专题02 矩形的性质与判定【九大考点+知识串讲】-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题02 矩形的性质与判定 考点类型 知识一遍过 （一）矩形的性质 矩形的性质： 因为ABCD是矩形 几何表达式举例： (1) 对边平行且相等；对角线互相平分 (2) ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD （二）矩形的判定 矩形的判定： 四边形ABCD是矩形. 几何表达式举例： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 (2) ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴四边形ABCD是矩形 (3) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵OA=OD或OA=OB ∴四边形ABCD是矩形 （三）斜边中线的性质 在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半 如图：OB=AB 考点一遍过 考点1：矩形的性质——求角度 典例1：如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在矩形中，点是的中点，交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 （用α的代数式表示）． 【变式3】如图，在矩形中，，垂足为，，则的度数为 ．    考点2：矩形的性质——求线段 典例2：如图，在矩形 中，点 在 上，，作 于点 ，交 于 ，则 的长是 （   ） A． B． C．3 D．2 【变式1】如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，连接，若．则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，矩形的对角线相交于点，是的中点，连接，为的中点，连接．若，，则的周长为 ． 【变式3】在矩形中，，点P是直线一动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连接，若P、E、D三点在同一条直线上，则 ． 考点3：矩形的性质——求面积 典例3：如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（    ）． A．4 B．2.5 C．5 D．10 【变式2】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为 ．    【变式3】如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 考点4：矩形的性质——证明题 典例4：如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】如图，在矩形中，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【变式2】如图，在矩形纸片中，，，在上取一点F，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形． (1)求证∶四边形是菱形； (2)求四边形的两条对角线的长． 【变式3】如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，于点E．求证：平分． 考点5：矩形的性质——坐标问题 典例5：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【变式3】将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 考点6：矩形的性质——折叠问题 典例6：已知长方形沿直线折叠，使点C落在同一平面内处，与交于点E，，． (1)求的长？ (2)说明； (3)求的长． 【变式1】如图，将长方形纸片折叠，使顶点A与顶点C重合，折痕为． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【变式3】如图1，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)如图2，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上的点重合，求线段的长度； (3)如图3，是直线上一点且在下方，交线段于点．若在第一象限，且，求点的坐标． 考点7：矩形的判定——证明题 典例7：如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长度． 【变式1】如图，在中，D是边的中点，E，F分别在及其延长线上，，连接，． (1)求证∶； (2)若，试判断四边形是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 【变式2】如图，在中，O是的中点，连接，的延长线相交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是矩形． 【变式3】如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 考点8：矩形的判定与性质综合 典例8：如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【变式1】如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式2】如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【变式3】如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，． (1)如图1，若，则的度数为______ (2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积． 考点9：直角三角形斜边中线性质 典例9：如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：．    【变式1】如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式2】如图，中，D是边的中点，，，垂足分别是点E，F，连接，． (1)求证：． (2)若，，连接，求的面积． 【变式3】如图，在四边形中，对角线、相交于点．点是对角线的中点，连接、．已知，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 矩形的性质与判定 考点类型 知识一遍过 （一）矩形的性质 矩形的性质： 因为ABCD是矩形 几何表达式举例： (1) 对边平行且相等；对角线互相平分 (2) ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD （二）矩形的判定 矩形的判定： 四边形ABCD是矩形. 几何表达式举例： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 (2) ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴四边形ABCD是矩形 (3) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵OA=OD或OA=OB ∴四边形ABCD是矩形 （三）斜边中线的性质 在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半 如图：OB=AB 考点一遍过 考点1：矩形的性质——求角度 典例1：如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键. 连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选: D. 【变式1】如图，在矩形中，点是的中点，交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，延长，交的延长线于点，根据矩形的性质可得，，可证，根据全等三角形的性质可得，可知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可得，根据，可得，可求出的度数，进一步可得的度数， 再根据，可得的度数，熟练掌握知识点的应用及添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】如图，延长，交的延长线于点， ∵四边形是矩形的性质， ∴，， ∴， ∵为边中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 （用α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，设与交于点，由作图可得：平分，垂直平分，从而得出，，由矩形的性质得出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，设与交于点， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在矩形中，，垂足为，，则的度数为 ．    【答案】/36度 【分析】本题考查了矩形的性质，熟悉掌握矩形的性质是解题的关键． 