11.1.2三角形的高，中线与角平分线及稳定性-【数学一起课件】初中数学八年级上册同步PPT课件（人教版）

三角形的高、中线 与角平分线及稳定性 八年级上 数学 人教版 第 11 章 授课人：xxx 学习目标 结合生活实例，理解三角形的稳定性 02 熟悉三角形的三条重要线段，并学习运用三条线段的定义，解决三角形相关的周长或面积等问题； 01 知识回顾 问题一：我们已经学习了三角形的边和角，那么与三角形有关的线段还有哪些呢？你能说一说吗？ 与三角形有关的线段 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 新知探究 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高 问题二：你能画出上图三角形中，另两边的高吗？ 新知探究 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 归纳总结 锐角三角形的三条高的交点在三角形内； 直角三角形的三条高的交点在三角形直角顶点； 钝角三角形的三条高所在事项的交点在三角形外部. 三角形的高 新知探究 问题三：你能画出另两条边上的中线吗？ 三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 归纳总结 定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点线段叫做三角形的中线 三角形中线 新知探究 问题四：三角形的中线除了平分对边，还有其他的性质吗？ 如图所示，是边上的中线，是边上的高. ∵是边上的中线， ∴=, ∴ ∴=. 归纳总结 结论：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 推论：三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六个部分. 新课导入 三角形的角平分线 定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 发现：三角形的三条角平分线交于同一点. 问题五：你能画出另两个角的角平分线吗？观察三条角平分线，你有什么发现吗？ 新课导入 问题六：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架（图1），其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条（图2）.为什么要这样做呢？ 结论：三角形具有稳定性. （1） （2） 新知探究 问题七：如图（1），将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 三角形木架的形状不会改变 （1） 新知探究 问题八：如图（2），将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 四边形木架的形状会改变 （2） 新课导入 问题九：如图（3），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ 斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形 （3） 新知探究 问题十：下列图片中存在三角形的稳定性吗？四边形具有稳定性吗？ 三角形具有稳定性，如自行车；而四边形不具有稳定性，但是我们也能利用四边形的稳定性给生活提供便利，在生活中也很常见，如活动挂架、伸缩门等 例题精讲 1、如图，中边上的高是（ ） A.B.C. D. B 例题精讲 2、三角形中能将三角形的面积分成相等两部分的线段是（ ） A.中线 B.角平分线 C. 高 D.两边中点的连线 A 例题精讲 3、下列说法中错误的是（ ） A. 三角形三条高至少有一条在三角形的内部 B. 三角形三条中线都在三角形的内部 C. 三角形三条角平分线都在三角形的内部 D. 三角形三条高都在三角形的内部 【解析】A. 三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故此说法正确； B. 三角形三条中线都在三角形的内部，故此说法正确； C. 三角形三条角平分线都在三角形的内部，故此说法正确； D. 直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形的两条高在外部，故此说法错误 D 例题精讲 4、如图，在△中，=5,=3,为边上的中线，则和的周长之差为 （ ） A. 2 B.3 C. 4 D.5 A 例题精讲 5、如图，中，∠=90°，∠=40°，是∠的平分线，则∠的度数是（ ） A. 25° B. 50° C.65° D.70° C 【解析】 ∵∠=90°，∠=40° ∴∠=90°-40°=50° ∵是∠的平分线 ∴∠=∠=25° ∴∠=180°-∠-∠=180°-25°-40°=115° ∴∠=180°-∠=65°. 