专题02 解一元二次方程【七大考点+知识串讲】-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题02 解一元二次方程 考点类型 知识一遍过 （一）一元二次方程解法 （1）解法一：直接开平方法 概念：形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得的根是，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 【注意】 ①若n≥0，方程有两个实数根。 （若n＞0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根） ②若n<0，方程无解。 （2）解法二：配方法 概念： 配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解 一般步骤: ①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式； ④求解：判断右边等式符号，开平方并求解 （3）解法三：公式法（常用解法） 概念：公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 一般步骤： ①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); ②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解; ③如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式： ④最后求出x1，x2 （4）解法三：因式分解法（仔细观察方程，灵活应用） 概念：将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解。例：若a·b＝0，则a＝0或b＝0 一般步骤： ①将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④求解 归纳：右化零，左分解，两因式，各求解 考点一遍过 考点1：解一元二次方程——直接开平方 典例1：． 【变式1】求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【变式2】阅读解答过程，填空： 解方程． 解：，（_________） 或___________． _________，_________． 像这样解方程的方法叫做用 ___________解方程，上面的解法实质上是把一元二次方程通过_______“降次”转化为两个__________方程． 【变式3】用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 考点2：解一元二次方程——配方法 典例2：解方程：． 【变式1】用配方法解方程：． 【变式2】小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 移项，得 第一步 配方，得， 第二步 整理，得 第三步 所以 第四步 (1)小明的解答过程是从第_______步开始出错的，其错误原因是_________________； (2)请写出此题正确的解答过程． 【变式3】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点3：配方法的应用 典例3：已知，图1中阴影面积为，图2中阴影面积为． (1)用含x的代数式表示，；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【变式1】先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【变式2】（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【变式3】读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______． (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值． 考点4：解一元二次方程——公式法 典例4：解方程：． 【变式1】（用公式法）解一元二次方程：． 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【变式3】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 考点5：解一元二次方程——因式分解法 典例5：解方程： (1)； (2)． 【变式1】解一元二次方程：． 【变式2】解方程： 【变式3】解下列一元二次方程 (1) (2) 考点6：解一元二次方程——换元法 典例6：阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 【变式1】阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，． 当时，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由． 【变式2】请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则所以． 把代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，并写出系数a、c的取值范围． 【变式3】先阅读，再解题： 解方程：． 可以将看成一个整体，设，则原方程可化，解得，； 当时，即，解得；当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 请利用上述这种方法解方程：． 考点7：解一元二次方程——合适的方法 典例7：选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【变式1】用适当方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) 【变式2】选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式3】用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解一元二次方程 考点类型 知识一遍过 （一）一元二次方程解法 （1）解法一：直接开平方法 概念：形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得的根是，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 【注意】 ①若n≥0，方程有两个实数根。 （若n＞0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根） ②若n<0，方程无解。 （2）解法二：配方法 概念： 配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解 一般步骤: ①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式； ④求解：判断右边等式符号，开平方并求解 （3）解法三：公式法（常用解法） 概念：公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 一般步骤： ①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); ②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解; ③如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式： ④最后求出x1，x2 （4）解法三：因式分解法（仔细观察方程，灵活应用） 概念：将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解。例：若a·b＝0，则a＝0或b＝0 一般步骤： ①将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④求解 归纳：右化零，左分解，两因式，各求解 考点一遍过 考点1：解一元二次方程——直接开平方 典例1：． 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解． 【详解】解：方程两边直接开方得：或， ∴或， 解得：． 【变式1】求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是解此题的关键． （1）移项后两边开方，即可求出x； （2）方程两边都除以3，再开方，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 开方得：， 即，； （2）解：， ， 开方得：， 即，． 【变式2】阅读解答过程，填空： 解方程． 解：，（_________） 或___________． _________，_________． 像这样解方程的方法叫做用 ___________解方程，上面的解法实质上是把一元二次方程通过_______“降次”转化为两个__________方程． 【答案】开平方；；；；直接开平方法；开平方；一元一次 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程的步骤，进行填空解答即可． 【详解】解：，（开平方） 或． ，． 像这样解方程的方法叫做用 直接开平方法解方程，上面的解法实质上是把一元二次方程通过开平方“降次”转化为两个一元一次方程． 【变式3】用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴，； （2） ∴，． 考点2：解一元二次方程——配方法 典例2：解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，用配方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，即， ∴， ∴，． 【变式1】用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 方程移项变形后，配方即可得到结果． 【详解】解：方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：或， 解得：，． 