13.3.1　等腰三角形的性质 　同步练习- 2024——2025学年华东师大版数学八年级上册

　等腰三角形的性质(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等边对等角性质的应用 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=75°,BD是AC边上的高,则∠ABD的度数为 ( ) A.15° B.30° C.60° D.75° 2.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)等腰三角形的一个角是70°,它的底角的大小为 ( ) A.70° B.40° C.70°或40° D.70°或55° 3.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=50°,DE⊥AC于点E,FD⊥AB于点D,则∠EDF的度数是 .  4.(2024·吉林期中)如图,ED⊥AB,FC⊥AB,垂足分别为D,C,AC=BD,AE=BF. (1)求证:DE=CF; (2)若CD=DE,∠A=25°,求∠AEC的度数. 知识点2　三线合一 5.(2024·重庆期中)如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC,点B,E,C在同一直线上且BE=CE时,电线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依据是( ) A.等边对等角 B.垂线段最短 C.等腰三角形的三线合一 D.DE是BC的垂直平分线 6.(2024·泰安期中)如图,在△ABC中,BC=AC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,交CE于点F,且BD=CD.若CF=4,则BE的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2024·连云港质检)如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,垂足为F,试说明AF平分CD. 【B层 能力进阶】 8.等腰三角形的两个底角相等,顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 9.等腰三角形一个角为30°,其他两个角的度数是　　　 ( ) A.75°,75°或30°,120° B.30°,75°或30°,45° C.30°,65°或30°,45° D.30°,55°或30°,75° 10.(2022·苏州中考)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 .  11.(2024·广州期中)已知等腰三角形ABC的两边长a,b满足(a-3)2+|b-4|=0,则等腰三角形ABC的周长为 .  12.如图,△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在一条直线上,过点C作CM⊥AE于点M. (1)试探究AD和BE之间的关系,并说明理由; (2)若AE=13,BE=6,求CM的值. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(几何直观、推理能力、运算能力)小马和小虎在解这样一道题:“如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E在边AB上,AE=AC,BD=BC,求∠DCE的度数.”他们经过商量后,结论不一致,小马说:“∠DCE的值与∠B的度数有关,只有知道∠B的度数才能求出∠DCE的度数.”小虎说:“∠DCE的度数是一个定值,与∠B的度数无关.”他们谁说的正确?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　等腰三角形的性质(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等边对等角性质的应用 1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=75°,BD是AC边上的高,则∠ABD的度数为 (C) A.15° B.30° C.60° D.75° 2.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏情况)等腰三角形的一个角是70°,它的底角的大小为 (D) A.70° B.40° C.70°或40° D.70°或55° 3.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=50°,DE⊥AC于点E,FD⊥AB于点D,则∠EDF的度数是　65°　.  4.(2024·吉林期中)如图,ED⊥AB,FC⊥AB,垂足分别为D,C,AC=BD,AE=BF. (1)求证:DE=CF; 【解析】(1)∵ED⊥AB,FC⊥AB, ∴∠ADE=∠BCF=90°, ∵AC=BD,则AC+CD=BD+CD, ∴AD=BC,又∵AE=BF, ∴Rt△ADE≌Rt△BCF(H.L.), ∴DE=CF; (2)若CD=DE,∠A=25°,求∠AEC的度数. 【解析】(2)∵CD=DE,∠CDE=90°, ∴∠DCE=∠DEC=45°, ∵∠A=25°,∴∠AEC=∠DCE-∠A=45°-25°=20°, ∴∠AEC的度数为20°. 知识点2　三线合一 5.(2024·重庆期中)如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC,点B,E,C在同一直线上且BE=CE时,电线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依据是(C) A.等边对等角 B.垂线段最短 C.等腰三角形的三线合一 D.DE是BC的垂直平分线 6.(2024·泰安期中)如图,在△ABC中,BC=AC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,交CE于点F,且BD=CD.若CF=4,则BE的值为 (B) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2024·连云港质检)如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,垂足为F,试说明AF平分CD. 【解析】如图,连结AC,AD, 在△ABC和△AED中, ∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED, ∴△ABC≌△AED(S.A.S.),∴AC=AD. ∵AF⊥CD,∴CF=DF. ∴AF平分CD. 【B层 能力进阶】 8.等腰三角形的两个底角相等,顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是(B) A.30° B.40° C.50° D.60° 9.等腰三角形一个角为30°,其他两个角的度数是　　　 (A) A.75°,75°或30°,120° B.30°,75°或30°,45° C.30°,65°或30°,45° D.30°,55°或30°,75° 10.