例题精讲 6、如图，在△中，∠=63°，∠=51°，是边上的高，是∠的平分线，求∠的度数. 解：∵在△中，∠=63°，∠=51° ∴∠=180°-∠-∠=180°-63°-51°=66° ∵AE是∠的平分线， ∴∠=∠=33°， 在Rt△中，∠=90°-∠=90°-51°=39° ∴∠=39°-33°=6°. 例题精讲 7、如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且平分∠，求∠的度数. 解：在△中， ∵∠=65°，∠=72° ∴∠=43° ∵∠=30° ∴∠=13° ∵平分∠ ∴∠=36° ∵∠是的外角， ∴∠=∠+∠=49° 例题精讲 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是 （ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 A 例题精讲 要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少再钉上 ____根木条. 1 例题精讲 1、如图，（1）（2）和（3）中的三个∠B有什么不同？这三条的边上的高在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ （2） （3） （1） 跟踪训练 1、如图，是的中线，的面积为4cm²，则的面积为（ ） A. 8cm² B.4cm² C.2cm² D. 以上答案都不对 C 【解析】 ∵是的中线， ∴ 的面积是18cm²， ∴的面积=×4=2cm². 跟踪训练 2、填空： （1）如图（1），，，是的三条中线，则=2_____，=_____，= (2)如图（2），，，是的三条角平分线，则∠1=_____，∠=，∠=2______. CD ∠ 2 ∠ ∠ 4 跟踪训练 3、下列图形中哪些具有稳定性？ 具有稳定性的是：（1）（4）（6） 跟踪训练 如图，是的中线，是的中线，𝑆∆=3cm²，则𝑆∆= _____ 12cm² 【解析】 ∵是△的中线 ∴𝑆∆𝐴𝐶𝐷=2𝑆∆𝐴𝐶𝐸=6cm² ∵AD是△的中线 ∴𝑆∆𝐴𝐵𝐶=2𝑆∆𝐴𝐶𝐷=12cm² 课堂小结 与三角形有关的线段 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的稳定性 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点线段 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段 三角形的一条中线可将三角形分成面积相等的两部分 随堂练习 三角形的高是（ ） A. 射线 B. 线段 C.直线 D.射线或直线 B 随堂练习 如图，是的中线，若：=3:4， 则S△：S△= _____ 1:1 随堂练习 如图，在△ABC中，BC、AC边上的高分别是AD、BE，已知BC=5cm，AD=6cm，AC=7cm，求BE的长度. 解：∵、分别是的高 ∴==， ∴， ∵， ∴ 随堂练习 如图，在△中，∠B=∠C，D,E分别是BC,AC上的点，连接DE，∠1=∠2，∠=40°，求∠的度数. 解： 设∠=°，∠=∠=y° =° ° ∴∠ ∵∠ ∴ 解得=20 ∴∠的度数是20° 随堂练习 如图，在中，为的角平分线，为的高，∠=70°，∠=48°，则∠3的度数为（ ） A. 59° B. 60° C. 56° D.22° A 【解析】 ∵为△的高， ∴∠=90° ∵∠=70°，∠=48° ∴∠=62° ∵是角平分线 ∴∠1=∠=31° 在△中，∠=180°-31°-90°=59° ∴∠3=∠=59°. 随堂练习 1、如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是（ ） A. 对顶角相等 B. 两点之间，线段最短 C.三角形具有稳定性 D. 垂线段最短 C 随堂练习 如图一个五边形木架，要保证它不变形，至少要再钉上几根木条（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 C $$八 年 级 上 人 教 版 第 章 授课人：xxx 学习目标 结合生活实例，理解三角形的稳定性02 熟悉三角形的三条重要线段，并学习运用三条线段的定 义，解决三角形相关的周长或面积等问题； 01 知识回顾 问题一：我们已经学习了三角形的边和角，那么与三角形有关的线段 还有哪些呢？你能说一说吗？ 