【变式2】小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 移项，得 第一步 配方，得， 第二步 整理，得 第三步 所以 第四步 (1)小明的解答过程是从第_______步开始出错的，其错误原因是_________________； (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一；移项没有变号 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成的形式计算是解题的关键． （1） 分析解题步骤不难发现，在第一步中常数项在移项后没有变号，导致求解过程出错； （2）先移项，再把方程两边加上，利用完全平方公式得到，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：分析题目中给出的解题步骤可以发现，在第一步中，原方程常数项在移至等号右侧后没有改变符号，导致整个求解过程出错； （2）解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 开平方得：， ∴，． 【变式3】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 考点3：配方法的应用 典例3：已知，图1中阴影面积为，图2中阴影面积为． (1)用含x的代数式表示，；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，完全平方公式： （1）直接利用梯形和长方形的面积公式进行计算，列出代数式即可，将，代入所列代数式，进行计算即可； （2）判断两个代数式相减后与0的大小关系，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ， ， 当时，； （2）， 理由如下：，， ， ， ， ． 【变式1】先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)4 (2)4 (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用： （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可； 熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是4． （3）设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 【变式2】（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 【变式3】读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______． (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求c的值． 【答案】(1)6， (2) 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形三边关系，因此此题可： （1）根据题干所给方法可直接进行求解； （2）根据题干所给方法求出a、b的值，然后再根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 故答案为6，； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∵c是正整数， ∴． 考点4：解一元二次方程——公式法 典例4：解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：． ， ， ，． 【变式1】（用公式法）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，根据公式法解方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键 【详解】解： ∴， ∴， ∴ 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）. 解：. . . . ∴原方程的解为，． （2） 解：，，． ． ∴． ∴原方程的解为，． 【变式3】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 考点5：解一元二次方程——因式分解法 典例5：解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【变式1】解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法将方程变形为解答即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【变式2】解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，将原方程化成一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．先将原方程化成一元二次方程的一般形式，然后再用因式分解法解答即可． 【详解】解： 或 ，． 【变式3】解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 或， ∴； （2）解：， 或， ∴． 考点6：解一元二次方程——换元法 典例6：阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把视为一个整体，设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， ∵， 则． 【变式1】阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，． 当时，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)方程的两根分别是和，理由见详解 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想， （1）设，用m代替方程中的，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可 （2）根据已知方程的解，得出或，求出x的值即可． 【详解】（1）解：令， 则， ， 或， 解得或， 当时，，即， 解得，， 当时，，即， 解得， 综上，原方程的解为，， （2）一元二次方程的两根分别为，， 方程中或， 解得：或， 即方程的两根分别是和． 【变式2】请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则所以． 把代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，并写出系数a、c的取值范围． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）利用换根法，将所求新方程的根换元为原方程根的相反数，代入原方程化简即求出新方程； （2）利用换根法，将所求新方程的根换元为原方程根的倒数，代入原方程化简即求出新方程；根据一元二次方程根的特点，可以求出系数a、c的取值范围． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，则所以． 把代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为． （2）设所求方程的非零实根为y，则所以． 把代入已知方程，得 化简，得 故所求方程为； 因为新方程和原方程分别有两个非零实数根，根据一元二次方程一般性质和特点，则有 ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的有关概念及一元二次方程的一般性质和特点，理解掌握一元二次方程的特点是解本题的关键． 【变式3】先阅读，再解题： 解方程：． 可以将看成一个整体，设，则原方程可化，解得，； 当时，即，解得；当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 请利用上述这种方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法．利用换元法、因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化， 解得，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 所以原方程的解为，． 考点7：解一元二次方程——合适的方法 典例7：选用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可； （4）移项后用因式分解法求解即可. 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）∵ ∴ ∴ ∴ （4）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 【变式1】用适当方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用公式法解方程． 【详解】（1）因式分解可得，， ∴或， 解得：， 故方程的解为：； （2）移项得，， 因式分解可得，， ∴，     解得：，． （3）原方程整理得：． ∴． ∵， ∴， ∴ ； 【点睛】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． 【变式2】选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用开平方法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可； （5）变形后利用因式分解法解方程即可； （6）利用因式分解法解方程即可； 此题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法并根据方程特点灵活选择是解题的关键． 【详解】（1）解： ∴ 开平方得，， ∴ （2） ∴ ∴或 ∴ （3） ∴ ∴ ∴， ∴ （4） ∴ ∴， ∴， ∴ （5） ∴ ∴或 解得 （6） ∴ ∴或 解得． 【变式3】用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)原方程没有实根 (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、求根公式法解一元二次方程的方法和步骤是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 移项得：， ， 或， 解得：或， 原方程的解为：， （2）解：， ， 原方程没有实根． （3）解：， ， ， ， 原方程的解为： ，； （4）解：， 将原方程转化为一般式得：， ， ， 解得：， 原方程的解为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$