利用矩形的性质得到，由推出，由推出，即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 考点2：矩形的性质——求线段 典例2：如图，在矩形 中，点 在 上，，作 于点 ，交 于 ，则 的长是 （   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，，，可得，这样得，设，则，利用勾股定理计算即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形 ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 则， 解得， 故选B． 【变式1】如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，连接，若．则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、矩形性质、三角形中位线的应用等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半成为解题的关键． 根据矩形性质得出，根据勾股定理求出，进而求出，最后根据三角形中位线求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 【变式2】如图，矩形的对角线相交于点，是的中点，连接，为的中点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、三角形中位线的性质、三角形周长计算公式，熟练掌握以上知识并综合运用是解题的关键． 因为是的中点，为的中点，可以求出的长，再根据中位线定理可以得出的长，最后由三角形周长公式即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，， 在中，根据勾股定理，得， ， 是的中点， ， 在中，根据勾股定理，得， 为的中点， ， 为的中点， 为的中点， ， 的周长为． 故答案：． 【变式3】在矩形中，，点P是直线一动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连接，若P、E、D三点在同一条直线上，则 ． 【答案】1或9 【分析】本题考查勾股定理，矩形性质中折叠问题，全等三角形性质及判定．解题的关键是根据题意分情况讨论． 由勾股定理可以求出的长，设，在直角三角形中，有勾股定理列方程即可，另一种情况先证明，再利用勾股定理即可． 【详解】解：根据题意得：， 分情况讨论： 当点在线段上时， 根据折叠性质：， 在中，， 设，则， 在中，， 解得：， 当点在线段的延长线上时， 根据折叠性质：， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 综上：的长为1或9， 故答案为：1或9． 考点3：矩形的性质——求面积 典例3：如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形是中心对称图形进行解答即可. 【详解】解：∵矩形的长是，宽是， ∴矩形的面积为， ∵矩形是中心对称图形，是对称中心，过点任意画一条直线， ∴图中阴影部分的面积是矩形面积的一半，即， 故选：A 【变式1】如图，矩形面积为40，点在边上，，，垂足分别为．若，则（    ）． A．4 B．2.5 C．5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积公式，令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，令与相交于点，连接， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半． 根据矩形性质得出，，，推出，证出和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即和的面积相等， 同理可证：和的面积相等，和的面积相等， 即阴影部分的面积等于矩形的面积的一半， ∵矩形面积是， ∴阴影部分的面积是4， 故答案为：4． 【变式3】如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线， 连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答 【详解】解：连接，      ， 又，， 同理     ， 又，， ， 故答案为：40 考点4：矩形的性质——证明题 典例4：如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理； （1）根据矩形是性质可以证明，即可得； （2）结合（1）证明，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ； （2）∵， ，， ，， ∴， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ． 【变式1】如图，在矩形中，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由四边形是矩形，得，，再通过即可证明； （）由四边形是矩形，得，，即，再由，根据性质得，最后由平行四边形的判定方法即可求证； 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在和中 ， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴，，即， 由（）得：， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】如图，在矩形纸片中，，，在上取一点F，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形． (1)求证∶四边形是菱形； (2)求四边形的两条对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据题意得，勾股定理求得，即，根据平移的性质得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据邻边相等，即可得证； （2）连接，，在，中根据勾股定理分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵平移至 ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）连接，， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ． 【变式3】如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，且，于点E．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定等知识点，能熟记矩形的性质是解此题的关键．根据矩形的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理推出，继而证明，得到即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 考点5：矩形的性质——坐标问题 典例5：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标 【详解】解：过点作于点， 矩形的顶点的坐标分别为，点是的中点， 点 ，， ， 即点 点， 故选：A 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 【变式2】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 【变式3】将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 ． 【答案】（8，10） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论． 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G， 则四边形BEHG是矩形， ∴HG=BE，∠EBG=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， ∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°， ∴∠ABG=∠DCF， ∵在△ABG与△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG=DF，BG=CF， ∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4， ∴CF=12， ∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8， ∴A（8，10）， 故答案为：（8，10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 考点6：矩形的性质——折叠问题 典例6：已知长方形沿直线折叠，使点C落在同一平面内处，与交于点E，，． (1)求的长？ (2)说明； (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题以折叠问题为背景，主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质及判定，掌握矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质及判定是解本题的关键． （1）根据矩形的性质以及勾股定理即可解得． （2）利用矩形的性质以及折叠得性质可得，，即可证出． （3）利用全等得，设，则，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 在中， ，， ． （2）四边形是矩形， ，， 由折叠得，， ，， 在和中， ， ． （3）由（2）得， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ． 