专题02 三角形有关的角【七大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题02 三角形有关的角 考点类型 知识串讲 （一）三角形内角（和） （1）内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 （2）推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （二）三角形外角 （1）概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 （2）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 （3）三角形的外角与内角的关系： ①三角形的一个外角与它相邻的内角互补； ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 （三）三角形内、外角角平分线模型 如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）； 如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°； 如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O； 如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A． 考点训练 考点1：三角形内角和定理的证明 典例1：在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 【变式1】在解决下面三个问题时，运用转化策略的是（　　） ①计算5÷时，可以这样算：5÷＝5×；②探究圆的面积；③求三角形的内角和． A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③都是 【变式2】如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，∠A=40º，∠BPC= ． 【变式3】如图，，直线分别交于，平分，若，则的度数为 ．    考点2：三角形内角和定理的应用——平行线 典例2：如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【变式2】如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ． 【变式3】如图：，平分．若，于H点，则 度． 考点3：三角形内角和定理的应用——角平分线 典例3：如图，已知分别是和的角平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】阅读下面的数学问题： 如图，在中，于点，于点，，交于点，平分，平分． 甲、乙两人经过研究，分别得到如下结论： 甲：； 乙：． 其中判断正确的是（     ） A．甲、乙两人的结论都正确 B．甲、乙两人的结论都错误 C．甲的结论错误，乙的结论正确 D．甲的结论正确，乙的结论错误 【变式2】如图，在中，是高线，是角平分线，它们相交于点度数为 ． 【变式3】如图，，都是的角平分线，且交于点，，，则的度数为 ． 考点4：三角形内角和定理的应用——折叠问题 典例4：在三角形纸片中，，现将纸片的一角对折，使点落在内，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点D，若，，则的度数为 ． 【变式3】如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的 度． 考点5：三角形内角和定理的综合应用 典例5：如图所示，以下描述错误的是（    ） A．点A位于点B北偏西方向 B．点A位于点C北偏东方向 C．点C位于点B北偏西方向 D． 【变式1】如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬（），某个城市的纬度是北纬（），而冬至正午时，太阳光（太阳光线都是互相平行的）直射南回归线（光线的延长线经过地心），则这个城市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． （1）若，则 °； （2）如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，，与的关系是 ． 【变式3】如图，，平分交于，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②平分；③；④的度数为定值，其中正确的有 （填写序号）． 考点6：直角三角形的两个锐角互余 典例6：如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是（　　） A．的余角只有 B．图中互余的角共有对 C．的补角只有 D．图中与互补的角共有个 【变式1】《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，宣角加它的一半叫做欘…”．即：1宣 矩，1欘 宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】两块三角板（中，，，中，，，）按如图方式放置，将绕点A按逆时针方向，以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，在绕点A旋转的某过程中（），若与的一边平行，则t的值为 ． 【变式3】如图，在中，于点，平分交于点．    （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 考点7：三角形外角的定义与性质 典例7：如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】如图， ，则的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2】某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则 度． 【变式3】如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，保持不变，．为了舒适，需调整的大小，则图中应增加 度． 考点8：三角形内外角角平分线规律 典例8：问题引入： （1）如图1，在中，点O是和平分线的交点，若，则_______；如图2，，，，则_______； 拓展研究： （2）如图3，，，，猜想度数（用α表示），并说明理由； （3）、分别是的外角、的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想_______________（直接写出答案）． 【变式1】已知于点O，直线交于点B，点A在射线上． (1)如图1，若于点B，平分，交于点E，交于点F，求证：； (2)如图2，若平分，平分交于点E，，则的度数为________． (3)如图3，若平分，平分交于点E，平分交反向延长线于点F，在中，如果一个角是另一个角的3倍，请求出的度数． 【变式2】在四边形中，． (1)如图①，若，求出的度数； (2)如图②，若的角平分线交于点E，且，求出的度数； (3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数． 【变式3】如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.    (1)若，    ①求的度数； ②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数. (2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；    (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形有关的角 考点类型 知识串讲 （一）三角形内角（和） （1）内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 （2）推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 （二）三角形外角 （1）概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 （2）性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 （3）三角形的外角与内角的关系： ①三角形的一个外角与它相邻的内角互补； ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 （三）三角形内、外角角平分线模型 如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）； 如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°； 如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O； 如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A． 考点训练 考点1：三角形内角和定理的证明 典例1：在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 【变式1】在解决下面三个问题时，运用转化策略的是（　　） ①计算5÷时，可以这样算：5÷＝5×；②探究圆的面积；③求三角形的内角和． A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③都是 【答案】D 【分析】根据转化策略的概念求解即可． 【详解】解：①根据分数除法的计算法则，甲数除以乙（ 0除外），等于甲数乘乙数的倒数，把除法“转化”为乘法计算； ②把圆的面积转化为长方形面积计算； ③把三角形的内角和转化为平角计算． 综上所述，运用转化策略的有①②③， 故选：D． 