11.1.1三角形的边-【数学一起课件】初中数学八年级上册同步PPT课件（人教版）

三角形 的边 八年级上 数学 人教版 第 11 章 授课人：一起课件 学习目标 掌握三边之间的关系并会计算相关题 02 理解三角形的定义与分类 01 新课导入 问题一：观察下列图形，你能找出图中的三角形吗？ 三角形的定义 新知探究 问题二：什么是三角形呢？构成一个三角形需要哪些条件呢？ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形. 重点条件 ①同一平面内；②不在同一条直线上的三条线段；③首尾顺次相接 ①三角形的三条边 新知探究 ②三角形的三个顶点 ③三角形的三个内角 问题三：三角形的边和角应该如何表示呢？ 线段 点 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角 新知探究 问题三：三角形的边和角应该如何表示呢？ ④顶点是的三角形，记作，读作“三角形” ⑤顶点与边的关系：的三边，有时也用a,b,c来表示.如图，顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示 ① ② ③ ④ 新课导入 问题四：下图的几个三角形，分别是什么三角形？你可以将他们分类吗？ 等腰三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等边三角形 新课导入 问题四：下图的几个三角形，分别是什么三角形？你可以将他们分类吗？ ① ② ③ ④ 按边分 等腰三角形：①与④ 不等边三角形：②与③ 00 新课导入 问题四：下图的几个三角形，分别是什么三角形？你可以将他们分类吗？ ① ② ③ ④ 按角分 锐角三角形：①与④ 直角三角形：② 钝角三角形：③ 不等边三角形 不等边三角形：三边都不相等的三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形：三边相等的三角形 新知探究 等腰三角形 三角形 按边分类 三角形 按角分类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三个角都是锐角的三角形 有一个角是直角的三角形 有一个角是钝角的三角形 三角形的分类 新课导入 问题五：下图中在A点的小狗，为了吃B点的骨头，走哪条路最近？ 由两点之间线段最短可以得到，路线②最短 新知探究 问题六：任意画一个，从点出发，沿三角形的边到点，有几条路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？ 第二条线路的长大于第一条线路 因为两点之间线段最短， 所以第一条路线比第二条路线短 解：有两条路可以选择. 第一条：； 第二条：. 新知探究 三角形的三边关系 1、三角形两边的和大于第三边 移项 移项 移项 2、三角形两边的差小于第三边 总结：两边之差 < 第三边 < 两边之和，即 例题精讲 例1.三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（ ） C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【解析】等边三角形是特殊的等腰三角形。 A.直角三角形 B.锐角三角形 D 例题精讲 例2.如图中三角形的个数是（ ） C. 8 D. 9 【解析】图中三角形有：一共有八个 A. 6 B. 7 C 例题精讲 例3.若一个等腰三角形的两边长分别为2,4，则第三边的长为（ ） C. 4 D. 2或4 【解析】因为三角形是等腰三角形，两边长分别为2或4， 所以第三边可能为2或者4，需要分类情况讨论. 当第三边为2时，2+2=4，两边之和等于第三边，不能构成三角形. 当第三边为4时，4-2<4<4+2,两边之差小于第三边，两边之和大 于第三边，可以构成三角形. A. 2 B. 3 C 例题精讲 例4.有四条线段，它们的长分别为3,5,7,9，如果用这些线段组成三角形，可以组成 个三角形. 3 【解析】 其中的任意三条组合有3、5、7；3、5、9；3、7、9；5、7、9四种情况. 根据三角形的三边关系，则其中的3+5<9，不能组成三角形，应舍去. 所以可以组成3个三角形 解: （1）设底边长为cm，则腰长为2cm. ，解得 所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm 例题精讲 例5. 