专题02 勾股定理的应用【八大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题01 勾股定理的应用 考点类型 考点一遍过 考点1：勾股定理的应用——梯子问题 典例1：消防云梯的使用可以大幅度提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，一架云梯斜靠在墙上，已知米，云梯的长度比云梯底端到墙的距离长18米． (1)求云梯的长度． (2)现云梯顶端下方4米C处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点C处，则云梯底端在水平方向上滑动距离为多少米？ 【变式1】如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． (1)若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？ (2)若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 【变式2】如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． (1)求这架云梯的顶端距地面的高度； (2)当云梯的顶端A沿墙面下滑到达位置时，用含x的代数式表示云梯的底端水平滑动的距离； (3)若云梯底端离墙的距离不能小于云梯长度的，求云梯的顶端所能达到的最大高度． 【变式3】《国务院关于印发全民健身计划（年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 考点2：勾股定理的应用——树枝折断问题 典例2：“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【变式1】由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【变式2】如图，为一棵大树，在树上距地面10米的处有两只猴子，他们同时发现处有一筐水果，一只猴子从处往上爬到树顶处，又沿滑绳滑到处，另一只猴子从滑到，再由跑到处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高． 【变式3】有一棵高的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离（点B为大树顶端着地处）．    考点3：勾股定理的应用——旗杆问题 典例3：小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【变式1】在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 【变式2】体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）； (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 【变式3】如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）． 考点4：勾股定理的应用——最短路径问题 典例4：编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 【变式1】如图，已知长方体的长为、宽为、高为．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到点，那么最短的路程是多少？    【变式2】如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 【变式3】如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程． 考点5：勾股定理的应用——航海问题 典例5：如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 【变式1】如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 【变式2】如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【变式3】如图，张叔叔在距离河面高度为的处，用长为的绳子拉点处的船靠岸，若张叔叔收绳后，船到达处，则船向岸边移动了多少米？ 考点6：勾股定理的的应用——范围影响问题 典例6：2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【变式1】如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 【变式2】某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【变式3】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 考点7：勾股定理的应用——两地距离相等问题 典例7：如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知 ， ，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 【变式1】 “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 【变式2】为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【变式3】如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，） 考点8：勾股定理的应用——其他问题 典例8：《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度 可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【变式1】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【变式2】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【变式3】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理的应用 考点类型 考点一遍过 考点1：勾股定理的应用——梯子问题 典例1：消防云梯的使用可以大幅度提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，一架云梯斜靠在墙上，已知米，云梯的长度比云梯底端到墙的距离长18米． (1)求云梯的长度． (2)现云梯顶端下方4米C处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点C处，则云梯底端在水平方向上滑动距离为多少米？ 【答案】(1)25米 (2)8米 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）设米，则米，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可； （2）根据题意可得：米，米，米，则米，根据勾股定理可得米，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：设米，则米， 根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴云梯的长度为25米． （2）解：根据题意可得：米，米，米， ∴米， 根据勾股定理可得：（米）， ∴（米）． 即云梯底端在水平方向上滑动距离为8米． 【变式1】如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面处，另一端在地面处，墙角记为点． (1)若米，米．竹竿的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？ (2)若，则顶端下滑的距离与底端外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端下滑的距离与底端外移的距离的大小． 【答案】(1)2米 (2)不相等，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出米，再由勾股定理求出米，即可解决问题； （2）设米，顶端下滑的距离为米，底端外移的距离为米，利用勾股定理可得，再由偶次方的非负性可得，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可知，， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：点将向外移动米； （2）解：不相等．理由如下： 设米，顶端下滑的距离为米，底端外移的距离为米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴顶端下滑的距离大于底端外移的距离． 【变式2】如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． (1)求这架云梯的顶端距地面的高度； (2)当云梯的顶端A沿墙面下滑到达位置时，用含x的代数式表示云梯的底端水平滑动的距离； (3)若云梯底端离墙的距离不能小于云梯长度的，求云梯的顶端所能达到的最大高度． 