a＞b; a－b＜0  a＜b; a－b＝0  a＝b. 符号“”表示“等价于”, 即可以互相推出. 例 1 比较 (x + 2) (x + 3) 和 (x + 1) (x + 4) 的大小. 例题分析 A D C B G E F H a b 重要不等式 例题分析 [例3]　(1)已知a，b均为正实数．试利用作差法比较大小： ①a3＋b3与a2b＋ab2； ②a5＋b5与a3b2＋a2b3. (2)根据(1)中比较大小的结果，你认为有更一般的结论吗？若有，请证明你的结论． [解]　(1)①a3＋b3－(a2b＋ab2) ＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. ②(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3) ＝a5－a3b2＋b5－a2b3 ＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3) ＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)． ∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0. ∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3. (2)一般性结论为：若a>0，b>0，m>0，n>0， 则am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明如下： am＋n＋bm＋n－ambn－anbm＝am(an－bn)＋bm(bn－an) ＝(am－bm)(an－bn)， ∵a>0，b>0，m>0，n>0， ∴am－bm≥0，an－bn≥0， ∴(am－bm)(an－bn)≥0， 即am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 比较两个实数(代数式)大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论． [提醒]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　 例4. 已知 b 克糖水中含有 a 克糖 ( b > a > 0 ), 再 添加 m 克糖 (m > 0 ) (假设全部溶解 ), 糖水变甜了. 请将这一事实表示为一个不等式, 并证明这个不等式成立. 辨析： 作商比较法: 即若a, b同号, 比较a, b的大小有时要把不等式两 边相除, 转化为判断商式与 1 的大小关系. 例5. 已知 a > b > 0，求证： . 作差法比较大小、证明不等式的基本步骤 运算中的不变性就是性质. 不等式的基本性质: (正数、同向不等式的可乘性) (可乘方性) (可开方性) (同向不等式的可加性) 不等式的基本性质: 例题选讲 例题选讲 例6某单位组织职工去某地参观学习需包车前往. 甲车队说: “如领队买全票一张, 其余人可享受 7.5 折优惠”. 乙车队说:“你们属团体票, 按原价的8折优惠”. 这两车队的原价、车型都是一样的, 试根据单位去的人数, 比较两车队的收费哪家更优惠. 解: 设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元， 坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则 y1＝x＋eq \f(3,4)x·(n－1)＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn， y2＝eq \f(4,5)nx. 因为y1－y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn－eq \f(4,5)nx＝eq \f(1,4)x－eq \f(1,20)nx＝eq \f(1,4)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,5)))， 当n＝5时, y1＝y2； 当n＞5时,y1＜y2； 当n＜5时，y1＞y2. ∴ 当单位去的人数为5人时,两车队收费相同; 多于5人时,选甲车队更优惠； 少于5人时，选乙车队更优惠． 例3已知－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2)，求eq \f(α＋β,2)，eq \f(α－β,2)的取值范围． 解: ∵已知－eq \f(π,2)≤α＜β≤eq \f(π,2),∴－eq \f(π,4)≤eq \f(α,2)＜eq \f(π,4),－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4), 两式相加,得－eq \f(π,2)＜eq \f(α＋β,2)＜eq \f(π,2). ∵－eq \f(π,4)＜eq \f(β,2)≤eq \f(π,4). ∴－eq \f(π,4)≤－eq \f(β,2)＜eq \f(π,4). ∴－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜eq \f(π,2)， 又知α＜β，∴eq \f(α－β,2)＜0. 故－eq \f(π,2)≤eq \f(α－β,2)＜0. 练习: 甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案.甲旅行社提出: 如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出: 家庭旅游算集体票,按七五折优惠.如果这两家旅行社的原价相同, 那么哪家旅行社价格更优惠？ 解: 设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社 收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则 y甲＝a＋0.55ax， y乙＝0.75(x＋1)a. y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a＝0.2a(1.25－x), 当x＞1.25 (x∈N)时, y甲＜y乙; 当x＜1.25,即x＝1时, y甲＞y乙. 因此两口之家, 乙旅行社较优惠; 三口之家或多于三口的家庭, 甲旅行社较优惠. $$