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：（2）因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. 如果4cm长的边为底边，设腰长为cm，则4+2=18，解得=7. 如果4cm长的边为腰，设底边长为cm，则2×4+=18，解得=10. 因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形 有以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形. 例题精讲 例5. 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 例题精讲 例6.已知的三边长分别为 （1）若满足，试判断的形状； （2）若且为整数，求的周长. 解：（1） ∴ ∴ ∴是等边三角形. （2）∵且为整数， ∴即 ∴ ∴ 跟踪练习 1 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形. 解：有五个三角形，分别是 2 （口答）下列长度的三条线段 能否组成三角形？为什么？ 跟踪练习 （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10. 解：（1）不能组成三角形，因为3+4<8,两边之和小于第三边，所以不能组成三角形。 （2）不能组成三角形，因为5+6=11,两边之和等于第三边，所以不能组成三角形。 （3）能组成三角形，因为6-5<10<5+6，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，所以能组成三角形。 跟踪练习 3 解：设第3根木棒的长度为cm. 根据三角形的三边关系，得7-5<<7+5, 解得2<<12. 因为第3根木棒的长取偶数， 所以第3根木棒的长可能是4,6,8,10， 所以有四种情况可以取. 要将三根木棒首尾顺次连接围成一个三角形，其中两根木棒长分别为5cm和7cm，要选择第3根木棒，且第3根木棒的长取偶数时，则有多少种情况可以取？ 课堂小结 三角形的边 三角形的定义 三角形的分类 三角形三边关系 按边分：等腰三角形和不等边三角形 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 两边之差<第三边<两边之和 【解析】图中有8个三角形，分别为；其中以为边的三角形有含的三角形有在中，的对角是的对边是. 随堂练习 1、如图所示，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ;含的三角形有;在中，的对角，的对边是 . 8 随堂练习 1、下列长度的各组线段，能组成三角形的有（ ） A. 4cm，5cm，9cm B. 4cm，5cm，10cm C. 3cm，8cm，5cm D.15cm，10cm，7cm 【解析】 A、4+5=9，两边之和等于第三边，不能组成三角形，不符合题意； B、4+5<10，两边之和小于第三边，不能组成三角形，不符合题意； C、3+5=8，两边之和等于第三边，不能组成三角形，不符合题意； D、10+7>15，两边之和大于第三边，能组成三角形，符合题意。 D 随堂练习 1、线段a，b，c的长度比分别满足下列哪个条件，一定能组成一个三角形（ ） A. 1:2:3 B. 1:5:10 C. 3:4:5 D. 4:5:10 【解析】 A、设最小的变成为，则三边长分别为，2，3，而+2=3𝑥，所以不能组成三角形； B、设最小边长为，则三边长分别为，5，10，而+5<10，所以不能组成三角形； C、设设最小边长为3，则三边长分别为3，4，5，而4-3<5<4+3，所以能组 成三角形； D、设最小边长为4，则三边长分别为4，5，10，而4+5<10，所以不能组成三角形； C 随堂练习 1.三角形的三边长分别是4，7，2+1，则x的取值范围是 【解析】根据三角形的三边关系得：7-4<2𝑥+1<7+4，解得1<𝑥<5. 随堂练习 1、已知三角形两边长是3cm，5cm，第三边长是正整数，这样的三角形个数为（ ） A. 2 B.3 C.4 D.5 D 【解析】设第三边长为. 