【答案】(1)这架云梯的顶端距地面的高度是20米 (2)云梯的底端水平滑动的距离是 (3)云梯的顶端所能达到的最大高度是 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，能灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理即可求出AC的长； （2）先求出的长，再由勾股定理可求出的长，再用即可解决问题； （3）根据“云梯底端离墙的距离不能小于云梯长度的”求出云梯底端离墙的最小距离，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1），，， 在中，由勾股定理得：， 答：这架云梯的顶端距地面的高度AC是20米； （2）由题意得：，，， 在中，， ， 答：云梯的底端水平滑动的距离是； （3）， ， 由勾股定理得：， 答：云梯的顶端所能达到的最大高度是． 【变式3】《国务院关于印发全民健身计划（年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 在中，，， 则， 在中，，， 则． ． 考点2：勾股定理的应用——树枝折断问题 典例2：“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部三尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．求折断后的竹子高度． 【答案】折断后竹子的高度是尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，根据勾股定理列出关于未知数的方程． 已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 【变式1】由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【答案】19米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：延长，过点C作延长线于点D， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 【变式2】如图，为一棵大树，在树上距地面10米的处有两只猴子，他们同时发现处有一筐水果，一只猴子从处往上爬到树顶处，又沿滑绳滑到处，另一只猴子从滑到，再由跑到处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高． 【答案】树高为12米． 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用．在中，，则满足，米，米，米，根据两只猴子经过的路程一样可得解方程组可以求的值，即可计算树高． 【详解】解：中，， 设（米，米，米， 则米． （米，米， 又在中，由勾股定理得：， ， 解得，，即（米) （米) 答：树高为12米． 【变式3】有一棵高的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离（点B为大树顶端着地处）．    【答案】的距离（点B为大树顶端着地处）为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键． 【详解】解：由图可知，为直角三角形， 在中，，， ∴， ∴． 答：的距离（点B为大树顶端着地处）为． 考点3：勾股定理的应用——旗杆问题 典例3：小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离为；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线（假设是直的线）的长为；③小强牵线的手离地面的距离为． (1)求此时风筝的铅直高度． (2)若小强想使风筝沿方向下降（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，再加上即可； （2）勾股定理求出此时的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴在中，， ∴． 答：此时风筝的铅直高度为． （2）解：∵风筝沿方向下降，     ∴． 在中，∵， ， ∴． 答：他应该收线． 【变式1】在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 【答案】旗杆的高度为12米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程是解问题的关键． 先设旗杆的高度，并表示绳子的长度，再根据勾股定理列方程，求出解即可． 【详解】解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆长为米，则绳子长为米 由图2可得，在中，米， 由勾股定理得： ， 解得：， 米， 答：旗杆的高度为12米． 【变式2】体会空气动力，展示飞天梦想−−纸飞机大比赛中，小明同学的纸飞机刚好飞越过学校操场的旗杆，同学们都好奇纸飞机究竟飞了多高，于是小明测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）． (1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为______米（用含x的代数式表示）； (2)计算小明同学的纸飞机飞越的高度是多少？ 【答案】(1) (2)小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设米，则绳子长为米， 故答案为：； （2）在中，米，米，米， 由勾股定理得：， 解得：， 答：小明同学的纸飞机飞越的高度是13米． 【变式3】如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键将实际问题转化为几何问题． （1）根据题意可知构成直角三角形，设，根据勾股定理即可求得的长度； （2）过点D作，垂足为F，于是构成矩形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的长，即为标杆和旗杆的水平距离的长度． 【详解】（1）设旗绳的长度为，则旗杆的长为， 解得：，即． 答：旗绳的长度为． （2）由题意可知： 过点D作，垂足为F， 则， 答：标杆与旗杆的水平距离为． 考点4：勾股定理的应用——最短路径问题 典例4：编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 【答案】每一根这样的竹条的长度最少是 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键．将圆柱侧面展开，再根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示， 圆柱底面周长为，高为， ， 即每一根这样的竹条的长度最少是． 【变式1】如图，已知长方体的长为、宽为、高为．一只壁虎如果沿长方体的表面从A点爬到点，那么最短的路程是多少？    【答案】最短路程是 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出展开图利用勾股定理进行计算，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，      根据题意，如图所示，路径有以下三种情况： （1）沿，，，，，剪开，得图1，； （2）沿，，，，，剪开，得图2，； （3）沿，，，，，剪开，得图3，. 综上所述，最短路径应为图1所示，所以，即，因此最短路程是． 【变式2】如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 【答案】把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿展开，把长方体沿展开，把长方体沿展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案． 【详解】解：如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； ∵， ∴把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 【变式3】如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程． 【答案】米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 考点5：勾股定理的应用——航海问题 典例5：如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 【答案】千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴，， 在中，千米， ∴千米， ∴千米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴千米， ∴千米． 【变式1】如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 【答案】(1)；； (2)、之间的距离为 (3)市受台风影响的时长为 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形的应用，方位角的应用； （1）根据题意，即可得到答案； （2）过作于，设，用表示，，再根据列方程，即可求出从而解决问题； （3）过作于，设台风中心移动到点处时，城市开始受影响；移动到点处时，城市正好结束影响，即在中，求出，从而得到，进一步求出市受台风影响的时长． 