【点睛】此题考查了转化策略，解题的关键是熟练掌握转化策略的概念． 【变式2】如图：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平分线，∠A=40º，∠BPC= ． 【答案】110°/110度 【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质可得进而． 可求的度数，再次在中利用三角形内角和即可求解． 【详解】解： 又∵BP平分CP平分 故答案为：110°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解． 【变式3】如图，，直线分别交于，平分，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 考点2：三角形内角和定理的应用——平行线 典例2：如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 标记、交于点，根据“两直线平行，同位角相等”，得出，根据，得出，根据“三角形三个内角的和等于”，得出，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，标记、交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， 延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴整理得，． 故选：D． 【变式2】如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质可得，利用三角形内角和定理得出的度数，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3】如图：，平分．若，于H点，则 度． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 考点3：三角形内角和定理的应用——角平分线 典例3：如图，已知分别是和的角平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，先设，，证明，再代入数据计算即可； 【详解】解：如图， ∵分别是和的角平分线， ∴设，， ∵，， 结合三角形的内角和可得： ，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：B. 【变式1】阅读下面的数学问题： 如图，在中，于点，于点，，交于点，平分，平分． 甲、乙两人经过研究，分别得到如下结论： 甲：； 乙：． 其中判断正确的是（     ） A．甲、乙两人的结论都正确 B．甲、乙两人的结论都错误 C．甲的结论错误，乙的结论正确 D．甲的结论正确，乙的结论错误 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，四边形内角和定理，根据，，得出，根据四边形内角和求出，即可判断甲正确；根据角平分线定义得出，，根据三角形内角和定理得出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故甲正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，故乙正确； 综上分析可知：甲、乙均正确． 故选：A． 【变式2】如图，在中，是高线，是角平分线，它们相交于点度数为 ． 【答案】/5度 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，理解三角形内角和定理、三角形高和角平分线的定义，准确推理计算是解题的关键． 根据三角形高和角平分线的定义、三角形内角和定理，先求出、的度数，再计算即可． 【详解】解：∵在中，是高，是角平分线，，， ∴，， ∴． 故答案为： 【变式3】如图，，都是的角平分线，且交于点，，，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出的度数是解题的关键．根据角平分线的定义可得出、，结合三角形内角和可得出，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出平分，进而可得出的度数，此题得解． 【详解】解：平分，平分，，， ，， ． 的三条角平分线交于一点， 平分， ． 故答案为：． 考点4：三角形内角和定理的应用——折叠问题 典例4：在三角形纸片中，，现将纸片的一角对折，使点落在内，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要是考查了三角形、四边形内角和的运用．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件．首先根据已知求得：，则可求得的度数，在中利用内角和定理，即可求得与的和，又由四边形的内角和为，求得的度数． 【详解】解：如图，，， 三角形内角和定理， 在中，则， ，， ， 在四边形中，， 即， ， 故． 故选B． 【变式1】如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于边时，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，折叠的性质计算求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ， ， 由折叠的性质可得，； ， 故选：D． 【变式2】如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点D，若，，则的度数为 ． 【答案】130°/130度 【分析】本题考查三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的性质等，利用轴对称的性质得出，是解题的关键． 【详解】解：∵沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形的 度． 【答案】78 【分析】此题主要考查的是图形的折叠变换，三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现和的倍数关系是解答此题的关键． 在图①的中，根据三角形内角和定理，可求得；结合折叠的性质和图②③可知：，即可在中，得到另一个关于、度数的等量关系式，联立两式即可求得的度数． 【详解】解：在中，， ∴①； 根据折叠的性质知：，； ∴， 在中，， ∴， ∴②； ①②，得：， 解得． 故答案为：78． 考点5：三角形内角和定理的综合应用 典例5：如图所示，以下描述错误的是（    ） A．点A位于点B北偏西方向 B．点A位于点C北偏东方向 C．点C位于点B北偏西方向 D． 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，三角形的内角和定理等知识，根据方位角的定义可得出点A位于点B北偏西方向， 点C位于点A南偏西方向，利用三角形内角和定理可求出，然后根据方位角的定义逐项判定即可． 【详解】解∶由图知∶ 点A位于点B北偏西方向， 点C位于点A南偏西方向， ∴点A位于点C北偏东方向，， ∴， ∴点C位于点B北偏西方向， 故选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 【变式1】如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬（），某个城市的纬度是北纬（），而冬至正午时，太阳光（太阳光线都是互相平行的）直射南回归线（光线的延长线经过地心），则这个城市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设和交于点，先由三角形内角和得出，再根据平行线的性质可知即可得到答案． 【详解】解：如图，设和交于点 ， ， 故选：C． 【变式2】如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． （1）若，则 °； （2）如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，，与的关系是 ． 【答案】 38 【分析】（1）根据三角形内角和定理易求的度数．已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）在中，，同理在中，，相减即可得到． 本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识；注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 即． 故答案为：38； （2）．理由如下： 在中，， ， ， ， 即， ． 即； 故答案为：． 【变式3】如图，，平分交于，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②平分；③；④的度数为定值，其中正确的有 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和等于． 证明，可得，证明，可得，可得，故①正确；证明，可得平分，故②正确；证明，若，则，与已知矛盾，故③错误；证明．可得．证明，可得，，故④正确． 【详解】解：标注角度如图所示：    ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵，，而， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，， ∴， 若， ∴， ∴，与已知矛盾，故③错误； ∵， ∴． ∵和的平分线交于点F， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 考点6：直角三角形的两个锐角互余 典例6：如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是（　　） A．的余角只有 B．图中互余的角共有对 C．的补角只有 D．