由题意可得5-3< <5+3, 解得2< <8. 因为x是正整数， 所以x可取3,4,5,6,7， 所以这样的三角形个数为5 随堂练习 1、等腰三角形的两边长分别是6cm、10cm，它的周长为 或 . 22cm 26cm 【解析】根据题意，需要分两种情况讨论： ①当腰长为6cm时，6+6>10,符合三角形三边关系，周长=6+6+10=22（cm） ②当腰长为10cm时，6+10>10,符合三角形三边关系，周长=10+10+6=26（cm） 综上所述，它的周长为22cm或26cm. 随堂练习 1、用一条长为30cm的细绳围成一个等腰三角形，如果底边长是腰长的一半，求各边的长. 解：设底边长为cm，则腰长为2. 由题意得， +2+2=30， 解得=6. 所以2=12. 答：各边长为6cm，12cm，12cm. 随堂练习 8、（1）等腰三角形的周长是28cm，一条边长为8cm，另两条边的长分别为多少？ （2）等腰三角形的周长是28cm，一条边长为6cm，另两条边长分别为多少？ 解：（1）根据题意，分两种情况讨论： ①底边长为8cm，则腰长为（28-8）÷2=10，所以令两边的长为10cm，10cm，能构成三角形； ②腰长为8cm，则底边长为28-8×2=12，底边长为12cm，另一个腰长为8cm，能构成三角形. 综上所述，另两条边的长分别为10cm、10cm或12cm、8cm. 随堂练习 8、（1）等腰三角形的周长是28cm，一条边长为8cm，另两条边的长分别为多少？ （2）等腰三角形的周长是28cm，一条边长为6cm，另两条边长分别为多少？ 解：（2）根据题意，分两种情况讨论： ①底边长为6cm，则腰长为：（28-6）÷2=11；所以另两边的长为11cm，11cm，能构成三角形； ②腰长为6cm，则底边长为28-6×2=16. ∵6+6<16，∴不能构成三角形 综上所述，另两边的长为11cm，11cm. $$八 年 级 上 人 教 版 第 章 学习目标 掌握三边之间的关系 并会计算相关题 02 理解三角形的定义与 分类 01 新课导入 问题一：观察下列图形，你能找出图中的三角形吗？ 三角形的定义 新知探究 问题二：什么是三角形呢？构成一个三角形需要哪些条件呢？ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成 的图形. 重点条件 ①同一平面内；②不在同一条直线上的三条线段； ③首尾顺次相接 ①三角形的三条边 新知探究 ②三角形的三个顶点 ③三角形的三个内角 问题三：三角形的边和角应该如何表示呢？ 线段𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴； 点𝐴，𝐵，𝐶； ∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶是相邻两边组成的角，叫做三角形 的内角，简称三角形的角 新知探究 问题三：三角形的边和角应该如何表示呢？ ④顶点是𝐴，𝐵，𝐶的三角形，记作△ 𝐴𝐵𝐶，读作 “三角形𝐴𝐵𝐶” ⑤顶点与边的关系：△𝐴𝐵𝐶的三边，有时也用 a,b,c来表示.如图，顶点𝐴所对的边用𝑎表示，顶 点𝐵所对的边𝐴𝐶用𝑏表示，顶点𝐶所对的边𝐴𝐵用𝑐 表示 ① ② ③ ④ 新课导入 问题四：下图的几个三角形，分别是什么三角形？你可以将 他们分类吗？ 等腰三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等边三角形 新课导入 问题四：下图的几个三角形，分别是什么三角形？你可以将 他们分类吗？ ① ② ③ ④ 按边分 等腰三角形：①与④ 不等边三角形：②与③ 00 新课导入 问题四：下图的几个三角形，分别是什么三角形？你可以将 他们分类吗？ ① ② ③ ④ 按角分 锐角三角形：①与④ 直角三角形：② 钝角三角形：③ 不等边三角形 不等边三角形：三边都不相等的三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形：三边相等的三角形 新知探究 等腰三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三个角都是锐角的三角形 有一个角是直角的三角形 有一个角是钝角的三角形 三角形的分类 新课导入 问题五：下图中在A点的小狗，为了吃B点的骨头，走哪条路 最近？ 