【详解】（1）解：由题意知，． 故答案为：，； （2）如图，过作于， 由题可得，，， 在中，， 设 ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 答：、之间的距离为； （3）如图，过作于， 在中，， ∴km， 设台风中心移动到点处时，城市开始受影响； 移动到点处时，城市正好结束影响，即． 于点， ， 在中， ， ， 答：市受台风影响的时长为． 【变式2】如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】西北方向 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据路程速度时间分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得 （海里）， （海里）， （海里）， ， 即， ． 由“远航号”沿东北方向航行可知，，则， 即“海天”号沿西北方向航行． 【变式3】如图，张叔叔在距离河面高度为的处，用长为的绳子拉点处的船靠岸，若张叔叔收绳后，船到达处，则船向岸边移动了多少米？ 【答案】船向岸A移动了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先求出，再由勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵开始时绳子的长为，张叔叔收绳后，船到达处， ∴， 由题意，得， ∴， 在中，，， 在中，，， ， ∴， ∴船向岸A移动了． 考点6：勾股定理的的应用——范围影响问题 典例6：2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 【变式1】如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 【答案】(1)对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； (2)拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． （1）作于，求出的长即可解决问题． （2）如图以为圆心为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间路程速度计算即可． 【详解】（1）解：作于，   ，， ， 答：对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； （2）解：如图以为圆心为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，， ， 重型运输卡车的速度为， 重型运输卡车经过的时间， 答：拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 【变式2】某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)这辆小汽车不超速，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．（1）由勾股定理求出的长即可；（2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ， 答：的长为； （2）解：这辆小汽车不超速，理由如下： 该小汽车的速度为， 这辆小汽车不超速． 【变式3】某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 【答案】(1)； (2)超速了． 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）求出大巴车的速度即可判断求解； 本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∴， ∴的长为； （2）解：， ∵， ∴大巴车超速了． 考点7：勾股定理的应用——两地距离相等问题 典例7：如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知 ， ，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 【答案】(1) (2)图见解析，25 【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）设 ，则 ，在与中，由勾股定理结合得出方程，求出的值即可求解； （2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，过点作交的延长线于点，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：（1）设 ，则 ， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站应建在离点 处； （2）如图，作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点， 则 ． 故答案为：25． 【变式1】 “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 【答案】(1)20 (2)等腰直角 【分析】本题考查了勾股定理的运用； （1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得，根据勾股定理列方程计算即可； （2）证明即可判断为等腰直角三角形． 【详解】（1）设，则， ∵于A，于B，已知， ∴，， ∵C、D两村庄到市场E的距离相等， ∴， ∴， 解得，即 ∴市场应建在距千米处； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 【变式2】为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【答案】(1)千米 (2)600万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案； （2）根据面积相等得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米； （2）解：∵， ∴， ∴千米 ∴修建公路的费用为（万元）． 【变式3】如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，） 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)符合要求，见解析 【分析】（1）根据，勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理，即可； （2）过点D作于点E；作A点关于DE的对称点，连接，根据直角三角形的性质，得，根据，则，三角形是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，可推出，即可． 【详解】（1）解：（1）是直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴在中， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）符合要求，理由如下： 过点作于点；作点关于的对称点，连接， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴该监控装置符合要求．    【点睛】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理． 考点8：勾股定理的应用——其他问题 典例8：《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度 可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【变式1】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN. 【答案】12尺 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 根据题意可得，然后中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，点是AB的中点， . ，， . 在中，根据勾股定理可得：. ，解得. 答：水的深度PN为12尺． 【变式2】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【答案】25cm 【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：如图，将台阶展开， 由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，． 所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625， 即AB＝25（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键． 【变式3】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 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