图中与互补的角共有个 【答案】B 【分析】此题考查了余角和补角，根据垂直定义可得，然后再根据余角定义和补角定义进行分析即可求解，掌握互余和互补的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴，， ∴是的余角，也是的余角，故错误，不合题意； 、∵，， ∵， ∴，，，， ∴图中互余的角共有对，故正确，符合题意； 、∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴的补角有和，故错误，不合题意； 、∵， ∴图中与互补的角共有个，故错误，不合题意； 故选： 【变式1】《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，宣角加它的一半叫做欘…”．即：1宣 矩，1欘 宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角有关的计算，根据题意可知，，然后余角知识即可求得的度数，解答本题的关键是明确题意，正确解答． 【详解】解：∵1宣 矩，1欘 宣，1矩，矩，欘， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2】两块三角板（中，，，中，，，）按如图方式放置，将绕点A按逆时针方向，以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒，在绕点A旋转的某过程中（），若与的一边平行，则t的值为 ． 【答案】9或15/15或9 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，平行线的判定和性质，分类讨论思想，掌握角度的计算，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，根据分类讨论：第一种情况：；第二种情况：；图形结合，根据角度的计算方法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 依题意得：，（）， ∴有以下两种情况： 第一种情况：如图所示，， ∴， ∴； 第二种情况：如图所示，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为9或15． 故答案为：9或15． 【变式3】如图，在中，于点，平分交于点．    （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /20度 /10度 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可解得，由角平分线的定义可知，再根据“直角三角形两锐角互余”可得，然后由求解即可； （2）根据“直角三角形两锐角互余”可得，，再根据角平分线的定义可得，易知，结合即可获得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题主要考查了与三角形有关的角度计算，涉及知识包括直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直定义等，熟练掌握相关知识是解题关键． 考点7：三角形外角的定义与性质 典例7：如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角的性质与内角和定理，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，可判断③，再利用三角形外角的性质得到，等量代换可判断②，根据三角形内角和定理及等量代换可判断①和④，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，的反向延长线交的平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴③能求出的大小； ∵， ∴， ∴②能求出的大小； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴①能求出的大小，④不能求出的大小； 故选：D． 【变式1】如图， ，则的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质、平行线的性质，通过作辅助线，构造三角形以及由平行线构成的内错角，掌握三角形的外角的性质以及平行线的性质：两条直线平行，内错角相等，是解题的关键．延长交与，延长交于，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质得到，从而即可得到答案． 【详解】解：延长交与，延长交于， ， 则在直角中，；在中，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2】某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，由平行线的性质可得，进而由三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，保持不变，．为了舒适，需调整的大小，则图中应增加 度． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形内角和．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，是解决问题的关键． 延长交于H，根据三角形的内角和可求，进而可得，再根据外角定理即可求解． 【详解】延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故应增加． 故答案为：10． 考点8：三角形内外角角平分线规律 典例8：问题引入： （1）如图1，在中，点O是和平分线的交点，若，则_______；如图2，，，，则_______； 拓展研究： （2）如图3，，，，猜想度数（用α表示），并说明理由； （3）、分别是的外角、的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想_______________（直接写出答案）． 【答案】（1），  （2）  （3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，采取类比的方法是解题的关键，同时渗透了整体思想． （1）由角平分线的定义得，再利用三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形内角和定理得而 代入化简即可； （3）根据三角形内角和定理得而 代入化简即可. 【详解】（1）∵点是和 平分线的交点， ， ， 在 中， ， 故答案为：； 在 中， ， 故答案为：； 理由如下： , ， ； （3）在 中， ， 故答案为 ． 【变式1】已知于点O，直线交于点B，点A在射线上． (1)如图1，若于点B，平分，交于点E，交于点F，求证：； (2)如图2，若平分，平分交于点E，，则的度数为________． (3)如图3，若平分，平分交于点E，平分交反向延长线于点F，在中，如果一个角是另一个角的3倍，请求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据，，可得，再结合角平分线的定义可得，然后根据对顶角相等，即可求证； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，再由邻补角可得，从而得到，进而得到，再求出，然后根据三角形内角和定理，即可求解； （3）根据题意可得，从而得到，再由三角形内角和定理，可得，从而得到，，然后分两种情况：当时，当时， 即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，对顶角相等，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式2】在四边形中，． (1)如图①，若，求出的度数； (2)如图②，若的角平分线交于点E，且，求出的度数； (3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了四边形的内角和、三角形的内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，熟练运用平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． （1）根据四边形的内角和是结合已知条件可得，然后结合即可解答； （2）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，最后根据三角形外角的性质即可解答； （3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得，再进一步然后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵和的角平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.    (1)若，    ①求的度数； ②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数. (2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；    (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.    【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键． （1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答； （2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下： 由（1）可得． ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 由图2可得，， ∵，分别平分和，， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$