由两点之间线段最短可以得到，路线②最短 新知探究 问题六：任意画一个△𝐴𝐵𝐶，从点𝐵出发，沿三角形的边到点𝐶， 有几条路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？ 第二条线路的长大于第一条线路 因为两点之间线段最短， 所以第一条路线比第二条路线短 解：有两条路可以选择. 第一条：𝐶—𝐵； 第二条：𝐶—𝐴—𝐵. 新知探究 1、三角形两边的和大于第三边 𝑎 + 𝑏 > 𝑐 𝑏 > 𝑐 − 𝑎 𝑎 > 𝑐 − 𝑏 移项 𝑏 + 𝑐 > 𝑎 𝑏 > 𝑎 − 𝑐 𝑐 > 𝑎 − 𝑏 移项 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 𝑐 > 𝑏 − 𝑎 𝑎 > 𝑏 − 𝑐 移项 2、三角形两边的差小于第三边 总结：两边之差 < 第三边 < 两边之和，即|𝑎 − 𝑏| < 𝑐 < 𝑎 + 𝑏. 例题精讲 例1.三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表 示（ ） C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【解析】等边三角形是特殊的等腰三角形。 A.直角三角形 B.锐角三角形 D 例题精讲 例2.如图中三角形的个数是（ ） C. 8 D. 9 【解析】图中三角形有：△ 𝐸𝐴𝐶， △ 𝐸𝐵𝐷， △ 𝐸𝐴𝐷， △ 𝐵𝐴𝐹， △𝐵𝐴𝐷， △ 𝐶𝐹𝐷， △ 𝐶𝐴𝐷， △ 𝐹𝐴𝐷，一共有八个 A. 6 B. 7 C 例题精讲 例3.若一个等腰三角形的两边长分别 为2,4，则第三边的长为（ ） C. 4 D. 2或4 【解析】因为三角形是等腰三角形，两边长分别为2或4， 所以第三边可能为2或者4，需要分类情况讨论. 当第三边为2时，2+2=4，两边之和等于第三边，不能构成三角形. 当第三边为4时，4-2<4<4+2,两边之差小于第三边，两边之和大 于第三边，可以构成三角形. A. 2 B. 3 C 例题精讲 例4.有四条线段，它们的长分别为3,5,7,9，如果用这些线段组成三角形，可 以组成 个三角形.3 【解析】 其中的任意三条组合有3、5、7；3、5、9；3、7、9；5、7、9四种情况. 根据三角形的三边关系，则其中的3+5<9，不能组成三角形，应舍去. 所以可以组成3个三角形 解: （1）设底边长为𝑥cm，则腰长为2𝑥cm. 𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 = 18，解得𝑥 = 3.6 所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm 例题精讲 例5. 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：（2）因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. 如果4cm长的边为底边，设腰长为𝑥cm，则4+2𝑥=18，解得𝑥=7. 如果4cm长的边为腰，设底边长为𝑥cm，则2×4+𝑥=18，解得𝑥=10. 因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长为4cm的 等腰三角形 有以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形. 例题精讲 例5. 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 例题精讲 例6.已知△ 𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐. （1）若𝑎，𝑏，𝑐满足(𝑎 − 𝑏)² + (𝑏 − 𝑐)² = 0，试判断𝐴𝐵𝐶的形状； （2）若𝑎 = 5，𝑏 = 2.且𝑐为整数，求△ 𝐴𝐵𝐶的周长. 解：（1）∵ (𝑎 − 𝑏)² + (𝑏 − 𝑐)² = 0， ∴𝑎 − 𝑏 = 0，𝑏 − 𝑐 = 0， ∴𝑎 = 𝑏 = 𝑐， ∴△ 𝐴𝐵𝐶是等边三角形. （2）∵𝑎 = 5，𝑏 = 2，且𝑐为整数， ∴5 − 2 < 𝑐 < 5 + 2，即3 < 𝑐 < 7， ∴𝑐 = 4，5，6， ∴△ 𝐴𝐵𝐶周长为11或12或13. 