(2022·苏州中考)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为　6　.  11.(2024·广州期中)已知等腰三角形ABC的两边长a,b满足(a-3)2+|b-4|=0,则等腰三角形ABC的周长为　10或11　.  12.如图,△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在一条直线上,过点C作CM⊥AE于点M. (1)试探究AD和BE之间的关系,并说明理由; 【解析】(1)AD和BE之间的关系为AD=BE,AD⊥BE.理由如下: ∵CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,∠CDE=∠CED=45°, ∴∠ACD=∠BCE,∠ADC=180°-∠CDE=135°, 在△ACD和△BCE中, ∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE, ∴△ACD≌△BCE(S.A.S.), ∴AD=BE,∠ADC=∠BEC=135°, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°, ∴AE⊥BE,故AD⊥BE. (2)若AE=13,BE=6,求CM的值. 【解析】(2)由(1)知AD=BE,∵AE=13,BE=6, ∴DE=AE-AD=AE-BE=13-6=7, 又∵CD=CE,∠DCE=90°,CM⊥AE, ∴CM=DM=EM=DE=3.5. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(几何直观、推理能力、运算能力)小马和小虎在解这样一道题:“如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E在边AB上,AE=AC,BD=BC,求∠DCE的度数.”他们经过商量后,结论不一致,小马说:“∠DCE的值与∠B的度数有关,只有知道∠B的度数才能求出∠DCE的度数.”小虎说:“∠DCE的度数是一个定值,与∠B的度数无关.”他们谁说的正确?请说明理由. 【解析】小虎说的对, 理由:∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC. 又∵∠BCD=∠DCE+∠BCE,∠BDC=∠ACD+∠A, ∴∠BCE+∠DCE=∠ACD+∠A①, ∵AE=AC,∴∠CED=∠ECA. ∵∠CED=∠BCE+∠B,∠ECA=∠ACD+∠DCE, ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠B②, ∴①+②,得2∠DCE=∠A+∠B. ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°, ∴2∠DCE=90°,∴∠DCE=45°. ∴∠DCE的度数是一个定值,与∠B的度数无关. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　等腰三角形的性质(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等边三角形的性质 1.(2024·长沙期中)如图,△ABC为等边三角形,AM∥CN.若∠BAM=25°,则∠BCN= ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.65° B.60° C.45° D.35° 2.如图,直线a∥b,等边△ABC的顶点C在直线b上,若∠2=100°,则∠1的度数为 ( ) A.40° B.45° C.50° D.55° 3.(2024·北京期中)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,BD是AC边上的高,延长BC至点E,使CE=CD,则BE的长为 .  4.如图,△ABC和△EFD均为等边三角形,点E,F,D分别在AB,BC,AC上. (1)若∠BEF=88°,则∠CFD= °;  (2)△BEF是否与△CFD全等? .(填“是”或“否”)  知识点2　等边三角形性质的综合应用 5.(2024·赣州期末)如图,△ABC是等边三角形,已知AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE与AD交于点P,下列结论中不一定成立的是 ( ) A.∠APE=∠C B.BP=2PQ C.AQ=BQ D.AE+BD=AB 6.如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是 ( ) A.220° B.180° C.270° D.240° 7.(易错警示题·分情况讨论遗漏情况)在边长为6的等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E在直线BC上,且BE=2,则DE的长为 .  8.如图,△ABC为任意三角形,以边AB,AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连结CD,BE并且相交于点P. 求证:(1)CD=BE; (2)∠BPC=120°. 【B层 能力进阶】 9.如图所示是由9个等边三角形拼成的六边形,已知中间最小的等边三角形的边长为1(图中阴影部分),则此六边形的周长为 ( ) A.18 B.24 C.30 D.36 10.如图,△ABC是等边三角形,直线l过顶点B,作点C关于直线l的对称点D,连结BD,AD,CD,若∠BAD=25°,则∠BCD的度数为 ( ) A.50° B.55° C.60° D.65° 11. (2024·威海期中)如图,在等边△ABC中,AB=5,点D在AB上,且BD=1,点E,F分别是BC,AC上的点,连结DE,EF,如果∠DEF=60°,DE=EF,那么BE的长是 ( ) A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 12.如图,△ABC是等边三角形,点D在线段AB上,以CD为边在左侧作等边△CDE,连结EA. 求证:(1)△ACE≌△BCD; (2)EA∥CB. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(几何直观、推理能力、运算能力)(2024·武汉期中) 【问题背景】如图1,在△ABC与△ADE中,若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE. 【尝试运用】如图2,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=120°,AC=BC,CD=CE,∠ADC=90°,延长ED交AB于点F.求证:F为AB的中点. 【拓展创新】如图3,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AC边上的高为,点M是直线BC上一动点,连结AM,在直线AM的右侧作等边△AMN,连结BN,则AN+BN的最小值为 .  学科网（北京）股份有限公司 $$ 　等腰三角形的性质(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等边三角形的性质 1.(2024·长沙期中)如图,△ABC为等边三角形,AM∥CN.