与三角形有关的线段 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 新知探究 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶 点和垂足间的线段叫做三角形的高 问题二：你能画出上图三角形中，另两边的高吗？ 新知探究 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 归纳总结 • 锐角三角形的三条高的交点在三角形内； • 直角三角形的三条高的交点在三角形直角顶点； • 钝角三角形的三条高所在事项的交点在三角形外部. 三角形的高 新知探究 问题三：你能画出另两条边上的中线吗？ 三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫 做三角形的重心. 归纳总结 定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点线段叫做 三角形的中线 三角形中线 新知探究 问题四：三角形的中线除了平分对边，还有其他的性质吗？ 如图所示，𝑨𝑫是𝑩𝑪边上的中线，𝑨𝑬是𝑩𝑪边上的高. ∵𝑨𝑫是𝑩𝑪边上的中线， ∴𝑩𝑫=𝑪𝑫, ∴ 𝟏 𝟐 𝑨𝑫 ∙ 𝑨𝑬 = 𝟏 𝟐 𝑪𝑫 ∙ 𝑨𝑬， ∴𝑺△𝑨𝑩𝑫=𝑺△𝑨𝑪𝑫. 归纳总结 结论：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 推论：三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六个部分. 新课导入 三角形的角平分线 定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个 角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 发现：三角形的三条角平分线交于同一点. 问题五：你能画出另两个角的角平分线吗？ 观察三条角平分线，你有什么发现吗？ 新课导入 问题六：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架（图1）， 其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常 先在窗框上斜钉一根木条（图2）.为什么要这样做呢？ 结论：三角形具有稳定性. （1） （2） 新知探究 问题七：如图（1），将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭 动它，它的形状会改变吗？ 三角形木架的形状不会改变 （1） 新知探究 问题八：如图（2），将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭 动它，它的形状会改变吗？ 四边形木架的形状会改变 （2） 新课导入 问题九：如图（3），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相 邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为 什么？ 斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变，因为斜钉一根木条后， 四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在 未安装好之前也不会变形 （3） 新知探究 问题十：下列图片中存在三角形的稳定性吗？四边形具有稳定性吗？ 三角形具有稳定性，如自行车；而四边形不具有稳定性，但是我们也 能利用四边形的稳定性给生活提供便利，在生活中也很常见，如活动挂架、 伸缩门等 例题精讲 1、如图，𝜟𝑨𝑩𝑪中𝑩𝑪边上的高是（ ） A.𝐵𝐷 B.𝐴𝐸 C. 𝐵𝐸 D.𝐶𝐹 B 例题精讲 2、三角形中能将三角形的面积分成相等两部分的线段是（ ） A.中线 B.角平分线 C. 高 D.两边中点的连线 A 例题精讲 3、下列说法中错误的是（ ） A. 三角形三条高至少有一条在三角形的内部 B. 三角形三条中线都在三角形的内部 C. 三角形三条角平分线都在三角形的内部 D. 三角形三条高都在三角形的内部 【解析】A. 三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故此说法正确； B. 三角形三条中线都在三角形的内部，故此说法正确； C. 三角形三条角平分线都在三角形的内部，故此说法正确； D. 