跟踪练习 1 图中有几个三角形？用符号表 示这些三角形. 解：有五个三角形，分别是 △ 𝐴𝐵𝐸、 △ 𝐴𝐵𝐶、 △ 𝐶𝐷𝐸、 △ 𝐶𝐷𝐵、 △ 𝐵𝐶𝐸 2 （口答）下列长度的三条线段 能否组成三角形？为什么？ 跟踪练习 （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10. 解：（1）不能组成三角形，因为 3+4<8,两边之和小于第三边，所 以不能组成三角形。 （ 2 ） 不 能 组 成 三 角 形 ， 因 为 5+6=11,两边之和等于第三边，所 以不能组成三角形。 （ 3 ） 能 组 成 三 角 形 ， 因 为 6- 5<10<5+6，两边之差小于第三边， 两边之和大于第三边，所以能组成 三角形。 跟踪练习 3 解：设第3根木棒的长度为𝑥cm. 根 据 三 角 形 的 三 边 关 系 ， 得 7- 5<𝑥<7+5, 解得2<𝑥<12. 因为第3根木棒的长取偶数， 所以第3根木棒的长可能是4,6,8,10， 所以有四种情况可以取. 要将三根木棒首尾顺次连接围 成一个三角形，其中两根木棒 长分别为5cm和7cm，要选择 第3根木棒，且第3根木棒的长 取偶数时，则有多少种情况可 以取？ 课堂小结 三角形的定义 三角形的分类 三角形三边关系 按边分：等腰三角形和不等边三角形 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角 三角形 两边之差<第三边<两边之和 【解析】图中有8个三角形，分别为△ 𝐴𝐵𝐶， △ 𝐴𝐵𝐷， △ 𝐴𝐵𝑂， △𝐵𝑂𝐶， △𝐵𝐷𝐶， △ 𝐴𝑂𝐷， △ 𝐴𝐶𝐷， △ 𝑂𝐶𝐷；其 中 以𝐴𝐵为 边 的 三 角 形 有△ 𝐴𝐵𝐶， △ 𝐴𝐵𝐷， △ 𝐴𝐵𝑂； 含 ∠𝐴𝐶𝐵的三角形有△ 𝐵𝑂𝐶， △ 𝐴𝐵𝐶；在△𝐵𝑂𝐶中，𝑂𝐶的对 角是∠𝑂𝐵𝐶; ∠𝑂𝐶𝐵的对边是𝑂𝐵. 随堂练习 1、如图所示，图中有 个三角形；其中以𝐴𝐵为边的三角形有 、 ;含∠𝐴𝐶𝐵的三角形有 、 ;在△𝐵𝑂𝐶中，𝑂𝐶 的对角是 ，∠𝑂𝐶𝐵的对边是 . 8 △𝑨𝑩𝑶 △𝑨𝑩𝑪 △ 𝑨𝑩𝑫 △𝑩𝑶𝑪 △ 𝑨𝑩𝑪 ∠𝑶𝑩𝑪 𝑩𝑪 随堂练习 1、下列长度的各组线段，能组成三角形的有（ ） A. 4cm，5cm，9cm B. 4cm，5cm，10cm C. 3cm，8cm，5cm D.15cm，10cm，7cm 【解析】 A、4+5=9，两边之和等于第三边，不能组成三角形，不符合题意； B、4+5<10，两边之和小于第三边，不能组成三角形，不符合题意； C、3+5=8，两边之和等于第三边，不能组成三角形，不符合题意； D、10+7>15，两边之和大于第三边，能组成三角形，符合题意。 D 随堂练习 1、线段a，b，c的长度比分别满足下列哪个条件，一定能组成一个三角 形（ ） A. 1:2:3 B. 1:5:10 C. 3:4:5 D. 4:5:10 【解析】 A、设最小的变成为𝑥，则三边长分别为𝑥，2𝑥，3𝑥，而𝑥+2𝑥 =3𝑥，所以不能组成三角形； B、设最小边长为𝑥，则三边长分别为𝑥，5𝑥 ，10𝑥 ，而𝑥+5𝑥 <10𝑥 ，所以不能组成三角形； C、设设最小边长为3𝑥 ，则三边长分别为3𝑥 ，4𝑥，5𝑥 ，而4𝑥 -3𝑥 <5𝑥<4𝑥 +3𝑥 ，所以能组 成三角形； D、设最小边长为4𝑥 ，则三边长分别为4𝑥 ，5𝑥 ，10𝑥 ，而4𝑥 +5𝑥 <10𝑥 ，所以不能组成三 角形； C 随堂练习 𝟏 < 𝒙 < 𝟓1.三角形的三边长分别是4，7，2𝑥+1，则x的取值范围是 【解析】根据三角形的三边关系得：7-4<2𝑥+1<7+4，解得1<𝑥<5. 随堂练习 1、已知三角形两边长是3cm，5cm，第三边长是正整数，这样的三角形个 数为（ ） A. 2 B.3 C.4 D.5 D 【解析】设第三边长为𝑥. 由题意可得5-3< 𝑥 <5+3, 解得2< 𝑥 <8. 因为x是正整数， 所以x可取3,4,5,6,7， 所以这样的三角形个数为5 随堂练习 1、等腰三角形的两边长分别是6cm、10cm，它的周长为 或 .22cm 26cm 【解析】根据题意，需要分两种情况讨论： ①当腰长为6cm时，6+6>10,符合三角形三边关系，周长=6+6+10=22（cm） ②当腰长为10cm时，6+10>10,符合三角形三边关系，周长=10+10+6=26（cm） 综上所述，它的周长为22cm或26cm.