若∠BAM=25°,则∠BCN= (D) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.65° B.60° C.45° D.35° 2.如图,直线a∥b,等边△ABC的顶点C在直线b上,若∠2=100°,则∠1的度数为 (A) A.40° B.45° C.50° D.55° 3.(2024·北京期中)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,BD是AC边上的高,延长BC至点E,使CE=CD,则BE的长为　9　.  4.如图,△ABC和△EFD均为等边三角形,点E,F,D分别在AB,BC,AC上. (1)若∠BEF=88°,则∠CFD=　88　°;  (2)△BEF是否与△CFD全等?　是　.(填“是”或“否”)  知识点2　等边三角形性质的综合应用 5.(2024·赣州期末)如图,△ABC是等边三角形,已知AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE与AD交于点P,下列结论中不一定成立的是 (C) A.∠APE=∠C B.BP=2PQ C.AQ=BQ D.AE+BD=AB 6.如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是 (D) A.220° B.180° C.270° D.240° 7.(易错警示题·分情况讨论遗漏情况)在边长为6的等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E在直线BC上,且BE=2,则DE的长为　1或5　.  8.如图,△ABC为任意三角形,以边AB,AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连结CD,BE并且相交于点P. 求证:(1)CD=BE; 【证明】(1)∵△ABD和△ACD都是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠ACE=∠AEC=60°,∠DAB=∠EAC=60°, ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC, ∴∠DAC=∠BAE, 在△DAC和△BAE中, ∵AD=AB,∠DAC=∠BAE,AC=AE, ∴△DAC≌△BAE(S.A.S.), ∴DC=BE; (2)∠BPC=120°. 【证明】(2)∵△DAC≌△BAE, ∴∠BEA=∠DCA, ∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC=∠BEA+∠ACE+∠PEC =∠ACE+∠AEC=60°+60°=120°. 【B层 能力进阶】 9.如图所示是由9个等边三角形拼成的六边形,已知中间最小的等边三角形的边长为1(图中阴影部分),则此六边形的周长为 (C) A.18 B.24 C.30 D.36 10.如图,△ABC是等边三角形,直线l过顶点B,作点C关于直线l的对称点D,连结BD,AD,CD,若∠BAD=25°,则∠BCD的度数为 (B) A.50° B.55° C.60° D.65° 11. (2024·威海期中)如图,在等边△ABC中,AB=5,点D在AB上,且BD=1,点E,F分别是BC,AC上的点,连结DE,EF,如果∠DEF=60°,DE=EF,那么BE的长是 (C) A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 12.如图,△ABC是等边三角形,点D在线段AB上,以CD为边在左侧作等边△CDE,连结EA. 求证:(1)△ACE≌△BCD; 【证明】(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形, ∴BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=60°, ∴∠BCD=∠ACE=60°-∠ACD, 在△BCD和△ACE中, ∵BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC, ∴△BCD≌△ACE(S.A.S.); (2)EA∥CB. 【证明】(2)∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=∠B=60°, ∵△BCD≌△ACE, ∴∠B=∠CAE=60°, ∴∠CAE=∠ACB=60°,∴EA∥CB. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(几何直观、推理能力、运算能力)(2024·武汉期中) 【问题背景】如图1,在△ABC与△ADE中,若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE. 【解析】∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中, ∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(S.A.S.); 【尝试运用】如图2,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=120°,AC=BC,CD=CE,∠ADC=90°,延长ED交AB于点F.求证:F为AB的中点. 【解析】如图,过点A作AG∥BE交EF的延长线于点G, ∵∠BCA=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中,∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE, ∴△ACD≌△BCE(S.A.S.),∴AD=BE,∠ADC=∠BEC=90°, ∵∠DCE=120°,CD=CE,∴∠CDE=∠CED=30°,∴∠ADG=∠BED=60°, ∵AG∥BE,∴∠AGF=∠BEF=60°, ∴△ADG为等边三角形,∴AD=AG=BE, 在△AGF和△BEF中,∵∠AFG=∠BFE,∠AGF=∠BEF,AG=BE, ∴△AGF≌△BEF(A.A.S.),∴AF=BF,∴F为AB的中点; 【拓展创新】如图3,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AC边上的高为,点M是直线BC上一动点,连结AM,在直线AM的右侧作等边△AMN,连结BN,则AN+BN的最小值为2.  【解析】如图,取AC的中点P,连结BP,PN,NC,过点B作BQ⊥AC于Q, ∵BQ⊥AC,∠ACB=30°,AB⊥BC, ∴BC=2BQ=2,AC=2AB,∠BAC=60°, ∵点P是AC的中点, ∴2AP=AC,∴AP=AB, ∵△AMN是等边三角形, ∴AM=AN,∠MAN=60°=∠BAC, ∴∠BAM=∠PAN, ∴△APN≌△ABM(S.A.S.), ∴BM=PN,∠ABM=∠APN=90°, ∴点N在AC的垂直平分线上移动, ∴AN=CN,∴AN+BN=BN+CN, ∴当点B,点N,点C三点共线时,BN+CN的最小值为BC的长, ∴AN+BN的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$