直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形的两条高在外 部，故此说法错误 D 例题精讲 4、如图，在△𝑨𝑩𝑪中，𝑨𝑩=5,𝑨𝑪=3,𝑨𝑫为𝑩𝑪边上的中线，则△ 𝑨𝑩𝑫 和△ 𝑨𝑪𝑫的周长之差为 （ ） A. 2 B.3 C. 4 D.5 A 例题精讲 5、如图，Δ𝑨𝑩𝑪中，∠𝑪=90°，∠𝑩=40°，𝑨𝑫是∠𝑩𝑨𝑪的平分线，则 ∠𝑨𝑫𝑪的度数是（ ） A. 25° B. 50° C.65° D.70° C 【解析】 ∵∠𝑪=90°，∠𝑩=40° ∴∠𝑪𝑨𝑩=90°-40°=50° ∵𝑨𝑫是∠𝑩𝑨𝑪的平分线 ∴∠𝑩𝑨𝑫= 𝟏 𝟐 ∠𝑪𝑨𝑩=25° ∴∠𝑨𝑫𝑩=180°-∠𝑫𝑨𝑩-∠𝑫𝑩𝑨=180°-25°-40°=115° ∴∠𝑨𝑫𝑪=180°-∠𝑨𝑫𝑩=65°. 例题精讲 6、如图，在△𝑨𝑩𝑪中，∠𝑩=63°，∠𝑪=51°，𝑨𝑫是𝑩𝑪边上的高，𝑨𝑬 是∠𝑩𝑨𝑪的平分线，求∠𝑫𝑨𝑬的度数. 解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=63°，∠𝐶=51° ∴∠𝐵𝐴𝐶=180°-∠𝐵-∠𝐶=180°-63°-51°=66° ∵AE是∠𝐵𝐴𝐶的平分线， ∴∠𝐸𝐴𝐶= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶=33°， 在Rt△𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷𝐴𝐶=90°-∠𝐶=90°-51°=39° ∴∠𝐷𝐴𝐸 = ∠𝐷𝐴𝐶 − ∠𝐸𝐴𝐶=39°-33°=6°. 例题精讲 7、如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且𝐶𝐸 平分∠𝐴𝐶𝐵，求 ∠𝑫𝑬𝑪的度数. 解：在△𝑨𝑩𝑪中， ∵∠𝑨=65°，∠𝑨𝑪𝑩=72° ∴∠𝑨𝑩𝑪=43° ∵∠𝑨𝑩𝑫=30° ∴∠𝑪𝑩𝑫 = ∠𝑨𝑩𝑪 − ∠𝑨𝑩𝑫=13° ∵𝑪𝑬平分∠𝑨𝑪𝑩 ∴∠𝑩𝑪𝑬 = 𝟏 𝟐 ∠𝑨𝑪𝑩=36° ∵∠𝑫𝑬𝑪是Δ𝑩𝑬𝑪的外角， ∴∠𝑫𝑬𝑪=∠𝑪𝑩𝑫+∠𝑩𝑪𝑬=49° 例题精讲 如图，一扇窗户打开后，用窗钩𝑨𝑩可将其固定，这里所运用的几何原理 是 （ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 A 例题精讲 要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少 再钉上 ____根木条.1 例题精讲 1、如图，（1）（2）和（3）中的三个∠B有什么不同？这三条Δ𝑨𝑩𝑪的 边𝐵𝐶上的高𝐴𝐷在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ （2） （3）（1） 跟踪训练 1、如图，𝐀𝐌是𝚫𝐀𝐁𝐂的中线，𝚫𝐀𝐁𝐂的面积为4cm²，则𝚫𝐀𝐁𝐌的面积 为（ ） A. 8cm² B.4cm² C.2cm² D. 以上答案都不对 C 【解析】 ∵𝑨𝑴是Δ𝑨𝑩𝑪的中线， ∴ Δ𝑨𝑩𝑪的面积是18cm²， ∴ Δ𝑨𝑩𝑴的面积= 𝟏 𝟐 ×4=2cm². 跟踪训练 2、填空： （1）如图（1），𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹是Δ𝐴𝐵𝐶的三条中线，则𝐴𝐵=2_____， 𝐵𝐷=_____，𝐴𝐸= 1 2 _____ (2)如图（2），𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹是Δ𝐴𝐵𝐶的三条角平分线，则∠1=_____， ∠3= 1 2 _________，∠𝐴𝐶𝐵=2______. 𝑨𝑭 CD 𝑨𝑪 ∠ 2 ∠ 𝑨𝑩𝑪 ∠ 4 跟踪训练 3、下列图形中哪些具有稳定性？ 具有稳定性的是：（1）（4）（6） 跟踪训练 如 图 ， 𝐀𝐃 是 𝚫𝐀𝐁𝐂 的中 线 ， 𝐂𝐄 是 𝚫𝐀𝐂𝐃 的 中 线 ，𝑆∆ 𝑨𝑪𝑬 =3cm² ， 则 𝑆∆𝑨𝑩𝑪= _____12cm² 【解析】 ∵𝑪𝑬是△𝑨𝑪𝑫的中线 ∴𝑆∆𝐴𝐶𝐷=2𝑆∆𝐴𝐶𝐸=6cm² ∵AD是△𝑨𝑩𝑪的中线 ∴𝑆∆𝐴𝐵𝐶=2𝑆∆𝐴𝐶𝐷=12cm² 课堂小结 与三角形有关 的线段 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 三角形的稳定性 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂 线，顶点和垂足间的线段 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中 点线段 三角形的一个内角的平分线与这个角的对 边相交，这个角的顶点和交点之间的线段 三角形的一条中线可将三角形分成面积相 等的两部分 随堂练习 三角形的高是（ ） A. 射线 B. 线段 C.直线 D.射线或直线 B 随堂练习 如图，𝑨𝑫是Δ𝑨𝑩𝑪的中线，若𝑨𝑩：𝑨𝑪=3:4， 则S△𝐴𝐵𝐷：S△𝐴𝐶𝐷= _____1:1