【变式1】如图，将长方形纸片折叠，使顶点A与顶点C重合，折痕为． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理的应用．注意利用方程思想求解是关键． （1）由折叠的性质得，由平行线的性质得，从而，即可证得结论； （2）设为x，则，，根据勾股定理列方程可求得的长． 【详解】（1）证明：∵矩形纸片折叠，顶点与重合，折痕为， ， ， ， ； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， 设为，则， 在中，， 解得， 即的长为6． 【变式2】如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，由折叠的性质可得，，，，即得，，进而得，即可由证明； （）由（）得，，即可得到，，进而即可求证； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（）知，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 【变式3】如图1，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)如图2，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上的点重合，求线段的长度； (3)如图3，是直线上一点且在下方，交线段于点．若在第一象限，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)线段的长度为3 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由矩形的性质即可得出答案； （2）由勾股定理得出，由折叠的性质得出，从而得出，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）设点，过点作，交y轴于点，交于点，证明，得出，求出，从而得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与线段上的点重合， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴线段的长度为3； （3）解：设点， 如图，过点作，交y轴于点，交于点， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 考点7：矩形的判定——证明题 典例7：如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，且，结合题意可得， ，，根据即可求解； （2）根据菱形的性质及题意可得，，在中，根据勾股定理可得，在中，根据勾股定理可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，直线三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】如图，在中，D是边的中点，E，F分别在及其延长线上，，连接，． (1)求证∶； (2)若，试判断四边形是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，平行四边形的判定的应用，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （1）根据平行线得出，根据推出两三角形全等即可； （2）根据全等得出，根据推出四边形是平行四边形，求出，根据矩形的判定推出即可． 【详解】（1）证明：， ， 是边的中点， ， 在和中 ， ； （2）四边形是矩形， 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 平行四边形是矩形． 【变式2】如图，在中，O是的中点，连接，的延长线相交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，得到．又根据，即可证明； （2）利用平行四边形的性质结合，证明，得到，进而推出．再根据四边形为平行四边形，即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵O是的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式3】如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先根据四边形是平行四边形和为的中点，判定四边形是平行四边形，再结合，推出，即可得出结论； （）根据和矩形的对角线相等且互相平分，得出为等边三角形，即可求出的长，从而得到矩形对角线的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 考点8：矩形的判定与性质综合 典例8：如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得四边形是矩形． （2）过点O作于点F．根据矩形的性质可得，根据“等腰三角形三线合一”可得．再证明为的中位线，则可得．再根据平行四边形的性质可得，则可得，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图，过点O作于点F． ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】如图，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)设的面积为，的面积为，矩形的面积为，则，，的等量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质， （1）先证得，再根据可得四边形为平行四边形，然后由得，进而得，再由得，据此可得出结论； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，证明四边形为矩形得，然后表示，，可得，，的等量关系． 【详解】（1）证明：∵，，且， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）过点A作交延长线于H，的延长线交的延长线于K，如下图所示： 证明四边形为矩形得， ∵平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形 ∴， ∵，，， ∴， 即． 【变式3】如图，四边形为平行四边形，点E在边上，连接交于点F，． (1)如图1，若，则的度数为______ (2)如图2，若，，四边形的周长为28，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为． 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，利用完全平方公式求面积是解题的关键． （1）设根据菱形的性质和等腰三角形的性质，得出三个角的度数，列方程得出，即可得到的度数； （2）连接，求出对角线的长度，从而得出四边形的边长，求出面积． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：连接交于点，如图： 设，则， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设， ， ∴四边形的面积为． 考点9：直角三角形斜边中线性质 典例9：如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，，推出，从而证明，得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明． 【详解】证明：， ，， ， 在和中 又点、分别是、的中点 ， ． 【变式1】如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论； （2）根据（1）易得，，，设，则，，根据三角形外角的性质可得，，列出等式可求得的值，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 是边上的高线， ， 是边上的中线， 是边上的中线， ， ， ， ∵点G为的中点， ． （2）解：连接， 由（1）可知：，， ，， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式2】如图，中，D是边的中点，，，垂足分别是点E，F，连接，． (1)求证：． (2)若，，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用直角三角形斜边中线的性质可得出，即可得证； （2）利用三角形内角和定理、等边对等角可求出，进而求出∴，作，垂足为G，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：，点D是的中点． ，， ， 为等腰三角形； （2）解：连接， ∵ ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 作，垂足为G， ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在四边形中，对角线、相交于点．点是对角线的中点，连接、．已知，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识； （1）由点是对角线的中点，，得到，又，是公共边，即可证明全等． （2）延长交于，证出垂直平分，又，得到，又，证出四边形是平行四边形，得到 ，利用勾股定理求出，从而得到的长． 【详解】（1）证明：点是对角线的中点， ， ， ， 又，， ． （2）解：如图，延长交于， ，， 垂直平分 ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$